山西省太原市2022-2023学年高一数学上学期期末试题（Word版附解析）

2022~2023学年第一学期高一年级期末考试数学试卷（考试时间：上午8：00——9：30）说明：本试卷为闭卷笔答，答题时间90分钟，满分100分.一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.下列选项中，与角终边相同的角是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】首先表示出与终边相同的角，再根据选项判断即可.【详解】解：与角终边相同的角表示为，当时，故与角终边相同.故选：D2.在直角坐标系中，，，则角的终边与单位圆的交点坐标为（　　）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据三角函数定义，即可求得答案.【详解】在直角坐标系中，，，设角的终边与单位圆的交点坐标为，则，即角的终边与单位圆的交点坐标为，故选：A3.函数的零点所在的区间是（）A.B.C.D. 【答案】C【解析】【分析】首先判断函数的单调性，再根据零点存在性定理判断即可.【详解】解：函数在上单调递减，又，，，所以，则有唯一零点，且在区间内.故选：C4.已知，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先由，得到，再利用诱导公式求解.【详解】解：因为，所以，所以，，故选：D5.甲、乙两位同学解答一道题：“已知，，求的值.”甲同学解答过程如下：解：由，得.因为，所以.所以.乙同学解答过程如下：解：因为，所以.则在上述两种解答过程中（）A.甲同学解答正确，乙同学解答不正确B.乙同学解答正确，甲同学解答不正确 C.甲、乙两同学解答都正确D.甲、乙两同学解答都不正确【答案】D【解析】【分析】分别利用甲乙两位同学的解题方法解题，从而可得出答案.【详解】解：对于甲同学，由，得，因为因为，所以，所以，故甲同学解答过程错误；对于乙同学，因为，所以，故乙同学解答过程错误.故选：D.6.已知，，，则，，的大小关系为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据对数函数的单调性结合中间量法即可得解.【详解】因为，，，所以.故选：B.7.下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（）A.B. C.D.【答案】A【解析】【分析】根据三角函数的性质逐一判断即可.【详解】对于A，函数的最小正周期，因为，所以，所以函数区间上单调递减，故A符合题意；对于B，函数函数的最小正周期，因为，所以，所以函数在区间上不单调，故B不符题意；对于C，函数的最小正周期，故C不符题意；对于D，函数的最小正周期，当时，函数增函数，故D不符题意.故选：A.8.为了节约水资源，某地区对居民用水实行“阶梯水价”制度：将居民家庭全年用水量划分为三档，水价分档递增，其标准如下：阶梯家庭全年用水量（立方米）水价（元/立方米）其中水费（元/立方米）污水处理费（元/立方米）第一阶梯0-180（含）2.92.40.5第二阶梯181-260（含）5.14.6第三阶梯260以上7.46.9 如该地区某户家庭全年用水量为300立方米，则其应缴纳全年综合水费（包括水费、污水处理费）合计为元.若该地区某户家庭缴纳的全年综合水费合计为777元，则该户家庭全年用水量为（）A.170立方米B.200立方米C.230立方米D.250立方米【答案】C【解析】【分析】根据用户缴纳的金额判定全年用水量少于260，利用第二档的收费方式计算即可.【详解】若该用户全年用水量为260，则应缴纳元，所以该户家庭的全年用水量少于260，设该户家庭的全年用水量为x，则应缴纳元，解得.故选：C二、选择题（本题共4小题，每小题3分，共12分.在每小题给出的选项中，在多项符合题目要求.全部选对的得3分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.要得到函数的图象，只要将函数图象上所有的点（）A.横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位B.横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位C.向左平移个单位，再将所得图象每一点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）D.向左平移个单位，再将所得图象每一点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）【答案】BC【解析】【分析】根据周期变换和平移变换的原则即可得解.【详解】要得到函数的图象，只要将函数图象上所有的点横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位； 或者向左平移个单位，再将所得图象每一点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）.故选：BC.10.计算下列各式，结果为的是（）A.B.C.D.【答案】AD【解析】【分析】运用辅助角公式、诱导公式、和差角公式的逆用、特殊角的三角函数值、三角恒等变换中“1”的代换化简即可.【详解】对于选项A，由辅助角公式得.故选项A正确；对于选项B，，故选项B错误；对于选项C，，故选项C错误；对于选项D，，故选项D正确.故选：AD.11.下列函数中最小值为是（）A.B.C.D.【答案】AC【解析】【分析】根据二次函数的性质判断A，根据对勾函数及三角函数的性质判断B，根据对数函数的性质判断 C、D.【详解】对于A：，所以当时，故A正确；对于B：，则，又函数在上单调递减，在上单调递增，所以当时取得最小值，故B错误；对于C：因为且在上单调递增，所以，故C正确；对于D：，当时，则，故D错误；故选：AC12.