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福建省宁德市2022-2023学年高二数学下学期区域性学业质量监测(A卷)试题(Word版附解析)
福建省宁德市2022-2023学年高二数学下学期区域性学业质量监测(A卷)试题(Word版附解析)
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2022-2023学年第二学期高二区域性学业质量监测数学试题(A卷)本试卷有第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,考试时间120分钟,满分150分.注意事项:1.答题前,考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写准考证号、姓名,考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号,姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号;第Ⅱ卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答,在试题卷上作答,答案无效.第Ⅰ卷(选择题共60分)一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.1.已知函数,则时,的值趋近于()A.2aB.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据导数定义可得答案.【详解】由题意可得.故选:C.2.已知向量,,若,则实数()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据共线向量基本定理确定与的关系,再分别求出和,进而求解.【详解】解:若,则,因为已知向量,,所以,解得, 所以.故选:.3.已知平面的一个法向量为,平面的一个法向量为,则平面和平面的位置关系是()A.平行B.垂直C.相交但不垂直D.重合【答案】B【解析】【分析】利用数量积的运算可证得法向量相互垂直,由此可得出答案.【详解】记平面的一个法向量为,平面的一个法向量为,所以,故,所以.所以平面和平面的位置关系是垂直.故选:B.4.函数的导函数的图象如图所示,则()A.为函数的零点B.函数在上单调递减C.为函数的极大值点D.是函数的最小值【答案】B【解析】【详解】根据函数零点的概念可判断A;根据导数与函数单调性的关系判断B;根据函数极值点以及最值与导数的关系可判断C,D.由的图象可知,当时,, 当时,,故为函数的极大值点,A错误;当时,,故函数在上单调递减,B正确;当时,,当时,,故为函数的极小值点,C错误;当时,,当时,,故为函数的极小值点,而也为函数的极小值点,与的大小不定,故不一定是函数的最小值,D错误,故选:B5.如图,在平行六面体中,,,,,E为中点,则AE的长为()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】空间向量,平方求模长即可求解.【详解】由,两边平方得:.所以.故选:A.6.若函数在上是增函数,则实数a的取值范围为() A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】求出函数的导数,问题转化为在恒成立,利用判别式即可求出的范围.【详解】函数,,若在递增,则在恒成立,可得,解得,故选:D7.已知的三个顶点分别为,,,则BC边上的高等于()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用向量运算以及向量的夹角公式进行求解.【详解】由题意,,,可得,,,即角B为锐角,所以,所以边上的高.故选:B8.已知函数有两个零点,则实数的取值范围是()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】方法1,由题意可得有两根,则,,令,对函数求导,求出函数的单调区间,从而画出函数的图象,结合图象可求得结果; 方法2:由题意得有两根,令,对函数求导,求出其单调区间,画出图象,将问题转化为直线与图象有两个交点,从而可求出实数的取值范围【详解】方法1:,有两个都零点,即有两根,则,,设,则,令,则,,令,得,则在且;令,得,则在且;,图象如图所示,实数时函数有两个零点.方法2:有两个都零点,即有两根,设,则,令,则,,令,得,则在单调递增且;令,得,则在单调递减且;,图象如图所示,设与相切于 则,解得,所以实数时函数有两个零点.