北京市通州区2022-2023学年高二数学下学期期中质量检测试题（Word版附解析）

通州区2022－2023学年第二学期高二年级期中质量检测数学试卷2023年4月本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，请将答题卡交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.书架上层放有4本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书，从书架上任取数学书和语文书各1本，不同取法的种数为（）A.9B.12C.20D.24【答案】C【解析】【分析】根据分步乘法计数原理计算可得结果.【详解】分两步完成：第一步，从上层取1本数学书，有4种不同的取法；第二步，从下层取1本语文书，有5种不同的取法，由分步乘法计数原理得共有种不同的取法.故选：C2.计算：（）A.30B.60C.90D.120【答案】D【解析】【分析】根据排列数公式计算可得结果.【详解】.故选：D3.二项式的展开式为（）A.B. C.D.【答案】B【解析】【分析】由二项式定理求解.【详解】二项式，.故选：B4.已知，则（）A.127B.128C.255D.256【答案】B【解析】【分析】分别令和，两式相加即可求解.详解】令得，；令可得，；两式相加可得，，所以，故选：B.5.已知函数，则（）A.B.1C.D.2【答案】D【解析】【分析】根据导数的定义计算可得结果.【详解】.故选：D6.已知函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（） A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据函数的图象结合导数的几何意义可得答案.【详解】由函数的图象可知，函数在上为减函数，且，所以.故选：A7.下列运算正确的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据导数公式表以及导数的运算法则运算可得答案.【详解】，故A不正确；，故B不正确；，故C正确；，故D不正确.故选：C8.已知函数的导函数为，若的图像如图所示，下列结论错误的是（） A.当时，B.当时，C.当时，取得极大值D.当时，取得最大值【答案】D【解析】【分析】由的图像得到函数的单调区间，即可得到和为的两根，结合函数极值的定义分别判断各个选项即可.【详解】由的图像可知在上单调递减,，A正确；由的图像可知在和上单调递减,在上单调递增，所以在处取得极小值，在处取得极大值，所以，B正确,C正确;在处取得极大值，但不是的最大值，故D错误.故选：D.9.某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是1.2分，其中r（单位：cm）是瓶子的半径，已知每出售1mL的饮料，可获利0.3分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm，当每瓶饮料的利润最大时，瓶子的半径为（）A.4.5cmB.5cmC.5.5cmD.6cm【答案】D【解析】【分析】写出利润关于的函数，利用导函数求出利润最大时的的取值.【详解】设每瓶饮料获得的利润为，依题意得，，，于是，递减；，递增， 是极小值点，于是在，只可能使得最大.故选：D10.若函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】转化为，即在区间上恒成立，求出不等式右边的最小值可得答案.【详解】，因为在区间上单调递减，所以，即在区间上恒成立，所以在区间上恒成立，因为，所以，则.故选：B第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.一质点A沿直线运动，位移y（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为，则这段时间内的平均速度为____________m/s；时的瞬时速度为____________m/s．【答案】①.6②.8【解析】【分析】先利用平均速度的计算公式求解平均速度，再求出的导数，将代入计算可得答案．【详解】，，物体在这段时间内的平均速度，，则， 当时，，即质点在时的瞬时速度为，故答案为：6；8．