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北京市通州区2022-2023学年高一数学下学期期中质量检测试题(Word版附解析)

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通州区2022-2023学年第二学期高一年级期中质量检测数学试卷2023年4月本试卷共4页,150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.第一部分(选择题共40分)一、选择题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.复数的虚部为()A.3B.2C.D.【答案】C【解析】【分析】根据复数的定义,即可求解.【详解】的虚部为.故选:C.2.在复平面内,点对应的复数的模等于()A.5B.C.2D.1【答案】B【解析】【分析】利用复数模公式,即可得到答案.【详解】点对应的复数为,则其模为.故选:B.3.设,是单位向量,则下列四个结论中正确的是()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据单位向量的定义,即可得解.【详解】由是单位向量,知,但单位向量的方向不确定,所以选项A,B和C均错误,选项D正确. 故选:D.4.已知向量,则向量与夹角的余弦值为()A.B.C.D.1【答案】A【解析】【分析】根据题意,设向量与夹角为,求出、和的值,进而计算可得答案.【详解】根据题意,设向量与夹角为,向量,,则,,,则.故选:A.5.已知向量满足,且,则在上的投影向量为()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】向量在向量上的投影向量的定义计算即可.【详解】解:因为向量,且,那么,所以向量在向量上的投影向量为,故选:C.6.已知向量,则“”是“”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】 【分析】根据题意,由向量垂直的判断方法分析“”和“”的关系,由此分析可得答案.【详解】根据题意,当时,向量,,则,有,则有,反之,若,则,则,解可得或1,不一定成立;故“”是“”的充分不必要条件.故选:A.7.如图所示,点在线段上,且,则()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据平面向量的基本定理求解即可.【详解】因为,所以,因为,所以,即.故选:C.8.抛掷两枚硬币,观察它们落地时朝上的面的情况,该试验的样本空间中样本点的个数为()A.1B.2C.4D.8【答案】C【解析】【分析】利用基本事件的定义,列举即可.【详解】先后抛掷两枚质地均匀的硬币,有先后顺序,则此试验的样本空间为(正面,正面),(正面,反面),(反面,正面),(反面,反面). 故选:C.9.若某群体中的成员会用现金支付的概率为0.60,会用非现金支付的概率为0.55,则用现金支付也用非现金支付的概率为()A.0.10B.0.15C.0.40D.0.45【答案】B【解析】【分析】设成员会用现金支付为是事件A,会用非现金支付为事件B,则为即用现金支付也用非现金支付,.【详解】设成员会用现金支付为是事件A,会用非现金支付为事件B,则为即用现金支付也用非现金支付,则,,则,.故选:B.10.已知,若向量,,则向量与所成的角为锐角的概率是()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由题意可得,且与的方向不同,然后利用列举法列出满足条件的情况,再根据古典概型的概率公式求解即可.【详解】向量与所成的角为锐角等价于,且与的方向不同,即,则满足条件的向量有,其中或时,与同向,故舍去,故共有4种情况满足条件,又的取法共有种,则向量与所成的角为锐角的概率是.故选:B.第二部分(非选择题共110分) 二、填空题共5小题,每小题5分,共25分.11.已知i是虚数单位,则_________.【答案】【解析】【分析】根据已知条件,结合复数的乘方运算,即可求解.【详解】.故答案为:.12.在△ABC中,已知AB=2,AC=3,A=60°,则sinC=_____.【答案】【解析】【分析】已知利用余弦定理可求BC的值,进而利用正弦定理可求sinC的值.【详解】∵AB=2,AC=3,A=60°,∴由余弦定理可得:BC2=AB2+AC2﹣2AB•ACcosA=4+9﹣2×2×37,∵BC>0,∴BC.∴由正弦定理,可得.故答案为:.【点睛】本题考查余弦定理、正弦定理的在解三角形中的综合应用,考查了转化思想,属于基础题.13.某人射击中靶的概率为0.9,连续射击3次,每次射击的结果互不影响,则至少中靶一次的概率是_________.【答案】0.999##【解析】【分析】由题意知本题符合独立重复试验的条件,是一个独立重复试验,经过3次射击,至少有一次中靶的对立事件是三次未击中目标,代入公式得到结果.【详解】由题意知本题是一个独立重复试验,∵每次中靶的概率均为0.9, 经过3次射击,至少有一次中靶的对立事件是三次未击中目标,.故答案为:0.999.14.一条河宽为,一艘船从岸边的某处出发向对岸航行.船的速度的大小为,水流速度的大小为,则当航程最短时,这艘船行驶完全程所需要的时间为_________.【答案】3【解析】【分析】首先利用向量的模求出合速度,进一步利用求出结果.【详解】如图所示:所以故.故答案为:3.15.在正方形中,,P为边的中点,Q为边的中点,M为边(包括端点)上的动点,则的取值范围是_________.【答案】【解析】【分析】建立直角坐标系,利用数量积的坐标计算公式,结合一次函数的性质即可求解.【详解】如图,以为坐标原点,AB,AD所在直线分别为x,y轴建立如图所示的平面直角坐标系,则,设,则,所以, 所以.故答案为:.三、解答题共6小题,共85分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.16.已知,i是虚数单位,复数与互为共轭复数.(1)求a,b的值,并指出复平面内对应的点所在的象限;(2)计算,,;(3)当实数取什么值时,复数是下列数?