故选:C【点睛】关键点睛:此题考查导数的综合应用,考查函数与方程的应用,解题的关键是将问题转化为,,然后构造函数,利用导数求出其单调区间,画出图象,利用数形结合的方法求解,考查数学转化思想和数形结合的思想,属于较难题.二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.下列求导运算正确的是()A.B.C.D.【答案】BD【解析】【分析】根据求导公式以及复合函数的求导法则,可得答案.【详解】对于A,,故A不正确;对于B,,故B正确;对于C,,故C不正确;对于D,,故D正确. 故选:BD.10.已知空间中三个向量,,,则下列说法正确的是()A.与是共线向量B.与同向的单位向量是C.在方向上的投影向量是D.平面ABC的一个法向量是【答案】BCD【解析】【分析】A:由向量共线定理,应用坐标运算判断是否存在使;B:与同向的单位向量是即可判断;C:由投影向量的定义可解;D:应用平面法向量的求法求平面ABC的一个法向量,即可判断.【详解】A:若与共线,存在使,则无解,故不共线,错误;B:与同向的单位向量是,正确;C:由,则在方向上的投影向量是,正确;D:若是面ABC的一个法向量,则,令,则,正确.故选:BCD11.已知函数,则下列说法正确的是()A.在单调递减B.在单调递增C.有一个极大值是D.有一个极大值是 【答案】ACD【解析】【分析】求导,利用导数,结合三角函数性质可得单调性,由单调性即可判断极值,即可结合选项逐一求解.【详解】由得,对于A,当时,,故,因此在单调递减,A正确,对于B,当时,,故在并非一直,因此在并非单调递增,B错误,令,此时单调递减,则当或时,此时单调递增,故当和时,分别取极大值和极小值,对于C,当时,,故C正确,对于D,当时,,故D正确,故选:ACD12.如图,在棱长为1的正方体中,M为边的中点,点P在底面ABCD内运动(包括边界),则下列说法正确的有() A.存在点,使得B.过三点、、的正方体的截面面积为C.四面体的内切球的表面积为D.点在棱上,且,若,则满足条件的的轨迹是圆【答案】BC【解析】【分析】以D为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,由可判断A;过三点、、的正方体的截面为以为底的等腰梯形,求出截面面积可判断B;设四面体的侧面积为,其内切球的半径为,球心为,由即,求出可判断C;由分析可得,的轨迹是被四边形截得的4段圆弧,求解可判断D.【详解】对于A,以D为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,设,则,,,;若,则,即,与题意矛盾,所以A错误;对于B,取中点,连接,因为, 所以可得、、、四点共面,所以过三点、、的正方体的截面为以为底的等腰梯形,,过点作,所以,所以梯形的高为,所以,,故B正确;对于C,如下图知:四面体的体积为正方体体积减去四个三棱锥的体积,可知四面体是棱长为的正四面体,取的外心,连接,则平面,则,则,所以, 所以四面体的高,设四面体的侧面积为,其内切球的半径为,球心为,,即,,所以C正确;对于D,,,∵,∴,即,可得轨迹为圆:,所以,圆心,,又,所以,轨迹为圆:被四边形截得的4段圆弧,所以D错误;故选:BC.第Ⅱ卷(非选择题共90分)三、填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡的相应位置)13.曲线在点处的切线的倾斜角是________.【答案】##【解析】【分析】求出导数,得切线斜率,由斜率得倾斜角.【详解】,时,,切线斜率为1,又倾斜角范围是,所以切线倾斜角为.故答案为:. 14.向量与共线且满足,则______.【答案】【解析】【分析】设向量,由解得可得答案.【详解】设向量,因为,所以,解得,所以.故答案为:.15.如图,在棱长为1的正方体中,E,F,G分别为,BD,的中点,则与FG所成的角的余弦值为______.【答案】【解析】【分析】建立空间直角坐标系,分别求得,再利用向量的夹角公式求解.【详解】解:建立如图所示空间直角坐标系:则, ,,所以,即与FG所成的角的余弦值为.故答案为:16.设定义在上的函数满足,,若,则的取值范围为_________.【答案】【解析】【分析】根据题意,构造函数,利用导数判断函数单调性,由单调性解不等式即可.【详解】设函数,∴,∴在上单调递减,又∵,∴则,即,∴,即.故答案为:四、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.已知向量,,且.(1)求m的值;(2)若与互相垂直,求实数k的值.【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1)由向量的模长公式求解即可;(2)求出,,由垂直向量的坐标表示求解即可.