12.已知函数，则单调递减区间为________．【答案】【解析】【分析】解不等式，可得单调递减区间.【详解】，令在上单调递减.故答案为：13.已知，则____________；____________．【答案】①.－2②.3【解析】【分析】令可得，根据组合知识，5个中取四个提供与相乘，也可5个中取5个提供与相乘，合并同类项可得.【详解】令，则，即；根据组合知识，含的项为：，即.故答案为：；.14.从0，2，4中任取2个数字，从1，3，5中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，则其中奇数的个数为____________．【答案】84【解析】【分析】根据题意，分从0，2，4中选出的数字没有0和有0，利用排列和组合结合分类计数原理求解.【详解】解：由题意，分2类讨论：第一类是从0，2，4中选出的数字没有0，则从2，4中任取2个数字有种方法，从1，3，5中任取2个数字有种方法，则组成没有重复数字的四位奇数有个， 第二类是从0，2，4中选出的数字有0，则从2，4中任取1个数字有种方法，从1，3，5中任取2个数字有种方法，则组成没有重复数字四位奇数有个，则共有个符合条件的奇数，故答案为：8415.已知函数，，给出下列四个结论：①若，则；②若函数，则在区间上单调递增；③若关于x的方程在区间上无解，则；④若点M，N分别在函数和的图象上，则一定存在M，N关于直线对称.其中所有正确结论的序号是____________．【答案】②④【解析】分析】对于①：求导分析的符号，的单调性，即可判断①是否正确；对于②：，求导分析单调性，即可判断②是否正确；对于③：若在上无解，在上无解，即可判断③是否正确；对于④：由于点，分别在函数和的图象上，设，，若点与点关于对称，则,，进而可得，即在上有解，即可判断④是否正确.【详解】对于①：，因为，所以当时，，单调递减，若，则，所以，故①错误；对于②：，，若，则，单调递增，故②正确； 对于③：若在上无解，则在上无解，所以在上无解，设，，，所以在上单调递增，所以，所以，所以或，故③错误；对于④：因为点，分别在函数和的图象上，所以设，，若点与点关于对称，则,，又点在图象上，则，所以在上有解，令，，，所以在上，单调递增，所以，又，所以方程在上有解，故④正确．故答案为：②④．三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.从4名女生3名男生中选出3名学生去参加一项创新大赛．（1）选出3名学生中，恰有1名男生的选法有多少种？（2）选出3名学生中，既有女生又有男生的选法有多少种？（3）选出3名学生中，女生中的甲与男生中的乙至少有1名在内的选法有多少种？【答案】（1）18（2）30（3）25【解析】【分析】（1）根据分步乘法计数原理计算可得结果；（2）分两类计数再相加可得结果；（3）分三类计数再相加可得结果.【小问1详解】从3名男生中选出1名的选法有种，从4名女生选出2名的选法有种，所以选出的3名学生中，恰有1名男生的选法为． 【小问2详解】选出的3名学生中，有1名女生2名男生的选法有种，有2名女生1名男生的选法有种，所以选出的3名学生中，既有女生又有男生的选法为种．【小问3详解】选出的3名学生中，女生中的甲在内且男生中的乙不在内的选法有种；女生中的甲不在内且男生中的乙在内的选法有种；女生中的甲在内且男生中的乙也在内的选法有种，所以选出的3名学生中，女生中的甲与男生中的乙至少有1名在内的选法为种．17.已知二项式为．（1）求该二项式的展开式的中间两项；（2）求该二项式的展开式中项的系数.【答案】（1）（2）84【解析】【分析】（1）根据题意得到的展开式的中间两项为第4项和第5项，然后代入二项式展开式的通项公式即可求解；（2）先写出二项式展开式的通项，然后根据题意求出的值，代入即可求解.【小问1详解】因为二项式为，所以的展开式的中间两项为第4项和第5项．所以的展开式的第4项是．第5项是． 【小问2详解】因为二项式为，所以展开式的通项是．根据题意，得，所以．所以的展开式中的系数是．18.已知函数．（1）求的极值；（2）求在区间上的最大值和最小值．【答案】（1）极大值为；极小值为（2）最大值为，最小值为．【解析】【分析】（1）求出函数导数，得出的根，列表即可得解；（2）根据函数单调性及极值求函数最大最小值即可.