福建省宁德市2022-2023学年高一数学下学期期末质量检测试题（Word版附解析）

宁德市2022－2023学年度第二学期期末高一质量检测数学试题本试卷有第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试时间120分钟，满分150分．注意事项：1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写准考证号、姓名，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号，姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；第Ⅱ卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.若复数（为虚数单位），则z的虚部为（）A.B.C.2D.【答案】C【解析】【分析】根据复数的运算求出，即可得出答案．【详解】，则z的虚部为2．故选：C．2.在△ABC中，D为线段AB上一点，且，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由题意，根据向量的线性运算求解即可.【详解】∵D为线段AB上一点，且， ∴，∴，∴，故选：C.3.设为两个互斥事件，且，，则下列各式一定正确的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据互斥事件的含义判断各选项即可.【详解】因为为两个互斥事件，，，所以，即，且.故选：B．4.两条异面直线与同一平面所成的角，不可能是（）A.两个角都是直角B.两个角都是锐角C.两个角都为0°D.一个角为0°，一个角为90°【答案】A【解析】【分析】A选项，可推出两直线平行，A不可能；BCD可举出反例.【详解】A选项，当两个角均是直角时，两直线平行，故不满足异面，A不可能，B选项，如图1，与平面所成角都时锐角，B可能，C选项，如图2，与平面所成角都为，C可能， D选项，如图3，直线与平面所成角为0°，直线与平面所成角为，D可能.故选：A5.某学校高年级有300名男生，200名女生，现采用分层随机抽样的方法调查数学考试成绩，抽取一个容量为60的样本，男生平均成绩为110分，女生平均成绩为100分，那么可以推测高一年级学生的数学平均成绩约为（）A.100分B.105分C.106分D.110分【答案】C【解析】【分析】求出应抽取男生和女生的人数，根据按比例分配分层抽样总样本平均数的公式计算即可.【详解】由题意，应抽取男生（人），女生（人），所以推测高一年级学生的数学平均成绩约为（分）．故选：C.6.设a，b是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若，则B.若，则 C.若，则a⊥bD.若，则a⊥b【答案】D【解析】【分析】根据空间线线、线面、面面关系逐一判断可得选项.【详解】对于A，若，则可能异面，故A错误；对于B，若，则可能有，故B错误；对于C，若，则可能有a∥b，故C错误；对于D，若，则，又，则a⊥b，故D正确.故选：D.7.位于某海域A处的甲船获悉，在其正东方向相距20nmile的B处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救，甲船立即前往救援，同时把消息告知位于甲船南偏西，且与甲船相距10nmile的C处的乙船．乙船也立即朝着渔船前往营救，则＝（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由余弦定理求得，进而由正弦定理求得答案．【详解】由题意，由余弦定理得，，∴，由正弦定理得，，即，解得．故选：A． 8.甲、乙两人组队参加禁毒知识竞赛，每轮比赛由甲、乙各答题一次，已知甲每轮答对的概率为，乙每轮答对的概率为．在每轮活动中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响，则（）A.在第一轮比赛中，恰有一人答对的概率为B.在第一轮比赛中，甲、乙都没有答对的概率为C.在两轮比赛中，甲、乙共答对三题的概率为D.在两轮比赛中，甲、乙至多答对一题的概率为【答案】D【解析】【分析】根据独立事件的概率乘法公式，即可结合选项逐一求解.【详解】在第一轮比赛中，甲对乙不对的概率为，乙对甲不对的概率为，甲乙都不对的概率为，所以恰有一人答对的概率为，故AB均错误，在第一轮比赛中，答对一道题的概率为，答对两道题的概率为，答对0道题的概率为，故在两轮比赛中，甲、乙共答对三题的情况为：第一轮答对1道第二轮答对2道和第一轮答对2道第二轮答对1道，故概率为，在两轮比赛中，甲、乙答对0道题的概率为，答对1道题的概率为，所以甲、乙至多答对一题的概率为，故C错，D正确,故选：D二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9.若复数z满足（i为虚数单位），则下列结论正确的是（）A.z＝1＋iB.C.z的共轭复数D.z是方程x2＋2x＋2＝0的一个根 【答案】AB【解析】【分析】根据题意，利用复数代数形式的运算化简，然后对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】设，则，因为，即，所以，解得，所以，，，故AB正确，C错误；将代入方程可得，故D错误；故选：AB10.若是任意的非零向量，则下列正确的是（）AB.C.若，则D.