北京市石景山区2022-2023学年高一数学下学期期末考试试题（Word版附解析）

北京市石景山区2022-2023学年高一下学期期末考试数学本试卷共6页，满分为100分，考试时间为120分钟.请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】直接利用诱导公式求解.【详解】，故选：C2.已知正四棱锥的底面边长为，高为，则它的体积为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】直接根据棱锥的体积公式求解即可.【详解】正四棱锥的体积。故选：B3.在复平面内,复数对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A【解析】 【详解】试题分析：，对应的点为，在第一象限考点：复数运算4.在单位圆中，的圆心角所对的弧长为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据弧度制与角度制互化公式，结合弧长公式进行求解即可.【详解】，因为半径为，所以的圆心角所对的弧长为，故选：B5.已知函数，则（）A.在上单调递减B.在上单调递增C.在上单调递减D.在上单调递增【答案】C【解析】【分析】化简得出，利用余弦型函数的单调性逐项判断可得出合适的选项.【详解】因为.对于A选项，当时，，则在上单调递增，A错；对于B选项，当时，，则在上不单调，B错；对于C选项，当时，，则在上单调递减，C对；对于D选项，当时，，则在上不单调，D错. 故选：C.6.平面向量与的夹角为，，，则等于（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】转化为平面向的数量积可求出结果.【详解】因，所以，.故选：B7.要得到函数的图象，只需将函数（）A.向左平移个单位B.向右平移个单位C.向左平移个单位D.向右平移个单位【答案】A【解析】【分析】由函数的图象变换规律，可得结论．【详解】解：，将函数的图象上所有的点向左平移个单位，即可得到函数的图象．故选：A．8.在中，内角满足，则的形状为（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.正三角形【答案】B【解析】【分析】根据得到，求出，得到三角形形状. 【详解】，故，即，因，所以，故为等腰三角形.故选：B9.在中，“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用同角的三角函数关系和诱导公式分别证明充分性和必要性，进而得出结果.【详解】若，则，即，所以，所以，即，所以，所以，所以，所以“”是“”的充分条件．若，则，则，即，所以，所以或，所以“”不是“”的必要条件，所以“”是“”的充分不必要条件．故选：A．10.扇形的半径为，，点在弧上运动，，下列说法错误的是（）A.的最小值是1 B.的最大值是C.的取值范围为D.的取值范围为【答案】D【解析】【分析】建立坐标系，得出点的坐标，进而可得向量的坐标，化已知问题为三角函数的最值可判断结合选项逐一求解.【详解】以为原点，以为轴，建立如图所示的直角坐标系，设，则，其中，，．因为，所以，即，所以．所以当时，取得最大值，此时点为的中点，当或时，取得最小值，此时点为或点，故AB正确，而，，所以，．因为，所以，故， 因此，所以的取值范围为，故C正确，，，，因为，所以,故，，，所以D错误．故选：D第二部分（非选择题共60分）二、填空题共5小题，每小题4分，共20分.11.已知平面向量，，且，则实数__________.【答案】【解析】【分析】根据向量垂直的坐标表示可求出结果.【详解】因为，所以，得.故答案为：.12.若复数，则_________，______________.【答案】①.②.##【解析】【分析】根据复数的除法运算求出，根据共轭复数的概念得，根据模长公式得.【详解】，，. 故答案为：；.13.已知一个正方体的个顶点都在一个球面上，则球的表面积与这个正方体的全面积之比为_____________.【答案】【解析】【分析】根据正方体的对角线是球的直径以及球的表面积公式可得结果.【详解】设正方体棱长为，依题意得正方体的对角线是球的直径，所以球的半径为，表面积为，正方体的全面积为，所以球的表面积与这个正方体的全面积之比为.故答案为：.14.函数的值域是_______．【答案】【解析】【分析】【详解】，因为，所以.15.水车在古代是进行灌溉的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图，一个半径为米的水车逆时针匀速转动，水轮圆心O距离水面米.已知水轮每分钟转动1圈，如果当水轮上一点从水中浮现时(图中点)开始计时，经过秒后，水车旋转到点.给出下列结论： ①在转动一圈内，点的高度在水面米以上的持续时间为秒；②当时，点距水面的最大距离为米；③当秒时，；其中所有正确结论的序号是_____________.【答案】①③【解析】【分析】设经过秒后，点的高度为，根据题意求出，得，由可得，①正确；由，得②错误；根据秒时，，为正三角形，可得③正确.【详解】设经过秒后，点的高度为，则，解得，，因为水轮每分钟转动1圈，所以，所以，由，得，因为，所以，所以.对于①，由，得， 得，，得，，又因为，所以，，所以在转动一圈内，点高度在水面米以上的持续时间为秒.故①正确；对于②，，故②错误；对于③，当秒时，，又，所以为正三角形，所以米，故③正确.故答案为：①③.三、解答题共5小题，共40分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.已知角顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边过点.（1）求，；（2）若角满足，求的值.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）利用三角函数的定义求，，对用诱导公式转化后求解；（2）由（1）先求出，利用两角和的正切公式求出.【详解】解：（1）∵，∴∴，，∴.（2）由（1）得： ∴.即【点睛】(1)三角函数值的大小与点P（x,y）在终边上的位置无关，严格代入定义式子就可以求出对应三角函数值；(2)利用三角公式求三角函数值的关键：根据条件进行合理的拆角，如等．17.已知向量，，．（1）若点A，B，C共线，求实数m的值；（2）若△ABC为直角三角形，求实数m的值．【答案】（1）；（2）或【解析】【分析】首先求出，，的坐标；（1）依题意可得，再根据平面向量共线的坐标表示计算可得；（2）对直角分三种情况讨论，若为直角，则，所以，即可求出参数的值，其余类似；【详解】解：（1）因为，，，所以，因为、、三点共线，所以，所以，解得（2）①若为直角，则，所以，解得②若为直角，则，所以，解得③若为直角，则，所以，即 ，因为，所以方程无解；综上可得，当或时为直角三角形18.在中，．（1）求角的大小；（2）若，，求的面积．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据正弦定理边化角得，根据两角和的正弦公式得，再根据三角形中的恒等式可求出结果；（2）由余弦定理求出，再根据三角形面积公式可求出结果.【小问1详解】在中，，结合正弦定理得，所以，所以，所以，，，，，【小问2详解】若，，由余弦定理，得，得，得，所以的面积 19.已知函数，是的一个零点.（1）求的值；（2）当时，若曲线与直线有个公共点，求的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由，解方程可得结果；（2）化简得，利用正弦函数的图象可求出结果.【小问1详解】由，得，因为，所以，所以，所以．【小问2详解】由（1）知，，因为，所以.于是，当且仅当，即时，取得最大值,当且仅当，即时，取得最小值,又，即时，.所以的取值范围是．20.如图，在四边形中，，，.再从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知，解决下列问题． ①面积；②.（1）求的值；（2）求的大小.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）若选①，根据面积公式求出，根据余弦定理求出求出，根据面积公式求出；若选②，根据两角差的正弦公式可求出结果；（2）根据正弦定理可求出结果.【小问1详解】若选①，因为，所以，所以，又由，得，得.所以，得， 所以.若选②，在中，，所以，.【小问2详解】由（1）及，则.在△ADC中，，即，得.又因为，所以满足这样的三角形有两解.所以或.