①实数;②虚数;③纯虚数.【答案】(1),,第四象限;(2),,(3)①;②;③.【解析】【分析】(1)直接由共轭复数的概念求a与b的值,再求出对应的点的坐标得答案;(2)直接利用复数代数形式的乘除运算得答案;(3),再由复数的基本概念求解①②③中的值.【小问1详解】因为与互为共轭复数,所以,.所以,.所以复平面内对应的点的坐标为,所以复平面内对应点在第四象限.【小问2详解】,, .【小问3详解】.①当,即时,复数是实数.②当,即时,复数是虚数.③当,且,即时,复数是纯虚数.17.在平面直角坐标系中,已知点.(1)求的值;(2)设点M是坐标平面内一点,且四边形是平行四边形,求点M的坐标;(3)若点N是直线上的动点,求的最小值.【答案】(1)(2)(3)-2【解析】【分析】(1)由向量的坐标表示求模长即可;(2)由平行四边形的几何性质,结合向量共线的充要条件计算即可;(2)由直线PO的方程设N坐标,根据数量积的坐标表示计算求最值即可.【小问1详解】由题意可知;【小问2详解】如图所示,因为四边形是平行四边形,故有,设,即,解之得;【小问3详解】易知直线OP为,不妨设,则 ,当时,即时,取得最小值-2.18.袋子中有5个大小质地完全相同的球,其中红球3个,白球2个.(1)从中有放回地依次随机摸出2个球,求第一次摸到白球的概率;(2)从中无放回地依次随机摸出2个球,求第二次摸到白球的概率;(3)若同时随机摸出2个球,求至少摸到一个白球的概率.【答案】(1)(2)(3)【解析】【分析】(1)利用有放回的抽取求出基本事件总数,事件A包含的基本事件数,再利用古典概型的概率计算公式求解即可.(2)利用无放回的抽取求出基本事件总数,事件B包含的基本事件数,再利用古典概型的概率计算公式求解即可.(3)求出一次抽取2个球的基本事件总数,事件C包含的基本事件数,再利用古典概型的概率计算公式求解即可.【小问1详解】记三个红球编号为1,2,3,两个白球分别为4,5,则在有放回情况下,第一次摸球时有5种等可能的结果,对应第一次摸球的每个可能结果,第二次摸球时都有5种等可能的结果.将两次摸球的结果配对,组成25种等可能的结果.如表1所示.表1第二次第一次12345 12345第一次摸到白球的可能结果有10种,见表中后两行.记“第一次摸到白球”,则.【小问2详解】在无放回情况下,第一次摸球时有5种等可能的结果,对应第一次摸球的每个可能结果,第二次摸球时都有4种等可能的结果.将两次摸球的结果配对,组成20种等可能的结果,如表2所示.表2第二次第一次123451×2×3×4×5×第二次摸到白球的可能结果有8种,见表中后两列.记“第二次摸到白球”,则.【小问3详解】“同时摸出两个球”的基本事件有,共10件,其中至少摸到一个白球基本事件有,共7件,记“至少摸到一个白球”,则.19.已知的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量与垂直. (1)求A的大小;(2)若,求的面积.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)运用向量垂直的条件:数量积为0,结合正弦定理和同角的商数关系,可得所求角;(2)运用余弦定理求得c,再由三角形的面积公式计算即可得到所求值.【小问1详解】因为,所以, 即.由正弦定理得.因为,所以,所以,所以.因为,所以.【小问2详解】由余弦定理,得, 所以,解得,或(舍).所以的面积.20.在中,角的对边分别为.(1)求的大小;(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件选择一个作为已知,使得存在且唯一确定,求边上高线的长.条件①:;条件②:;条件③:.注:如果选择多个符合要求的条件分别解答,按第一个解答给分. 【答案】(1).(2)条件①:;条件③:.【解析】【分析】(1)利用正弦定理,边化角,再利用三角恒等变换求解即可.(2)根据三角形全等条件可知①③满足条件,条件②由余弦定理可得有两解,不满足条件,条件①:根据,结合等面积求解即可;条件③:利用余弦定理结合等面积求解即可.【小问1详解】在中因为,由正弦定理得,所以,即,又因为,,所以,.【小问2详解】设边上的高为,条件①:因为,所以,,所以,根据三角形全等(角角边)可知存且唯一确定.所以,则,解得,即边上的高为.条件②:由余弦定理得,即,解得,此时满足条件的的三角形有两个,条件②不符合题意.条件③:根据三角形全等(边角边)可得存在且唯一确定, 由余弦定理得,即,解得,则,解得,即边上的高为.21.若函数,则称向量为函数的特征向量,函数为向量的特征函数.(1)若函数,求的特征向量;(2)若向量特征函数为,求当,且时的值;(3)已知点,设向量的特征函数为,函数.在函数的图象上是否存在点Q,使得?如果存在,求出点Q的坐标;如果不存在,请说明理由.【答案】(1)(2)(3)不存在理由见解析【解析】【分析】(1)由三角函数的和差公式可得,再结合特征向量的定义,即可得出答案.(2)由特征向量的定义可得,代入解得,再计算,最后利用两角和差公式即可得出答案.(3)由特征向量的定义可得,三角函数倍角公式可得,若函数的图象上是否存在点Q,使得;再计算其数量积可得,再利用整体法结合余弦型函数的值域即可判断.【小问1详解】 因为,所以函数的特征向量.【小问2详解】因为,所以.又.所以. 因为,所以,所以.所以.【小问3详解】不存在.理由如下:由向量的特征函数为,得,所以.设函数的图象上任一点,则,.所以 .因为,所以,所以,所以,当且仅当,时取等号.所以.所以函数的图象上任一点Q,都不能使得.即函数的图象上不存在点Q,使得.【点睛】关键点睛:本题第三问的关键是计算出,然后再去设点,得到向量从而化简向量数量积为得,再利用整体法即可判断.

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所属: 高中 - 数学
发布时间:2023-08-02 09:27:01 页数:15
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文章作者:随遇而安

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