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福建省宁德市2022-2023学年高二数学上学期期中试题(A卷)(Word版附解析)
福建省宁德市2022-2023学年高二数学上学期期中试题(A卷)(Word版附解析)
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2022-2023学年第一学期高二区域性学业质量监测数学试题(A卷)本试卷有第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分,考试时间120分钟,满分150分.注意事项:1.答题前,考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写准考证号、姓名,考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号,姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2.第I卷每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号;第II卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答,在试题卷上作答,答案无效.第I卷(选择题共60分)一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的)1.已知直线过,两点,且倾斜角为,则()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由斜率公式直接列方程求解即可.【详解】因为直线过,两点,且倾斜角为,所以,解得,故选:C.2.已知为正项等比数列,且,,则( )A.8B.9C.12D.18【答案】D【解析】【分析】根据已知条件,结合等比数列的性质,即可求解.【详解】解:已知,则,解得或(舍去),故,解得. 故选:D.3.在等差数列中,以表示的前项和,则使达到最大值的是()A.11B.10C.9D.8【答案】B【解析】【分析】利用等差数列性质求出数列公差d,再求出其通项公式,并探讨数列的单调性即可得解.【详解】在等差数列中,,,即,,从而得等差数列公差,,于是得的通项公式为,则是单调递减等差数列,其前10项均为正,从第11项起的以后各项均为负,因此,数列的前10项和最大,所以,使达到最大值的n是10.故选:B.4.圆与圆的位置关系是()A相切B.相交C.内含D.外离【答案】B【解析】【分析】根据给定条件,求出两圆的圆心和半径,并计算两圆的圆心距即可判断作答.【详解】圆的圆心,半径,圆的圆心,半径,于是,所以两圆相交.故选:B5.《张丘建算经》是我国古代的一部数学著作,现传本有九十二问,比较突出的成就有最大公约数与最小公倍数的计算、各种等差数列问题的解决、某些不定方程问题求解等.书中记载如下问题:“今有女子善 织,日增等尺,初日织五尺,三十日共织四百二十尺,问日增几何?”那么此女子每日织布增长()A.尺B.尺C.尺D.尺【答案】C【解析】【分析】将问题转化为等差数列问题,通过,,由等差数列前项和公式解出公差,从而得到结果.【详解】设每天所织布的尺数为,则数列为等差数列,设公差为,由题意可知:,,则,解得:.那么此女子每日织布增长尺.故选:C.6.已知等比数列中,各项都是正数,且,,成等差数列,则()A.4B.2C.D.【答案】A【解析】【分析】设等比数列的公比为,根据题中条件可求得的值,进而可求得,即可得解.【详解】设等比数列的公比为,则,由于,,成等差数列,则,即,因为,整理得,即,,解得,因此,.故选:A. 7.已知,圆,圆,若直线过点且与圆相切,则直线被圆所截得的弦长为()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由直线与圆的位置关系,结合点到直线的距离公式求解即可.【详解】设直线的方程为,由直线与圆相切,则,解得,即,即直线的方程为,又圆的圆心坐标为,半径为,圆圆心到直线距离为,则直线被圆所截弦长为.故选:A8.已知数列的首项为,其余各项为或,且在第个和第个之间有个,即数列为:,,,,,,,,,,,,,….记数列的前项和为,则()A.B.C.3997D.3999【答案】D【解析】【分析】根据题意,结合题设中数列的规律,结合等差数列的求和公式,即可求解.