北京市朝阳区2022-2023学年高一数学下学期期末质量检测试题（Word版附解析）

北京市朝阳区2022~2023学年度第二学期期末质量检测高一数学2023.7（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共50分）和非选择题（共100分）两部分考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题共50分）一、选择题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.计算（）A.B.C.D.4【答案】C【解析】【分析】根据复数的乘方运算即可.【详解】.故选：C.2.已知，，若，则点的坐标为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由题意可得是线段的中点，根据中点坐标公式求解即可.【详解】因为，所以是线段的中点，所以点的坐标为，即，故点的坐标为.故选:A. 3.在如图所示的正方体中，异面直线与所成角的大小为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据异面直线所成角的性质，结合正方体线线关系即可求解.【详解】如图，连接在正方体中，因为所以四边形为平行四边形，所以又在正方形中，所以则异面直线与所成角的大小为.故选：B.4.从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，则下列事件是对立事件的是（）A.“都是白球”与“至少有一个白球”B.“恰有一个白球”与“都是红球”C.“都是白球”与“都是红球”D.“至少有一个白球”与“都是红球”【答案】D【解析】【分析】由题意可得总事件分别为（红，白），（红，红），（白，白）三种情况，根据互斥事件以及对立事件的定义再对应各个选项逐个分析即可求解． 【详解】从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，抽取小球的情况分别为（红，白），（红，红），（白，白）三种情况，选项A,“至少有一个白球”包括（红，白），（白，白），故既不互斥也不对立，A错误，选项B：“恰有一个白球”表示的是（红，白），与“都是红球”互斥但不对立，故B错误，选项C：“都是白球”与“都是红球”互斥但不对立，故C错误，选项D：“至少有一个白球”包括（红，白），（白，白），与“都红球”是对立事件，故D正确，故选：D．5.已知a，b是两条不重合的直线，为一个平面，且a⊥，则“b⊥”是“a//b”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】利用充分条件、必要条件的定义即可得出选项.【详解】当b⊥时，结合a⊥，可得a//b，充分性满足；当a//b时，结合a⊥a，可得b⊥a，必要性满足.故选：C.6.甲、乙两人射击，甲的命中率为0.6．乙的命中率为0.5，如果甲、乙两人各射击一次，恰有一人命中的概率为（）A.0.3B.0.4C.0.5D.0.6【答案】C【解析】【分析】甲乙相互独立，而甲、乙两人中恰好有一人击中目标即为事件：，由相互独立事件的概率乘法公式可求．【详解】设“甲命中目标”为事件，“乙命中目标”为事件由题意可得，且甲乙相互独立甲、乙两人中恰好有一人击中目标即为事件：， 故选：C7.已知函数的部分图象如图所示，则（）AB.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用图象求出函数的解析式，然后代值计算可得出的值.【详解】由图可知，函数的最小正周期为，因为，则，所以，，因为，可得，因为，则，故，因此，.故选：B.8.已知数据、、、、的平均数为，方差为，在这组数据中加入一个数后得到一组新数据，其平均数为，方差为，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】 【分析】利用平均数公式可得出、的大小关系，由方差公式可得出、的大小关系.【详解】由已知可得，，加入新数据后，，，所以ABC错误，D正确.故选：D.9.堑堵、阳马、鳖臑这些名词出自中国古代的数学名著《九章算术·商功》．如图1，把一块长方体分成相同的两块，得到两个直三棱柱（堑堵）．如图2，再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个，以矩形为底，另有一棱与底面垂直的四棱锥，称为阳马，余下的三棱锥是由四个直角三角形组成的四面体，称为鳖臑．