【小问1详解】因为，定义域为，所以．令，解得，或．当x变化时，，的变化情况如下表所示．x－11＋0－0＋单调递增单调递减单调递增所以，当时，有极大值，且极大值为；当时，有极小值，且极小值为． 【小问2详解】由（1）知，在区间上有极小值为．因为，．所以在区间上的最大值为，最小值为．19.已知函数，．（1）若，求a的值；（2）当时，求曲线在点处的切线方程；（3）若在时取得极值，求a的值.【答案】（1）（2）（3）．【解析】【分析】（1）首先求导得，根据即可解出值；（2）代入得，求出其导数，计算出切点纵坐标和切线斜率即可得到切线方程；（3）由题意代入，解出，再证明时，取得极值.【小问1详解】因为，定义域为，所以．因为，所以．所以．【小问2详解】当时，．所以．所以，． 所以曲线在点处的切线方程为．【小问3详解】因为在时取得极值，所以，即，所以．当时，．令，即，得；令，即，得．所以在区间上单调递增，在区间上单调递减．所以在时取得极大值，符合题意．所以．20.已知函数，．（1）求的单调区间；（2）当时，求证：，，恒有．【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求导，再分，，，讨论求解；（2）由时，，利用导数法求得当时的最值即可得到证明.【小问1详解】解：因为，定义域为，所以．令，解得，或．①当，即时，．所以在区间上单调递增． ②当，即a≥0时，当x变化时，，的变化情况如下表所示．x2－0＋单调递减极小值单调递增所以在区间上单调递减，在区间上单调递增．③当，即时，当x变化时，，的变化情况如下表所示．x2＋0－0＋单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以在区间和上单调递增，在区间上单调递减．④当，即时，当x变化时，，的变化情况如下表所示．x2＋0－0＋单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以在区间和上单调递增，在区间上单调递减． 综上所述，当a≥0时，的单调递增区间是，单调递减区间是；当时，的单调递增区间是和，单调递减区间是；当时，的单调递增区间是，无递减区间；当时，的单调递增区间是和，单调递减区间是．【小问2详解】当时，．当时，由（1）知，在区间上单调递减，在区间上单调递增．所以在区间上的最小值是．因为，．所以.所以在区间上的最大值是．所以，，恒有．【点睛】关键点点睛：对于含参求单调区间问题，一般是求导后分两类：第一类是能因式分解的根据根的大小分情况讨论，第二类是不能因式分解的，转化为二次函数，利用根的分布讨论求解.21.已知函数．（1）求的零点；（2）设，．（ⅰ）若在区间上存在零点，求a的取值范围；（ⅱ）当时，若在区间上的最小值是0，求a的值．【答案】（1）零点0；（2）（ⅰ）；（ⅱ）a的值为．【解析】【分析】（1）由即可求解零点；（2）（ⅰ）对求导，再对分类讨论，判断函数的单调性，结合零点存在性定理即可求解的范围； （ⅱ）对分类讨论，求出的最小值，从而可得的值．小问1详解】因为，令，即，解得，所以的零点是0；【小问2详解】（ⅰ）因为，所以，所以，①当时，．所以在区间上单调递增．所以．所以在区间上不存在零点，不符合题意．②当时，令，即，得．若，即时，．所以．所以在区间上单调递增．又，所以在区间上不存在零点，不符合题意．若，即时，令，得；令，得．所以在区间上单调递减，在区间上单调递增．因为，所以存在，使得．当，．所以存在，使得．由零点存在性定理，存在，使得．所以在区间上存在零点．综上所述，a的取值范围是；（ⅱ）当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增． 所以当时，取得极小值，也是最小值．①当，即时，在区间上单调递增．所以在区间上最小值为．所以．所以．②当，即时，在区间上单调递减．所以在区间上最小值为．所以．所以，不符合题意．③当，即时，在区间上单调递减，在区间上单调递增．所以在区间上最小值为．所以，即．令，所以．所以在区间上单调递减．因为，所以在区间上无零点．所以当时，方程无解，不符合题意．综上所述，a的值为．【点睛】方法点睛：函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同 的值，就有几个不同的零点．