【详解】将数列第个和第个之间有个,记作第组,即为第1组,共有项,为第2组,共有项,,为第组,共有项, 所以前组共有的项数为项,又由,其中,所以第2022项在第45组中的第42个数,故,又由第2022项中共有45项为1,其余项都为2,所以.故选:D.二、多项选择题(本题每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)9.已知数列,则下列说法正确的是()A.此数列的通项公式是B.是它的第项C.此数列的通项公式是D.是它的第项【答案】AB【解析】【分析】根据已知条件,结合数列中数字的规律,求出通项公式,即可依次求解.【详解】数列,即,则此数列的通项公式为,A正确,C错,令,解得,故B正确,D错.故选:AB10.已知直线的倾斜角等于,且经过点,则下列结论中正确的是()A.的一个方向向量为B.的一个法向量为C.与直线平行D.与直线垂直【答案】ACD【解析】【分析】根据已知条件,结合方向向量,法向量的定义,以及直线平行、垂直的性质,即可求解.【详解】直线的倾斜角等于, 则直线的斜率为,对于A,因为直线的斜率为,则的一个方向向量为,A正确;对于B,,法向量与直线不垂直,B错;对于C,直线的斜率为,且不过,C正确;对于D,直线的斜率为,则斜率之积,故两直线垂直,D正确.故选:ACD11.已知点在圆上,点分别为直线与轴,轴的交点,则下列结论正确的是()A.直线与圆相切B.圆截轴所得的弦长为C.的最大值为D.的面积的最小值为【答案】ACD【解析】【分析】求得圆的圆心,半径,以及,根据,可判定A正确;由圆的弦长公式,可判定B不正确;求得,得到的最大值为,可判定C正确;求得圆心到直线的距离为,求得最小距离,结合面积公式,可判定D正确.【详解】由圆,可得,可得圆心,半径为,因为点分别为直线与轴、轴的交点,可得,对于A中,因为圆心到直线的距离为,所以A正确;对于B中,由圆截轴的弦长为,所以B不正确;对于C中,点在圆上,且,其中,所以的最大值为,所以C正 确;对于D中,因为圆心到直线的距离为,则圆上点到直线的最小距离为,因为,所以的面积的最小值为,所以D正确.故选:ACD.12.已知等比数列前项和为,且,是与的等差中项,数列满足,数列的前项和为,则下列结论正确的是()A.数列的通项公式为B.C.数列是等比数列D.【答案】ABD【解析】【分析】对于AD,利用等比数列的基本量法求得公比和,从而求得,由此得以判断;对于C,利用等比数列的定义判断即可;对于D,利用分组求和法求得,再利用作差法即可判断.【详解】由于等比数列前项和为,且,所以,整理得,所以数列的公比;由于是与的等差中项,故,整理得,解得.故,故A正确;所以,故B正确;由于数列满足,所以当时,不为常数, 所以数列不是等比数列,故C错误;,又,所以,故D正确.故选:ABD.【点睛】关键点睛:本题选项D的解决关键是利用分组求和法求得,再利用作差法,结合二次函数的性质证得,计算量大,需要多加练习熟悉.第II卷(非选择题共90分)三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡的相应位置)13.和的等比中项是__________.【答案】【解析】【详解】试题分析:设和的等比中项是a,则.考点:等比中项的性质.14.数列的前项和,则的通项公式___________.【答案】【解析】【分析】根据求得,当时,利用求得的表达式,验证首项是否适合,即可得答案.【详解】由题意数列的前项和,则,当时,, 不适合上式,故的通项公式,故答案为:15.若两条平行直线与之间的距离是,则__________.【答案】3【解析】【分析】由两直线平行列方程求出,再由两平行线间的距离公式列方程可求出的值,从而可求出结果.【详解】因为直线与平行,所以,解得且,所以直线为,直线化为,因为两平行线间的距离为,所以,得,因为所以,得,所以,故答案为:316.设动圆:,则圆心的轨迹方程为___________﹔若直线:被所截得的弦长为定值,则___________.【答案】①.②.【解析】【分析】利用消参法可得圆C的圆心轨迹方程;转化为直线与直线平行,可求得结果. 【详解】设,则,消去得所以圆C的圆心轨迹方程是;因为圆的半径为定值,且直线被圆C所截得的弦长为定值,由弦长为定值,所以圆心到直线的距离为定值,因为圆心的轨迹为直线,所以直线与直线平行,所以,所以故答案为:,.【点睛】关键点点睛:转化为直线与直线平行求解是解题关键.四、解答题:(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)17.已知的顶点,边上的中线所在直线方程为,边上的高所在直线方程为.(1)求直线的方程;(2)求顶点C的坐标.