则图2中的阳马与图1中的长方体的体积比是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】计算出长方体的体积，利用锥体的体积公式计算出阳马的体积，即可求得阳马与长方体的体积之比.【详解】设阳马的体积为，长方体的体积为，由图2可知，阳马是底面为矩形，高为的四棱锥，则，长方体的体积为，因此，.故选：B. 10.设为平面四边形所在平面内的一点，，，，．若且，则平面四边形一定是（）A.正方形B.菱形C.矩形D.梯形【答案】C【解析】【分析】由结合平面向量的减法推导出，利用平面向量的数量积运算推导出，即可得出结论.【详解】因为，则，即，即，所以，平面四边形为平行四边形，因为，则，即，因为，所以，，即，即，即，即平行四边形的两条对角线长相等，故平面四边形一定是矩形.故选：C.二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．11.在平面直角坐标系中，为坐标原点，复数对应的点为，则________．【答案】【解析】【分析】根据复数几何意义即可由模长求解.【详解】由题意可知，故答案为：12.某地区有高中生3000人，初中生6000人，小学生6000人．教育部门为了了解本地区中小学生的近视率，采用分层抽样的方法，按高中生、初中生、小学生进行分层，如果在各层中按比例分配样本，总样本量为150，那么在高中生中抽取了________人．【答案】30【解析】【分析】根据分层抽样的抽样比即可求解. 【详解】高中生中抽取了人，故答案为：3013.在中，，，，则________；________．【答案】①.②.【解析】【分析】利用余弦定理求出的值，结合角的取值范围可得出角的值；再利用诱导公式可得出的值.【详解】在中，，，，由余弦定理可得，因为，则，故.故答案为：；.14.把函数图象上的所有点向右平行移动个单位长度得到函数的图象，则的一个对称中心坐标为________．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】先利用平移变换得到的解析式，再根据正弦函数的性质求解即可.【详解】由题意可得，令，，解得，，所以的对称中心的横坐标为，，所以的一个对称中心坐标为，故答案为：（答案不唯一） 15.如图，在中，设，，的平分线和交于点，点在线段上，且满足，设，则______；当______时，.【答案】①.②.##【解析】【分析】利用向量的加法法则得，从而求得，利用角平分线性质确定点D位置，然后利用平行线分线段成比例求解.【详解】因为，所以，所以，所以，所以，在中，由正弦定理可得，可得，在中，由正弦定理可得，可得，因为为的角平分线，可知，所以，可得，所以，又，，所以，在中，，所以，所以，解得.故答案为：；.16.如图1，四棱锥是一个水平放置装有一定量水的密闭容器（容器材料厚度不计），底面为平行四边形，现将容器以棱为轴向左侧倾斜到图2的位置，这时水面恰好经过，其中、分别为棱、的中点，在倾斜过程中，给出以下四个结论： ①没有水的部分始终呈棱锥形；②有水的部分始终呈棱柱形；③棱始终与水面所在平面平行；④水的体积与四棱锥体积之比为.其中所有正确结论序号为________．【答案】①③④【解析】【分析】由棱锥的定义可判断①；由棱柱的定义可判断②；利用线面平行的定义可判断③；利用锥体的体积公式可判断④.【详解】对于①，由棱锥的定义可知，在倾斜的过程中，没有水的部分始终呈棱锥形，①对；对于②，由棱柱的定义可知，在倾斜的过程中，有水的部分的几何体不是棱柱，②错；对于③，倾斜前，在图1中，棱与水面所在平面平行，在倾斜的过程中，容器以棱为轴向左侧倾斜到图2的位置的过程中，棱始终与水面所在平面平行，③对；对于④，连接、、，设三棱锥的体积为，则三棱锥的体积也为，因为为的中点，则，所以，，因为、分别为、的中点，所以，且，所以，，所以，， 所以，没有水的部分的几何体的体积为，所以，有水的部分的几何体的体积为，因此，水的体积与四棱锥体积之比为，④对.故答案为：①③④.三、解答题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17.已知函数．（1）求函数的最小正周期；（2）求函数在区间上的最大值和最小值．【答案】（1）（2）最大值为，最小值为【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，利用正弦型函数的周期公式可求得函数的最小正周期；（2）由求出的取值范围，利用正弦型函数的基本性质可求得函数的最大值和最小值.【小问1详解】解：因为，所以，函数的最小正周期为.【小问2详解】解：当时，， 故当时，函数取最大值，即，当时，函数取最小值，即.18.