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北京市海淀区2021-2022学年高一数学下学期期末试题(Word版附解析)
北京市海淀区2021-2022学年高一数学下学期期末试题(Word版附解析)
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海淀区高一年级练习数学2022.07学校______________班级______________姓名______________考生须知1.本试卷共6页,共三道大题,19道小题、1道选做题.满分100分.考试时间90分钟.2.在试卷上准确填写学校名称、班级名称、姓名.3.试题答案一律书写在试卷上,用黑色字迹签字笔作答.4.考试结束,请将本试卷交回.第一部分(选择题共40分)一、选择题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.已知正四棱锥的底面边长为,高为,则它的体积为A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据正四棱锥的性质,以及锥体的体积公式,直接计算,即可得到答案.【详解】由题意,正四棱锥的底面边长为,高为,则底面正方形的面积为,所以四棱锥的体积为,故选B.【点睛】本题主要考查了棱锥的体积的计算问题,其中解答中熟记正四棱锥的性质,以及锥体的体积公式,准确计算是解答的关键,着重考查了运算与求解能力,属于基础题.2向量,,则()A.B.C.4D.13【答案】C【解析】【分析】先求出,再由模长公式求解即可.【详解】,则. 故选:C.3.将函数的图象沿轴向右平移个单位长度,得到函数的图象,则的最小值为()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据函数图像平移,解方程即可求得结果.【详解】将函数的图象沿轴向右平移个单位长度,即可得,故可得,解得,又因为,故可得.故选:A.【点睛】本题考查由函数图像平移求函数解析式,属基础题.4.()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】直接利用两角和的余弦公式即可得解.【详解】解:.故选:A.5.已知直线和两个不同的平面,则下列四个命题中正确的是()A.若,则B.若,则C.若,则D.若,则【答案】D【解析】 【分析】由直线与平面,平面与平面的位置关系判断即可.【详解】对于A选项,若,则可能与平行,故A错误;对于B选项,若,则可能与平行或者在平面内,故B错误;对于C选项,若,则可能平行或者相交,则C错误;对于D选项,由面面平行以及线面垂直的性质可知,D正确;故选:D【点睛】本题主要考查了直线与平面,平面与平面的位置关系,属于基础题.6.函数的最小正周期与其图象的对称中心分别是()A.,B.,C.,D.,【答案】C【解析】【分析】先由余弦倍角公式化简得,再由余弦函数的周期性和对称性求解即可.【详解】,则最小正周期为;由,解得,则对称中心为.故选:C.7.已知向量,是两个单位向量,则“”为锐角是“”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据充分不必要条件的概念,平面向量数量积的定义与性质即可判断.【详解】向量,是两个单位向量,由为锐角可得,, 反过来,由两边平方可得,,,,不一定为锐角,故“为锐角”是“”的充分不必要条件,故选:A.8.已知函数在区间上的最小值为,则的取值范围是()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】分讨论,求出的范围,根据在范围内建立不等式求解即可.详解】当时,,由题意知,,即,当时,,由题意知,,即,的取值范围是,故选:D9.底与腰(或腰与底)之比为黄金分割比的等腰三角形称为黄金三角形,其中顶角为36°的黄金三角形被认为是最美的三角形.据此可得的值是()A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】根据已知条件求出,再根据二倍角的余弦公式结合诱导公式即可得出答案.【详解】解:如图,为一个黄金三角形,其中,为的中点,根据题意可知,则,即,又,则,解得,所以故选:B.10.在中,,则的形状为()A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形【答案】D【解析】【分析】利用正弦定理的边角互化可得,进而可得或,即可求解.【详解】,正弦定理可得, 即,,,∴或,∴或,∴为等腰三角形或直角三角形.故选:D第二部分(非选择题共60分)二、填空题共5小题,每小题4分,共20分.11.已知圆柱的底面半径为1,高为2,则圆柱的侧面积为___________【答案】【解析】【分析】圆柱侧面积等于底面周长乘以高.【详解】依题意,圆柱底面周长等于,故侧面积等于故答案为:12.向量,,,则实数____________.【答案】【解析】【分析】先由向量线性运算求得,再由向量垂直的坐标公式求解即可.【详解】,由可得,即,解得.故答案为:.13.在正方形中,是的中点,则____________.【答案】0【解析】【分析】根据向量加法的三角形法则化简计算.【详解】如图,因为,所以; 故答案为:0.14.函数,的值域是____________.【答案】【解析】【分析】利用两角差的余弦公式结合辅助角公式化简,再根据三角函数的性质即可得出答案.【详解】解:,因为,所以,所以,即函数,的值域是.故答案为:.15.如图,在边长为1的正方体中,是棱上的一个动点,给出下列四个结论: ①三棱锥的体积为定值;②存在点,使得平面;③对每一个点,在棱上总存在一点,使得平面;④是线段上的一个动点,过点的截面垂直于,则截面的面积的最小值为.其中所有正确结论的序号是____________.【答案】①④【解析】【分析】根据题意作图,并尝试特殊位置,进行检验证明.【详解】对于①,如下图所示:在边长为1正方体中,易知平面,因为点是棱上的一个动点,可设点到平面的距离为,且,则三棱锥的体积, 故①正确;对于②,连接,,因为在平行四边形中,,所以不垂直,所以使得不垂直平面,所以②不正确.