【答案】(1)(2).【解析】【分析】(1)方法一:由题意求出,则,再利用点斜率可求出直线的方程;方法二:由题意设直线的方程为,再将点的坐标代入可求出,从而可求出直线的方程;(2)联立直线与直线的方程可求出顶点C的坐标.【小问1详解】方法一:由边上的高所在直线方程为得:.所以, 又,所以边所在直线方程为,即,方法二:由边上的高所在直线方程为得:故可设直线的一般式方程为:,把的坐标代入上述方程,得:,所以边所在直线方程为:,【小问2详解】联立直线与直线的方程得,,解得所以顶点的坐标为.18.国家汽车产业振兴规划的政策极大地刺激了小排量汽车的销售,据分析预测,某地今年小排量型车每月的销量将以的增长率增长,小排量型车的销量每月递增辆.已知该地今年月份销售型车和型车均为辆,据此推测,该地今年底这两款车的销售总量能否超过辆?(参考数据:,,)【答案】推测该地区今年这两款车的总销量能超过辆.【解析】【分析】设该地今年第月型车和型车的销量分别为辆和辆,由题意可得是首项,公比的等比数列,是首项,公差的等差数列,利用等差数列和等比数列的前项和求解即可.【详解】解:设该地今年第月型车和型车的销量分别为辆和辆,依题意,得是首项,公比的等比数列,是首项,公差的等差数列.设的前项和为,则,设的前项和为,则 所以,可推测该地区今年这两款车的总销量能超过辆.19.设等比数列满足,.(1)求数列的通项公式;(2)令,记为数列的前项和,求前n项的和.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)设等比数列的公比为,根据题意有,解方程求出,即可求数列的通项公式;(2)求出,可得数列是首项为1,公差为1的等差数列,再由等差数列的前项和求出,继而求出,再由裂项相消法求前n项的和.【小问1详解】设等比数列的公比为,根据题意有,消去得:.解得:解得:,所以.【小问2详解】,于是数列是首项为1,公差为1的等差数列.所以. .20.已知圆过点,且与直线相切于点.(1)求圆标准方程;(2)若,点在圆上运动,证明:为定值.【答案】(1)(2)证明过程见详解【解析】【分析】(1)设圆心,半径为,根据题意列出方程,求出圆心和半径,进而求出圆的方程;(2)先将圆的标准方程化为一般方程,设点,再根据题意分别求出,,进而即可证明结论.【小问1详解】设圆心,半径为,因为点,,所以直线的中垂线方程是,过点且与直线垂直的直线方程是,由,解得,圆心,,圆的标准方程是.【小问2详解】证明:由(1)知圆的标准方程为,则其一般方程为,即,设点,且点在圆上运动,则,, 于是,定值.21.已知数列中,,.(1)求证:是等比数列,并求的通项公式;(2)若不等式对于恒成立,求实数的最小值.【答案】(1)证明见解析,(2)【解析】【分析】(1)由条件可得出从而可证,从而可得出的通项公式.(2)将(1)中代入不等式,即得对于恒成立,设,分析出其单调性,得出其最大项,即可得出答案.【小问1详解】由,可知,,所以可得,即,而,所以是以为首项,为公比的等比数列,所以,所以.【小问2详解】不等式对于恒成立,即对于恒成立, 即对于恒成立.设,由,当时,,即,即,当时,,即,即,所以最大,,所以,故的最小值为.22.已知直线:与圆O:相交于不重合的A,B两点,O是坐标原点,且A,B,O三点构成三角形.(1)求的取值范围;(2)的面积为,求的最大值,并求取得最大值时的值.【答案】(1)(2)的最大值为2,取得最大值时【解析】【分析】(1)解法一:通过圆心到直线距离小于半径且列出不等式求解即可;解法二:联立方程,令得到不等式求解,结合即可得到答案;(2)先求出高和弦长,通过三角形面积公式直接代入求解面积,通过换元,结合二次函数性质即可得到答案. 【小问1详解】解法一:由题意知:圆心到直线的距离,因为直线与圆O相交于不重合的A,B两点,且A,B,O三点构成三角形,所以,得,解得且,所以的取值范围为.解法二:联立,化简得:,得,因为A,B,O三点构成三角形,所以所以的取值范围为.【小问2详解】直线:,即,点O到直线距离:,所以所以,(且)设,则,所以所以当,即,即时,所以的最大值为2,取得最大值时.
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所属:
高中 - 数学
发布时间:2023-08-10 04:36:02
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文章作者:随遇而安
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