北京市顺义区2022-2023学年高二数学下学期期中考试试题（Word版附解析）

2022-2023学年北京市顺义区高二（下）期中数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.计算（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据阶乘的定义，利用公式计算即可.【详解】由阶乘公式计算，.故选：C.2.函数的导数是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据求导公式直接求导即可.【详解】解：，，故选：D3.已知数列满足，，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据题意得到数列是公差为的等差数列，结合等差数列的通项公式，即可求解.【详解】解：由，可得，又由，所以数列是首项为，公差为的等差数列，则.故选：B.4.乘积展开后的项数有（） A.项B.项C.项D.项【答案】C【解析】【分析】根据分步乘法计数原理计算即可.【详解】解：依题意从第一个括号中选一个字母有种方法，从第二个括号中选一个字母有种方法，按照分步乘法计数原理可得展开后的项数为项.故选：C..5.某同学从语文、数学、英语、物理、化学、生物这门课程中选择门报名参加合格性考试，其中，语文、数学这门课程同时入选的不同选法共有（）A种B.种C.种D.种【答案】A【解析】【分析】根据题意可知，若语文、数学这门课程同时入选，则只需从剩余门课程中选择门即可，结合组合的知识，求解即可.【详解】某同学从语文、数学、英语、物理、化学、生物这门课程中选择门报名参加合格性考试，若语文、数学这门课程同时入选，则只需从剩余门课程中选择门即可，故不同选法共有种.故选：.6.设等比数列的公比，前项和为，则（）AB.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．【详解】设数列的首项为.∵数列为等比数列，且公比∴，，且 ∴故选：B.7.已知函数的图象如图所示，那么下列各式正确的是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据的图象与导函数图象之间的关系判断．【详解】由图象知，递减，即，但图象的切线斜率随着的增大而增大，导函数是递增的，因此．故选：A．8.如果、、、、成等比数列，那么（）A.，B.，C.，D.，【答案】B【解析】【分析】根据等比中项的定义求解.【详解】由、、、、成等比数列，得， 解得或，又，，所以，.故选：B.9.已知函数，下列说法中正确的是（）A.既是的一个零点，又是的一个极小值点B.既是的一个零点，又是的一个极大值点C.是的一个零点，不是的极值点D.既不是的一个零点，也不是的极值点.【答案】A【解析】【分析】求得，求得函数的单调性，根据和，结合零点和极值点的定义，即可求解.【详解】由函数，可得其定义域为，且，又由函数和在上都是增函数，所以在上是增函数，且，当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以当时，取到极小值，没有极大值，因为，所以为函数的零点，综上可得，既是的一个零点，又是的一个极小值点.故选：A.10.在正整数数列中，由开始依次按如下规则取该数列的项：第一次取；第二次取个连续的偶数，；第三次取个连续奇数，，；第四次取个连续的偶数，，，；第五次取个连续的奇数，，，，；按此规律取下去，得到一个数列，，，，，，，，，，，则这个数列中第个数是（） A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】找出取数的规律为：奇数次取奇数个奇数，偶数次取偶数个偶数，前次总共取的数各数量可以通过等差数列求和得到，且第次的最后一个数为，据此即可求解.【详解】由题意可得：奇数次取奇数个奇数，偶数次取偶数个偶数，前次共取了个数，且第次的最后一个数为，当时，，故到第次取时取了个奇数，且前次共取了个数，即第个数为，时，依次为，，，，，，，，第个数为.故选：C.二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）11.在的展开式中，常数项为________.(用数字作答)【答案】【解析】【分析】展开式的通项为，取计算得到答案.【详解】的展开式的通项为：，取得到常数项.故答案为：.【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力.12.一质点沿直线运动，位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，则质点在时的瞬时速度是______单位：.【答案】4【解析】【分析】根据已知条件，结合导数的几何意义，即可求解. 【详解】解：因为，则，当时，.故答案为：.13.______.（用数字作答）【答案】【解析】【分析】根据组合数及组合数公式，准确计算，即可求解.【详解】由组合数的计算公式，可得.故答案为：.14.能说明“若函数在上的最大值为，则函数在上单调递减”为假命题的一个函数是______.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】只要所求的函数在上的最大值为，但在上不单调即可.【详解】函数在上先减后增，在处取得最大值.故答案为：答案不唯一.15.