北京市石景山区2021-2022学年高二数学下学期期末试题（Word版附解析）

2022年北京市石景山区高二下学期期末数学试卷本试卷共8页，共100分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知等差数列的通项公式为,则它的公差是A.B.C.2D.5【答案】B【解析】【分析】求得，由此求得公差.【详解】依题意，故公差为，故选B.【点睛】本小题主要考查利用等差数列通项公式求等差数列的公差，属于基础题.2.如果一个物体的运动方程为，其中的单位是千米，的单位是小时，那么物体在4小时末的瞬时速度是（）A.12千米/小时B.24千米/小时C.48千米/小时D.64千米/小时【答案】C【解析】【分析】对v求导，代入t值即可.【详解】由，则当，故选：C.【点睛】本题考查了瞬时变化率、导数概念的问题，属于基础题.3.一名老师和四名学生站成一排照相，学生请老师站在正中间，则不同的站法为（）A.4种B.12种C.24种D.120种【答案】C【解析】,【分析】根据题意，只需将四名同学排序即可，进而根据排序问题求解即可.【详解】根据题意，一名老师和四名学生站成一排照相，老师站在正中间，只需将四名同学排序，所以，不同的站法为种.故选：C4.在的展开式中，含项的系数为（）A.21B.－21C.35D.－35【答案】D【解析】【分析】首先写出二项式展开式的通项，再令求出，再代入计算可得；【详解】解：二项式展开式的通项为，令，解得，所以含项的系数为；故选：D5.已知曲线在处切线方程是，则与分别为　　A.5，B.，5C.，0D.0，【答案】D【解析】【分析】利用导数的几何意义得到f'（5）等于直线的斜率﹣1，由切点横坐标为5，得到纵坐标即f（5）．【详解】由题意得f（5）=﹣5+5=0，f′（5）=﹣1．故选D．【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于基础题．6.从中任取个不同的数，事件“取到的个数之和为偶数”，事件“取到两个数均为偶数”，则A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先求得和的值，然后利用条件概率计算公式，计算出所求的概率.,【详解】依题意,,故.故选B.【点睛】本小题主要考查条件概型的计算，考查运算求解能力，属于基础题.7.下列命题错误的是（）A.随机变量，若，则B.线性回归直线一定经过样本点的中心C.两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1D.设，且，则【答案】D【解析】【分析】对A，根据二项分布的数学期望求解即可；对B，根据回归直线的性质判断即可；对C，根据相关系数的性质判断即可；对D，根据正态分布的对称性判断即可【详解】对A，随机变量，若，则，即，故A正确；对B，线性回归直线一定经过样本点的中心，故B正确；对C，两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1，故C正确；对D，设，且，则，故D错误；故选：D8.已知数列前项和为，若，则（）A.2B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据等差数列前项和公式求出数列通项，再利用裂项相消法即可得解.,【详解】解：，所以.故选：C.9.已知函数有两个零点，则实数的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】令，转化为，设，利用导数求得函数单调性和最值，把函数的零点，转化为与的图像有两个交点，结合图像，即可求解.【详解】由题意，函数的定义域为，令，即，即，设，可得，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增.又，作出简图，如图所示，要使得函数有两个零点，只需与的图像有两个交点，所以，,即实数的取值范围是.故选：A.10.等差数列前项和为，前项积为，已知，，则（）A.有最小值，有最小值B.有最大值，有最大值C.有最小值，有最大值D.有最大值，有最小值【答案】C【解析】【分析】根据已知条件求得，进而求得，结合数列的有关性质确定正确选项.【详解】依题意，由解得，，所以等差数列的前项和满足：最小，无最大值.……当时：，且为递减数列，故有最大值，没有最小值.故选：C第二部分（非选择题共60分）二、填空题共5小题，每小题4分，共20分．11.离散型随机变量的分布列如下表：012则_________；_________．【答案】①.②.##0.5【解析】【分析】根据分布列的性质求出参数，再计算期望和方差.【详解】由分布列可知：，得；,所以；.故答案为：；.12.在的展开式中，二项式系数之和为_________；各项系数之和为_________．（用数字作答）【答案】①.16②.256【解析】【分析】根据二项式系数和公式求得二项式系数之和；再用赋值法求各项系数之和.【详解】在的展开式中，二项式系数之和为；令，，即各项系数和为.故答案为：①；②.13.已知函数在上是单调函数，则实数的取值范围是_________．【答案】【解析】【分析】判断函数导数为开口向下的二次函数，则应满足，即可求解【详解】，因为函数在上是单调函数，故只能满足在上恒成立，即，，解得故答案为:14.在数列中，，，，则_________．【答案】2【解析】【分析】根据数列的递推公式，发现规律，即数列为周期数列，然后求出即可.【详解】由，可得，从而可得：，，，故数列是周期为3的数列，,可得：故答案为：15.若存在常数和，使得函数和对其公共定义域上的任意实数都满足：和恒成立或（和恒成立），则称此直线为和的“隔离直线”．