对于③,当点与点重合时,无论点在何位置,直线与平面相交,故③错误;对于④,根据题意,作图如下:因为正方体中,易知平面,所以,设,则,,在中,,, 则该截面面积,由,当时,,故④正确;故答案为:①④.三、解答题共4小题,共40分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.16.如图,在四棱锥中,平面PAD,,E,F,H,G分别是棱PA,PB,PC,PD的中点.(1)求证:;(2)判断直线EF与直线GH的位置关系,并说明理由.【答案】(1)证明见解析;(2)直线与直线相交,理由见解析.【解析】【分析】(1)根据线面平行的性质即可求解;(2)根据题意可证四点共面,又因为,所以,即得与相交.【小问1详解】解:因为平面,平面,平面平面,所以.【小问2详解】解:直线与直线相交,理由如下:连接,因为分别是棱的中点,所以,同理可证:,因为,所以, 所以四点共面,因为,所以,所以与不平行,即与相交17.在中,,,.(1)求;(2)求的面积.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)利用正弦定理及三角形内角和,结合两角和的正弦公式即可求解;(2)利用平方关系即两角和的正弦公式可求得的值,利用正弦定理可得的值,利用三角形面积公式即可求解.【小问1详解】解:由正弦定理可得:,又,所以,整理得:,因为,所以,而B为三角形内角,故.【小问2详解】解:因为,所以或,又,,所以当时,,不符合题意, 故,,由正弦定理得,即,解得,故的面积为:.18.如图,在直棱柱中,底面是菱形,,,,,分别是棱,的中点.(1)求证:;(2)求证:平面;(3)是否存在正数,使得平面平面?若存在,求的值;若不存在,说明理由【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)存在正数,使得平面平面,证明见解析;【解析】【分析】(1)根据线面垂直的判定定理及性质定理证明;(2)根据线面平行的判定定理证明;(3)假设存在正数,使得平面平面,根据面面垂直的判定定理,证得,通过证明,得到,进而所以,求得值进而得解.【小问1详解】证明:如图所示,连接,因为底面是菱形,所以, 直棱柱中,平面,所以,且,所以平面,所以.【小问2详解】证明:取的中点M,连接、,则为三角形的中位线,所以且,又因为且,又且,所以且,所以四边形为平行四边形,所以,因为平面,平面,所以平面;【小问3详解】解:存在正数,使得平面平面,理由如下:假设存在,使得平面平面,过点作于点,连接, 因为平面平面,所以平面,所以,在直棱柱中,,,在菱形中,,,所以,所以△△,所以,所以,所以,所以,在菱形中,,,所以,在直棱柱中,,所以,,所以,所以,经检验,时,平面平面. 19.若点在函数的图象上,且满足,则称是的点.函数的所有点构成的集合称为的集.(1)判断是否是函数的点,并说明理由;(2)若函数的集为,求的最大值;(3)若定义域为的连续函数的集满足,求证:.【答案】(1)不是,理由见解析;(2);(3)见解析【解析】【分析】(1)直接求出,再判断出,即可得到,即可得到结论;(2)先说明,若,则,由题设得到,推出矛盾即可证得;再说明的值可以等于,令,利用三角函数的值域加以证明即可;(3)由题设知,必存在,使得,结合零点存在定理说明函数必存在零点,即可证明.【小问1详解】不是函数的点,理由如下:设,则,,因为,所以,所以,所以不是函数的点;【小问2详解】先证明,若,则函数的最小正周期,因为函数的集为,所以对,是的点,令,则,因为函数的值域为,所以当时,必有,即对于恒成立, 所以,即的最小正周期,与矛盾;再证明的值可以等于,令,对,当时,,;当时,,,所以是的点,即函数的集为;综上所述,的最大值是;【小问3详解】因为函数的集满足,所以存在,使得且,即,因为若,则,所以,因为函数的图象是连续不断的,不妨设,由零点存在定理知,必存在使得,所以存在零点,即.【点睛】本题的第二小问关键点在于先假设,利用周期推出矛盾,进而证得,再利用三角函数的值域说明的值可以等于即可;第三小问的关键点在于得到存在,使得,结合零点存在定理即可证明.选做题:(.所得分数可计入总分,但整份试卷得分不超过100分)20.正弦信号是频率成分最为单一的信号,复杂的信号,例如电信号,都可以分解为许多频率不同、幅度不等的正弦型信号的叠加.正弦信号的波形可以用数学上的正弦型函数来描述:,其中表示正弦信号的瞬时大小电压V(单位:V)是关于时间t(单位:s)的函数,而表示正弦信号的幅度,是正弦信号的频率,相应的为正弦信号的周期,为正弦信号的初相.由于正弦信号是一种最简单的信号,所以在电路系统设计中,科学家和工程师们经常以正弦信号作为信号源(输入信号)去研究整个电路的工作机理.如图是一种典型的加法器电路图,图中的三角形图标是一个运算放大器,电路中有四个电阻,电阻值分别为,,,(单位:Ω). 和是两个输入信号,表示的是输出信号,根据加法器的工作原理,与和的关系为:.例如当,输入信号,时,输出信号:.(1)若,输入信号,,则的最大值为___________;(2)已知,,,输入信号,.若(其中),则___________;(3)已知,,,且,.若的最大值为,则满足条件的一组电阻值,分别是_____________.【答案】(1);(2);(3)(答案不唯一)【解析】【分析】(1)由辅助角公式得,即可求出最大值;(2)由正弦余弦的和角公式化简得 ,解方程组即可求解;(3)先由余弦的倍角公式化简得,再由二次函数的性质求得最大值为,进而得到,即可求解.【小问1详解】由题意得,,则的最大值为;【小问2详解】由题意知,,整理得,即,则,解得;【小问3详解】由题意得,,又,则,当时,取得最大值,则,整理得,即,解得,又,则,取即满足题意,则 (答案不唯一).
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高中 - 数学
发布时间:2023-06-21 19:24:01
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