对函数，满足的实数称为的不动点设，其中且有下列四个结论：①当时，函数仅有一个不动点；②当时，函数仅有一个不动点；③当时函数有两个不动点；④当时函数有两个不动点.其中，所有正确结论的序号是______.【答案】①②【解析】 【分析】令，得，则，令，求导分析其单调性，极值，则与交点个数为函数不动点个数，即可得出答案.【详解】令，得，即，所以，令，，令得，所以在上，单调递增，在上，单调递减，所以，当趋近于0时，趋近于；趋近于时，趋近于0，当，即时，函数与图象只有一个交点，所以方程只有一个根，即方程只有一个根，所以函数只有一个不动点，故正确；当，即时，函数与的图象只有一个交点，所以方程只有一个根，即方程只有一个根，所以函数只有一个不动点，故正确；当，即时，函数与的图象有两个交点，所以方程有两个根，即方程有两个根，所以函数有两个不动点；当，即时，函数与的图象没有交点，所以方程没有根，即方程没有根，所以函数没有不动点；又由可知，当，有一个不动点； 所以当时，可能有两个不动点，也可能有一个不动点，也可能没有不动点，故错误；当时，，函数与的图象没有交点，所以方程没有根，即方程没有根，所以函数没有不动点，故错误；故答案为：.【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.三、解答题（本大题共6小题，共85.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.已知满足.（1）求实数；（2）求，.【答案】（1）1（2），【解析】【分析】（1）由题意，根据二项展开式的通项公式，求得的值.（2）由题意，根据二项展开式的通项公式，求得，的值.【小问1详解】满足，通项公式为，，解得或（舍去），实数.【小问2详解】 根据通项公式为，可得当时，，当时，.17.已知为等差数列，且，.（1）求的通项公式；（2）若满足，求数列的前项和公式.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求得公差，可求的通项公式；（2）由，利用裂项求和法，即可求数列的前项和公式.【小问1详解】因为为等差数列，且，，，，；的通项公式；【小问2详解】，设数列的前项和为，. 18.已知函数在点处的切线的方程为.（1）求，的值；（2）求函数的极值.【答案】（1）（2）极大值24，极小值【解析】【分析】（1）函数，，利用导数运算法则可得，根据函数在点处的切线的方程为，可得，，解得，.（2）由（1）可得：，，利用导数研究函数的单调性与极值即可得出结论.【小问1详解】由，得，，函数在点处的切线的方程为，，，解得，.【小问2详解】由（1）可得：，，令，解得，∵时，，函数单调递增；时，，函数单调递减；时，，函数单调递增.时，函数取得极大值，；时，函数取得极小值，. 19.数列的前项和为，且，，，，，.（1）求，，的值；（2）求的通项公式；（3）设，求的表达式.【答案】（1），，（2）（3）【解析】【分析】（1）由已知结合数列递推式求，，的值；（2）由数列递推式可得数列从第二项起构成以为公比的等比数列，则的通项公式可求；（3）数列是以为首项，以为公比的等比数列，再由等比数列的求和公式求解.小问1详解】由，，得，即；，则；，则；【小问2详解】由，得，，得，由（1）得，，不适合上式，数列从第二项起构成以为公比的等比数列， 则的通项公式；【小问3详解】数列是以为首项，以为公比的等比数列，则.20.已知函数，.（1）求的单调区间；（2）若有两个零点，求的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）【解析】【分析】（1）先对函数求导，结合导数与单调性关系对进行分类讨论可求；（2）结合（1）中函数的单调性，再由函数零点判定定理可求.【小问1详解】函数的定义域为，导函数，当时，恒成立，在定义域上单调递增；当时，令，解得，当时，，单调递增；当时，，单调递减，综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减；【小问2详解】由（1）得，当时，在定义域上单调递增，不可能有两个零点，不符合题意；当时，在上单调递增，在上单调递减，当时，，时，，若函数有两个零点，则，解得，故的取值范围为【点睛】关键点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．21.已知无穷数列满足.（1）若对于任意，有.（ⅰ）当时，求，；（ⅱ）求证：“”是“，，，，为等差数列”的充分不必要条件.（2）若，对于任意，有，求证：数列不含等于零的项.【答案】（1）（ⅰ），；（ⅱ）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）（ⅰ）结合条件代入计算即可；（ⅱ）若，由于，所以当，数列为递增数列，不能存在降低的部分，否则达不到，若数列的公差为，；（2）假设为数列的第一个为项，而后进行反证即可.【小问1详解】 解：（ⅰ）因为，所以当，数列为递增数列，且公差为，不能存在降低的部分，所以，.（ⅱ）若，由于，所以当，数列为递增数列，且公差为，不能存在降低的部分，否则达不到，所以其是充分条件，若数列的公差为，，可见其是不必要条件，所以””是“，，，，为等差数列”的充分不必要条件；【小问2详解】证明：假设，，是数列第一个为项，则，所以，或，以此类推，可得为整数，显然与已知矛盾.所以数列不含等于零的项.【点睛】与数列的新定义有关的问题的求解策略：1、通过给出一个新的数列的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的；