已知函数，，有下列命题：①直线为和的“隔离直线”．②若为和的“隔离直线”，则的范围为．③存在实数，使得和有且仅有唯一的“隔离直线”．④和之间一定存在“隔离直线”，且的最小值为．其中所有正确命题的序号是_________．【答案】①④【解析】【分析】根据“隔离直线”的定义逐个分析判断即可【详解】对于①，因为当时，，，所以直线为和的“隔离直线”，所以①正确，对于②，因为为和的“隔离直线”，所以恒成立，所以，所以，恒成立，所以恒成立，因为，当且仅当即时取等号，所以，综上，所以②错误，对于③④，设，之间的隔离直线为，即，恒成立，所以，所以，,因为（），所以（）恒成立，当时，不合题意，当时，符合题意，当时，令，对称轴为，所以只需满足，所以且，所以，所以，同理可得，所以和之间一定存在“隔离直线”，且的最小值为，和之间有无数条“隔离直线”，且实数不唯一，所以③错误，④正确，故答案为：①④三、解答题共5小题，共40分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．16.已知数列是公比为2的等比数列，且成等差数列．（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和．【答案】（1）；（2）【解析】【详解】（1）由题意可得，即，解得：，∴，∴数列的通项公式为．（2），==．,17.某射手每次射击击中目标的概率是，且各次射击的结果互不影响，假设这名射手射击3次．（1）求恰有2次击中目标的概率；（2）现在对射手的3次射击进行计分：每击中目标1次得1分，未击中目标得0分；若仅有2次连续击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分．记为射手射击3次后的总得分，求的概率分布列与数学期望．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）先记“射手射击3次，恰有2次击中目标”为事件，根据题中条件，即可得出结果；（2）先由题意确定的可能取值，求出对应概率，进而可得出分布列，再由分布列求出期望即可.【详解】（1）记“射手射击3次，恰有2次击中目标”为事件，因为射手每次射击击中目标的概率是，所以；（2）由题意可得，的可能取值为，；；，，；所以的分布列如下：因此，.【点睛】本题主要考查独立重复试验，以及离散型随机变量的分布列与期望，熟记概率计算公式，以及分布列与期望的概念即可，属于常考题型.18.已知函数，当时，取得极值．（1）求，的值；,（2）若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式组，求出a，b的值；（2）问题转化为f（x）≥m﹣2m2对任意x＞0恒成立，求出f（x）的最小值，从而求出m的范围即可．【小问1详解】由，当x=1时，f（x）的极值为﹣3，∴，解得：，经检验，符合题意.【小问2详解】f（x）+2m2﹣m≥0对任意x＞0恒成立，即f（x）≥m﹣2m2对任意x＞0恒成立，即由（1）知，，由得x＜0或x＞1，由得0＜x＜1∴函数f（x）在（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减所以当x=1，∴，即，∴或，即的取值范围为.19.某单位共有员工45人，其中男员工27人，女员工18人．上级部门为了对该单位员工的工作业绩进行评估，采用按性别分层抽样的方法抽取5名员工进行考核．（1）求抽取的5人中男、女员工的人数分别是多少；（2）考核前，评估小组从抽取的5名员工中，随机选出3人进行访谈，设选出的3人中男员工人数为，求随机变量的分布列和数学期望；（3）考核分笔试和答辩两项.5名员工的笔试成绩分别为78，85，89，92，96,；结合答辩情况，他们的考核成绩分别为95，88，102，106，99．这5名员工笔试成绩与考核成绩的方差分别记为，，试比较与的大小．（只需写出结论）【答案】（1）男员工抽取3人，女员工抽取2人（2）分布列见解析，数学期望为（3）【解析】【分析】（1）求出男员工与女员工的人数比，从而利用分层抽样求出抽取的5人中男、女员工的人数；（2）求出的可能取值及对应的概率，求出分布列，数学期望；（3）计算出这5名员工笔试成绩与考核成绩的平均值，进而求出，，比较出大小.【小问1详解】男员工与女员工的人数比例为，所以抽取的5人中男员工的人数为人，女员工人数为人，【小问2详解】的可能取值为，，，，所以的分布列为：123数学期望为【小问3详解】设这5名员工笔试成绩的平均数为，考核成绩的平均数为，所以，,所以.20.已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）存在，当时，恒有，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出，求导，得到，利用点斜式求出切线方程；（2）结合第一问求解出为曲线在点的切线方程，从而先求解当时，构造，求导后得到函数单调性，求出，不合题意；再考虑时，，因此不存在，不合要求；最后考虑时，存在，满足要求，求出答案.【小问1详解】定义域为，，所以，故曲线在点处的切线方程为：【小问2详解】当时，设，则因，所以，所以在上单调递减，,所以当时，，所以当时，，不合要求；当时，，所以，因此不存在，不合要求；当时，设，，则，令，即，解得：，，所以当时，，所以在上单调递增，取，所以当时，，，综上：实数的取值范围是【点睛】导函数求解参数的取值范围问题，一般需要构造函数来进行求解，本题中要抓住关键点，就是第一问提供的思路，首先考虑，进而在考虑其他情况，求出答案.,