【小问1详解】,所以,解得:;【小问2详解】当时,,,因为与互相垂直,所以,解得:.18.已知函数.(1)求函数在处的切线方程;(2)求函数在的最大值与最小值.【答案】(1)(2)最大值为10,最小值为【解析】【分析】(1)由导数的几何意义求解即可;(2)对函数求导,得出在的单调性和极值,比较极值点和端点函数值大小即可得出答案.【小问1详解】∵,函数在处的切线方程的斜率为,又,切点为, 切线方程为:即.【小问2详解】因为令,得或;令,得,所以在区间上单调递增,在区间上单调递减.所以在处取得极大值,在处取得极小值.又,,,,由(1)知,在区间上的最大值为10,最小值为19.在正四棱柱中,,,E在线段上,且.(1)求证:平面DBE;(2)求直线与平面DBE所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析;(2).【解析】【分析】(1)根据给定条件,建立空间直角坐标系,利用空间位置的向量证明推理作答.(2)利用空间向量求出线面角的正弦值作答.【小问1详解】在正四棱柱中,两两垂直,以的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系,如图, 则,,,,,,,,,于是,,即且,而平面DBE,所以平面DBE.【小问2详解】由(1)得,为平面DBE的一个法向量,因此,所以直线与平面DBE所成角的正弦值为.20.为响应国家“乡村振兴”政策,某村在对口帮扶单位的支持下拟建一个生产农机产品的小型加工厂.经过市场调研,生产该农机产品当年需投入固定成本10万元,每年需另投入流动成本(万元)与成正比(其中x(台)表示产量),并知当生产20台该产品时,需要流动成本0.7万元,每件产品的售价与产量x(台)的函数关系为(万元)(其中).记当年销售该产品x台获得的利润(利润=销售收入-生产成本)为万元.(参考数据:,,)(1)求函数的解析式;(2)当产量x为何值时,该工厂的年利润最大?最大利润是多少?【答案】(1) (2)年产量为50台时,利润最大,最大利润是24.4万元【解析】【分析】(1)依题设:,由条件当生产20台该农机产品时,需要流动成本0.7万元可得,进而求出函数的表达式;(2)求导,利用导数的正负判断函数的单调性,进而求出最值即可.【小问1详解】依题设:当生产20台该农机产品时,需要流动成本0.7万元得:,可得:,∴;∴.【小问2详解】由(1)得,,∵∴时,,单调递增,时,,单调递减,∴时,取得极大值也是最大值,,∴当年产量为50台时,利润最大,最大利润是24.4万元.21.如图,四棱锥中,四边形为梯形,其中,,,. (1)证明:平面平面;(2)若,且与平面所成角的正弦值为,点E在线段上满足,求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】【分析】(1)根据题意,在中,由余弦定理求得,得到,证得,再由,证得平面,即可证得平面平面;(2)若O为中点,证得,,两两垂直,以为原点,建立空间直角坐标系,设,由平面的一个法向量为,列出方程求得,进而得到,求得平面的一个法向量,结合向量的夹角公式,即可求解.【小问1详解】证明:由题知且,所以为等边三角形,则,又由四边形为梯形,,则,在中,,所以,即,因为,且,平面,所以平面,又因为平面,所以平面平面.【小问2详解】解:若O为中点,,则,由(1)得平面平面,平面平面,平面,则平面,连接,则,且平面,所以,,所以,,两两垂直,以为原点,,,分别为为轴、轴和轴的正方向建立空间直角坐标系,如图所示,可得,,,,设且,则,由平面的一个法向量为, 可得,解得,因,所以,可得,所以,,,设是平面的一个法向量,则,取,可得,所以则,由图形可得的平面角为锐角,所以二面角的余弦值为.22已知函数,;(1)求函数单调性;(2)设函数,对于任意的都有成立,求实数的取值范围.【答案】(1)答案见解析(2)【解析】【分析】(1)对求导,分类讨论和,判断与得大小,即可得出答案. (2)将题意转化为得对于任意的恒成立,令即在恒成立,即在恒成立,转化为求得最大值.【小问1详解】的定义域为,则,当时,即时,在上单调递增,当时,即时,则即,令得,令得,则在上单调递增,在上单调递减,综上所述:当时,上单调递增;当时,则在上单调递增,在上单调递减;【小问2详解】依题得因为对于任意的总有成立,不妨设由,得设,可得在单调递增;在恒成立;∴在恒成立;设,令,得,因为,所以在单调递增;同理,在单调递减,所以的最大值为,
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高中 - 数学
发布时间:2023-08-10 04:48:02
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