若与共线且方向相同，则在上的投影向量为【答案】AD【解析】【分析】由向量数乘运算的概念可判断A；均表示一个实数，均表示向量，可判断B；若，可得，可判断C；由投影向量的概念可判断D.【详解】由向量数乘运算的概念可知，，故A正确；均表示一个实数，均表示向量，而的方向不一定相同，故B错误；若，则，即，则，不一定有，故C错误；若与共线且方向相同，则，则在上的投影向量为，故D正确.故选：AD.11.两个班级，每班各自随机选出10名学生测验铅球成绩，以评估达标程度，测验成绩如下（单位：m）：则以下说法正确的是（） 甲9.17.98.46.95.27.1808.16.74.9乙8.88.57.37.16.78.49.08.77.87.9A.乙班级的平均成绩比甲班级的平均成绩高B.乙班级的成绩比甲班级的更加集中C.甲班级成绩的第40百分位数是6.9D.若达标成绩是7m，估计甲班级的达标率约为0.6【答案】ABD【解析】【分析】计算出甲班级，乙班级的平均成绩，可判断A；计算出甲班级，乙班级成绩的方差，可判断B；利用百分位数概念求解可判断C；甲班级选出的10名学生有6人达标，可估计甲班级的达标率约为0.6，可判断D.【详解】甲班级的平均成绩，乙班级的平均成绩，，故A正确；甲班级成绩的方差，乙班级成绩的方差，，故B正确；甲班级的成绩由小到大排列：4.9，5.2，6.7，6.9，7.1，7.9，8.0，8.1，8.4，9.1，∵10×40%＝4，∴甲班级成绩的第40百分位数是，故C错误；若达标成绩是7m，甲班级选出的10名学生有6人达标， 所以，估计甲班级的达标率约为0.6，故D正确.故选：ABD.12.棱长为2的正方体中，为正方形的中心，，分别是棱，的中点，则下列选项正确的有（）A.B.直线与平面所成角的正弦值为C.三棱锥的外接球的半径为D.过、、的平面截该正方体所得的截面形状是六边形【答案】AC【解析】【分析】利用勾股定理逆定理判断A，取的中点，连接、，则为直线与平面所成角，即可判断B，三棱锥的外接球即为以、、为长、宽、高的长方体的外接球，即可判断C，作出截面图，即可判断D.【详解】对于A：因为，，，所以，即，故A正确；对于B：取的中点，连接、，由是棱的中点，所以，又平面，所以平面，所以为直线与平面所成角，所以，即直线与平面所成角的正弦值为，故B错误； 对于C：因为，，，所以三棱锥的外接球即为以、、为长、宽、高的长方体的外接球，长方体的体对角线即为外接球的直径，设外接球的半径为，则，所以，故三棱锥的外接球的半径为，即C正确；对于D：延长交的延长线于点，交的延长线于点，连接交于点，延长交于点，连接交于点，连接、，则五边形即为过、、的平面截该正方体所得的截面，其中，，所以，，取的中点，连接，则，所以，所以，即为靠近的四等分点，又，所以，所以，即为靠近的四等分点，又，所以，所以，即为靠近的四等分点，故D错误； 故选：AC第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置）13.复数，则z在复平面内对应的点位于第______象限．【答案】一【解析】【分析】根据复数的除法运算即可化简复数，进而得对应点，即可求解.【详解】由，z在复平面内对应点为，故点在第一象限，故答案为：一14.一个圆锥的侧面展开图是半径为2，圆心角为的扇形，则该圆锥的表面积为___________．【答案】【解析】【分析】根据题意，求得圆锥的底面圆的半径，结合圆锥的侧面积公式即可求解．【详解】设圆锥的底面半径为r，由题意可得：，解得，所以圆锥的表面积为．故答案为：.15.已知O，H在△ABC所在平面内，若，，则______．【答案】0 【解析】【分析】根据外心的性质可得，结合向量的线性运算可得与共线，即可由数量积的定义求解.【详解】根据可知为△ABC的外心，取中点为，连接,则,由,所以与共线，,故答案为：016.已知平面内两个不同的单位向量与所成的角都为，则______；______．【答案】①.##②.1【解析】【分析】根据题意，由平面向量的模长公式以及夹角公式列出方程，然后代入计算，即可得到结果.【详解】因为单位向量与所成的角都为，所以，，即，所以，，则可得是方程的两根， 同理可得，，，即，所以，，则可得是方程的两根，又因为是两个不同的单位向量，所以，，所以，，则，.故答案为：；.四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.已知为平面向量，且．（1）若，且与垂直，求实数k的值；（2）若，且，求向量的坐标．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）利用向量运算的坐标表示，向量垂直的坐标表示列出方程，求解作答.（2）利用向量共线设出的坐标，利用坐标求模列式计算作答.【小问1详解】因为，则，因为与垂直，于是，即，解得.所以．【小问2详解】由，设，而，则，解得，所以或． 18.如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，M，N分别是A1B，CC1的中点．（1）求证：//平面ABC；（2）求证：MN⊥平面A1ABB1．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）设AB的中点为D，连接MD，CD，由线面垂直的判定定理可证；（2）由线面垂直的判定定理先得CD⊥平面A1ABB1，再由（1）可证.【小问1详解】设AB的中点为D，连接MD，CD．因为M，D分别为A1B，AB的中点，所以．