第24章圆24.1圆的有关性质24.1.4圆周角课后习题（附解析人教版）

24.1.4　圆周角知能演练提升一、能力提升1.如图,☉O中,OC⊥AB,∠APC=28°,则∠BOC的度数为(　　)A.14°B.28°C.42°D.56°2.如图,A是☉O上一点,BC是直径,AC=2,AB=4,点D在☉O上且平分BC,则DC的长为(　　)A.22B.5C.25D.103.如图,AB是☉O的直径,点C,D,E在☉O上,若∠AED=20°,则∠BCD的度数为(　　)A.100°B.110°C.115°D.120°4.如图,BD是☉O的直径,点A,C在☉O上,AB=AD,AC交BD于点G.若∠COD=126°,则∠AGB的度数为(　　)A.99°B.108°C.110°D.117°5.如图,已知BC是☉O的直径,半径OA⊥BC,点D在劣弧AC上(不与点A,点C重合),BD与OA交于点E.设∠AED=α,∠AOD=β,则(　　)A.3α+β=180°B.2α+β=180°C.3α-β=90°D.2α-β=90°6.如图,☉O的半径为5,AB为弦,点C为AB的中点,若∠ABC=30°,则弦AB的长为　　　　　. 6 (第6题图)7.如图,已知AB=AC=AD,∠CBD=2∠BDC,∠BAC=44°,则∠CAD的度数为　　　　　. 8.如图,已知AB=BC=AC,点P为劣弧BC上的一点.(1)求∠BPC的度数;(2)求证:PA=PB+PC.★9.如图,△ABC的三个顶点都在☉O上,并且点C是优弧AmB上一点(点C不与点A,B重合).设∠OAB=α,∠C=β.(1)当α=35°时,求β的度数;(2)猜想α与β之间的关系,并给予证明.二、创新应用★10.我们知道:顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角,叫做圆周角.因为一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半,而圆心角的度数等于它所对的弧的度数,所以圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半.类似地,我们定义:顶点在圆外,并且两边都和圆相交的角叫圆外角.如图,∠DPB是圆外角,那么∠DPB的度数与它所夹的两段弧BD和AC的度数有什么关系?(1)请把你的结论用文字表述为(不能出现字母和数字符号):　　　　　　　　　　. 6 (2)证明你的结论.6 知能演练·提升一、能力提升1.D　2.D3.B　连接AC.∵AB为☉O的直径,∴∠ACB=90°.∵∠AED=20°,∴∠ACD=20°,∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=110°,故选B.4.B　5.D6.53　连接OC,OA,∵∠ABC=30°,∴∠AOC=60°.∵AB为弦,点C为AB的中点,∴OC⊥AB.在Rt△OAE中,AE=532.∴AB=53.7.88°　∵AB=AC=AD,∴∠ABC=∠ACB,点B,C,D在以A为圆心,AB为半径的圆周上,∴∠BDC=12∠BAC,∠CAD=2∠CBD.∵∠BAC=44°,∴∠BDC=22°,∵∠CBD=2∠BDC,∴∠CBD=44°,∴∠CAD=88°.8.(1)解∵AB=BC=AC,∴AB=BC=AC.∴∠BAC=60°.又∠BPC+∠BAC=180°,∴∠BPC=120°.(2)证明在PA上截取PD=PC,连接DC,6 ∵AB=AC=BC,∴∠APB=∠APC=60°.∴△PCD为等边三角形.∴∠ADC=120°.又∠CAD=∠PBC,且AC=BC,∴△ACD≌△BCP.∴AD=PB.∴PA=PB+PC.9.解(1)如图,连接OB,则OA=OB,∴∠OBA=∠OAB=35°,∴∠AOB=180°-∠OAB-∠OBA=110°.∴β=∠C=12∠AOB=55°.(2)α与β之间的关系是α+β=90°.证法一:如图,连接OB,则OA=OB,∴∠OBA=∠OAB=α,∴∠AOB=180°-2α.∴β=∠C=12∠AOB=12(180°-2α)=90°-α.∴α+β=90°.证法二:如图,连接OB,则OA=OB,∴∠AOB=2∠C=2β.过点O作OD⊥AB于点D,则OD平分∠AOB,∴∠AOD=12∠AOB=β.在Rt△AOD中,∠OAD+∠AOD=90°,∴α+β=90°.证法三:如图,延长AO交☉O于点E,连接BE,则∠E=∠C=β.∵AE是☉O的直径,∴∠AOE=180°,6 ∴∠ABE=90°,∴∠BAE+∠E=90°,∴α+β=90°.二、创新应用10.分析本题是一道结论探索题,解题的关键是如何将圆外角∠DPB与圆周角联系起来.不妨连接AD,这时∠D是AC所对的圆周角,∠DAB是BD所对的圆周角,再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和找到这三个角的联系,从而使问题解决.解(1)圆外角的度数等于它所夹的两段弧度数差的一半.(2)如图,连接AD,则∠DPB=∠DAB-∠D.因为∠DAB=12×BD的度数,∠D=12×AC的度数,所以∠DPB=12×(BD的度数-AC的度数),即圆外角的度数等于它所夹的两段弧度数差的一半.6