已知定义在上的函数，设，，为三个互不相等的实数，且满足，则的可能取值为（）A.15B.26C.32D.41【答案】BC【解析】【分析】先判断函数的性质以及图像的特点，设，由图像得是个定值，及的取值范围，即可得出结论．【详解】解：作出的图像如图：当时，由，得，若，，互不相等，不妨设，因为， 所以由图像可知，，由，得，即，即，则，所以，因为，所以，即，所以的取值范围是．故选：BC．三、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分，把答案写在题中横线上）13.函数的定义域为______.【答案】【解析】【分析】由解出即可.【详解】由，所以函数的定义域为：.故答案为：.14.已知扇形AOB的面积为，圆心角为120°，则该扇形所在圆的半径为______．【答案】2【解析】【分析】利用扇形的面积公式即可求解.【详解】，扇形AOB的面积为，所以，解得．故答案为：215.十八世纪，瑞士数学家欧拉指出：指数源于对数，并发现了对数与指数的关系，即当， 时，.已知，.则______.【答案】1【解析】【分析】先指数式对数式转化，结合对数运算性质化简求值.【详解】由，得，∴.故答案为：116.已知函数为一次函数，若，有，当时，函数的最大值与最小值之和为______.【答案】【解析】【分析】依题意设，由求出的值，设，则，判断的奇偶性，根据奇偶性的性质计算可得.【详解】解：根据题意，设，若，，有，则有，变形可得，即，设，则，则有，函数，设，则，必有，则函数为奇函数，在区间上，其最大值与最小值之和是，而，则其最大值与最小值之和是. 故答案为：．四、解答题（本题共5小题，共48分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.计算下列各式的值：（1）；（2）.【答案】（1）3.（2）.【解析】【分析】（1）运用对数运算公式及，，，计算可得结果；（2）运用指数幂、对数运算公式及换底公式计算可得结果.【小问1详解】.【小问2详解】.18.已知，.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】分析】（1）根据平方关系计算可得；（2）利用诱导公式化简，再代入计算可得.【小问1详解】解：因为，且，所以，又，所以.【小问2详解】 解：.19.如图，在平面直角坐标系中，锐角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，.（1）求的值；（2）射线绕坐标原点按逆时针方向旋转后与单位圆交于点，点与关于轴对称，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据角的终边与单位圆交于点，，利用三角函数的定义，结合平方关系求解；（2）设单位圆与x轴负半轴交点为Q，则，设，求得，再利用二倍角的正切公式求解.【小问1详解】解：因为锐角的终边与单位圆交于点，， 所以.【小问2详解】设单位圆与x轴负半轴交点为Q，则，设，则，所以，所以.20.说明：请同学们在（A）、（B）两个小题中任选一题作答.（A）已知函数.（1）若，求的值；（2）判断函数的奇偶性，并证明你的结论；（B）已知函数.（3）判断函数的奇偶性，并证明你的结论；（4）若对于恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）.（2）为奇函数，证明见解析.（3）为奇函数，证明见解析.（4）.【解析】 【分析】（1）解对数型函数方程即可.（2）由奇偶性的定义证明函数的奇偶性，先求定义域，再找与的关系式.（3）由奇偶性的定义证明函数的奇偶性，先求定义域，再找与的关系式.（4）根据题意问题转化为.运用分离常数法研究分式函数的单调性，再运用复合函数单调性判断方法得的单调性，应用的单调性求得，进而求得m的范围.【小问1详解】由题意知，，即：，解得：.【小问2详解】为奇函数.证明：由，解得：或，即的定义域为关于原点对称，又因为，即，所以为奇函数.【小问3详解】为奇函数.证明：由，解得：或，即的定义域为关于原点对称，又因为，即，所以为奇函数.【小问4详解】因为对于恒成立，所以.设，则，又因为在上单调递增，在上单调递增，所以在上单调递增，所以，所以，即：实数m的取值范围为.21.已知函数的最小正周期为，再从下列①② 两个条件中选择一个作为已知条件：①的图象关于点对称；②的图象关于直线对称.（1）请写出你选择的条件，并求的解析式；（2）在（1）的条件下，求的单调递增区间.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据正弦型函数的周期公式，利用整体思想，结合正弦型函数的对称轴与对称中心，建立方程，可得答案；（2）利用整体思想，根据正弦函数的单调增区间，建立不等式，可得答案.【小问1详解】若选①：因为函数的最小正周期为，所以，解得，因为的图象关于点对称，所以，解得，由，则，故.若选②：因为函数的最小正周期为，所以，解得，因为的图象关于直线对称，所以，则，由，则，故.【小问2详解】由（1）可知，令， 解得，故函数的单调增区间为.22.已知函数，其中，再从下列①②③三个条件中选择两个作为已知条件：①；②的最小正周期为；③的图像经过点．（1）请写出你选择的条件，并求的解析式；（2）在（1）的条件下，求的单调递增区间．【答案】（1）条件选择见详解，（2）【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换化简得出，选择①②，由可求得的值，再由正弦型函数的周期公式可求得的值，进而得出的解析式；选择②③，由正弦型函数的周期公式可求得的值，再由可求得的值，进而得出的解析式；选择①③，由可求得的值，再由结合可求得的值，进而可得的解析式；（2）解不等式可得出函数的单调递增区间．【小问1详解】依题意有，选择①②，因为，所以， 又因为的最小正周期为，所以，所以；选择②③，因为的最小正周期为，所以，所以，又因为，所以，所以；若选择①③，因为，所以，所以，又因为，所以，所以，又，所以，所以．【小问2详解】依题意，令，解得，所以的单调递增区间．