海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：），其频率分布直方图如图所示．两种养殖方法的箱产量相互独立．（1）求频率分布直方图中的值；（2）用频率估计概率，从运用新、旧网箱养殖方法的水产品中各随机抽取一个网箱，估计两个网箱的箱产量都不低于的概率；（3）假定新、旧网箱养殖方法的网箱数不变，为了提高总产量，根据样本中两种养殖法的平均箱产量，该养殖场下一年应采用哪种养殖法更合适？（直接写出结果）【答案】（1）（2）（3）新养殖法【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图利用频率之和为，即可求得图中的值；（2）根据独立事件概率乘法公式计算即可；（3）利用频率分布直方图分别估计新旧养殖法的平均值，即可做出判断.【小问1详解】由所以 【小问2详解】设事件分别表示：从运用旧、新网箱养殖方法的水产品中随机抽取一个网箱，其箱产量不低于55kg，用频率估计概率，则，因为相互独立，所以所以估计两个网箱的箱产量都不低于的概率为【小问3详解】新养殖法（旧养殖法的平均值估计为新养殖法的平均值估计为又，所以该养殖场下一年应采用新养殖法更合适.）19.在中，已知，．（1）求证：；（2）在①；②；③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的值和的面积．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）证明见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）根据正弦定理可得，再根据余弦定理即可证明；（2）若选①，由（1）可得，，,，从而可求,根据三角形面积公式即可求解； 若选②，由（1）可得，，,，根据可求，根据三角形面积公式即可求解；若选③，根据边的等量关系可得，矛盾.【小问1详解】由  ，根据正弦定理可得.又因为，由余弦定理得：，可得，即.【小问2详解】若选①，由 ，且，所以，解得，所以,.所以.若选②，根据，所以,.因为，所以，解得.所以.若选③，由（1）可得，，则,与，矛盾，故不存在.20.已知四棱锥的底面为直角梯形，，，，平面 平面，是的中点．（1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）设棱与平面交于点，求的值．【答案】（1）见解析（2）见解析（3）【解析】【分析】（1）根据面面垂直的性质即可得到线面垂直.（2）取中点，根据线线平行可得平面平面，由此能证明直线平面；（3）作点满足，则与的交点即为与平面的交点，从而可求得的值，【小问1详解】平面平面,且两平面的交线为,由于，，所以,平面,故平面，【小问2详解】证明：取中点，连，，是的中点，，,由于平面,平面,所以平面同理可得平面，平面,平面平面，平面，直线平面； 【小问3详解】作点满足，则，，，四点共面，作的中点，则，所以，所以四边形是平行四边形，则，又，所以，即，，，四点共面，平面平面，则与平面的交点必定在上，所以与的交点即为与平面的交点，所以，所以，21.设，已知由自然数组成的集合，集合，，…，是的互不相同的非空子集，定义数表：，其中，设，令是，，…，中的最大值．（1）若，，且，求，，及；（2）若，集合，，…，中的元素个数均相同，若，求的最小值；（3）若，，集合，，…，中的元素个数均为3，且，求证：的最小值为3．【答案】（1），（2）4（3）见解析 【解析】【分析】（1）根据和即可求解，（2）将问题转化为至少有3个元素个数相同的非空子集．分别对中的元素个数进行列举讨论，即可求解，（3）由的定义以及，即可结合，，…，中的元素个数均为3，进行求解.【小问1详解】根据和可得，故，【小问2详解】设使得，则，所以．所以至少有3个元素个数相同的非空子集．当时，，其非空子集只有自身，不符题意．当时，，其非空子集只有，不符题意．当时，，元素个数为1的非空子集有，元素个数为2的非空子集有．当时，，不符题意．当时，，不符题意．当时，，令，则，． 所以的最小值为【小问3详解】由题可知，，记为集合中的元素个数，则为数表第列之和．因为是数表第行之和，所以．因为，所以．所以．当，时，，．所以的最小值为.【点睛】求解新定义运算有关的题目，关键是理解和运用新定义的概念以及元算，利用化归和转化的数学思想方法，将不熟悉的数学问题，转化成熟悉的问题进行求解.对于新型集合，首先要了解集合的特性，抽象特性和计算特性，抽象特性是将集合可近似的当作数列或者函数分析.计算特性，将复杂的关系通过找规律即可利用已学相关知识求解.