又因为三棱柱ABC－A1B1C1为正三棱柱且N为CC1的中点，所以又所以，所以四边形CDMN是平行四边形，所以．又因为平面ABC，平面ABC，所以//平面ABC．【小问2详解】因为三棱柱ABC－A1B1C1为正三棱柱，所以A1A⊥平面ABC，又因为平面ABC，所以A1A⊥CD．因为D为AB的中点且△ABC为等边三角形，所以CD⊥AB．平面A1ABB1，平面A1ABB1，A1A∩AB＝A，所以CD⊥平面A1ABB1， 又因为，所以MN⊥平面A1ABB1．19.我国是世界上严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出．某市政府为了鼓励居民节约用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民用水量标准x（单位：t），月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费．为了了解全市居民用水量分布情况，通过抽样，获得了100位居民某年的月均用水量（单位：t），将数据按照［3，4），［4，5），…，［8，9］分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图．（1）求频率分布直方图中a的值；（2）已知该市有60万居民，估计全市居民中月均用水量不低于7（单位：t）的人数；（3）若该市政府希望80%的居民每月的用水量不超过标准x（单位：t），估计x的值．【答案】（1）0.35（2）15（万）（3）x＝7.25【解析】【分析】（1）根据频率之和为1即可求解，（2）根据频率乘以总数即可求解，（3）根据频率之和为0.8即可求解.【小问1详解】由频率分布直方图可得，解得【小问2详解】由频率分布直方图知，月均用水量不低于7吨的频率为由此估计全市60万居民中月均用水量不低于7吨的人数为（万）．【小问3详解】因为前四组的频率之和为 又前五组的频率之和为所以．由，解得因此，估计月用水量标准为时，的居民每月的用水量不超过标准．20.一个袋子中有大小和质地相同的4个球，标号分别为1，2，3，4，从袋中不放回地随机抽取两次，每次取一球．记事件A：第一次取出的是2号球；事件B：两次取出的球号码之和为5．（1）写出这个试验的样本空间；（2）判断事件A与事件B是否相互独立，请说明理由；（3）两次取出的号码之和最可能是多少？请说明理由．【答案】（1）答案见解析（2）事件A与事件B是相互独立，理由见解析（3）两次取出号码之和最有可能是5，理由见解析【解析】【分析】（1）用数组表示可能的结果,即可得出试验样本空间；（2）利用独立事件的定义判断；（3）两次取出的号码之和的有：3，4，5，6，7，求出对应的概率比较即可得出答案．【小问1详解】用数组表示可能的结果，表示第一次抽到球的标号，表示第二次抽到球的标号，则试验样本空间为．【小问2详解】，，．所以．因为，所以事件A与事件B是相互独立．【小问3详解】两次取出的号码之和的有：3，4，5，6，7．分别记作事件：C，D，E，F，G．则．． 因．所以两次取出号码之和最有可能5．21.已知锐角△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．请从条件①、条件②中选择一个条件作为已知，求：（1）A的度数：（2）若c＝1，求△ABC面积的取值范围．条件①：；条件②：△ABC的面积．【答案】（1）选①②均为（2）【解析】【分析】（1）选①，利用正弦定理和，辅助角公式得到，由的范围求出答案；选②，由面积公式和余弦定理得到，结合的范围求出答案；（2）由正弦定理和面积公式可得，因为为锐角三角形，从而得到，求出答案.【小问1详解】选择条件①：由正弦定理得，，所以，因为sinC＞0，所以，所以，又，所以， 选择条件②：由面积公式得，由余弦定理得，所以，所以，又，所以.【小问2详解】由正弦定理得，由面积公式可得，因为为锐角三角形，故，得，所以，，所以的取值范围为.22.如图1，平面四边形ACBD满足AB⊥CD，AB∩CD＝O，AO＝3，BO＝1，，．将三角形ABC沿着AB翻折到三角形ABE的位置，连接ED得到三棱锥E－ABD（如图2）． （1）证明：AB⊥DE；（2）若平面ABE⊥平面ABD，M是线段DE上的一个动点，记∠ABM，∠BAM分别为，当取得最大值时，求二面角M－AB－D的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由翻折可知，AB⊥EO，AB⊥OD，所以AB⊥平面EOD，即可证得结论；（2）连接OM，可以证得EO⊥平面ABD，所以EO⊥OD，在直角三角形EOD中，求出及的范围，由AB⊥OM，结合两角差的正切公式得的表达式，利用基本不等式求得取最大值时的长，因为OM⊥AB，OD⊥AB，所以∠MOD是二面角M－AB－D的平面角，结合二倍角公式求出答案．【小问1详解】由翻折可知，在图2中，AB⊥EO，AB⊥OD，EO∩OD＝O，平面EOD，所以AB⊥平面EOD，又因为平面EOD，所以AB⊥ED，【小问2详解】连接OM， 因为平面EAB⊥平面ABD，平面EAB∩平面ABD＝AB，EO⊥AB，平面EAB，所以EO⊥平面ABD，又平面ABD，所以EO⊥OD，所以在直角三角形EOD中，，所以，DE边上的高为，所以，由（1）可知AB⊥平面EOD，平面EOD，所以AB⊥OM，，，当且仅当取等号，所以当取最大值时，，因为OM⊥AB，OD⊥AB，所以∠MOD是二面角M－AB－D的平面角，在等腰三角形MOD中，，所以二面角M－AB－D的余弦值为．