湖南省邵阳市2022-2023学年高一数学下学期期末联考试题（Word版附答案）

2023年上学期期末考试试卷高一数学本试卷分为问卷和答卷.考试时量为120分钟，满分150分.请将答案写在答题卡上.一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.实数时，复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.下列各组向量中，可以作为基底的是（）A.，B.，C.，D.，3.某芯片制造厂有甲、乙、丙三条生产线均生产8nm规格的芯片.现有25块该规格的芯片，其中来自甲、乙、丙的芯片数量分别为5块、10块、10块.若甲、乙、丙生产的芯片的优质品率分别为0.8，0.8，0.7，则从这25块芯片中随机抽取一块，该芯片为优质品的概率是（）A.0.78B.0.76C.0.64D.0.584.如图，某圆柱体的高为1，ABCD是该圆柱体的轴截面.已知从点B出发沿着圆柱体的侧面到点D的路径中，最短路径的长度为，则该圆柱体的侧面积是（）A.14B.C.7D.5.已知、是两个不同的平面，m为平面内的一条直线，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.如图，为测量河对岸A，B两点间的距离，沿河岸选取相距的C，D两点，测得，，，，A，B两点的距离为（） A.B.C.D.7.如图正方形边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积为（）A.B.C.D.8.已知的外接圆圆心为O，，，则在上的投影向量为（）A.B.C.D.二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.已知i为虚数单位，复数，则以下说法正确的是（）A.z在复平面内对应的点在第一象限B.z的虚部是C.D.若复数满足，则的最大值为10.黄金三角形有两种，一种是顶角为的等腰三角形，另一种是顶角为的等腰三角形.已知在顶角为的黄金三角形中，角对应边与角对应边的比值为，这个值被称为黄金比例.若，则下列说法正确的是（）A.B.C.D.11.甲乙两家公司独立研发疫苗A，甲成功的概率为，乙成功的概率为，丙独立研发疫苗B，研发成功的概率为.则（）A.甲乙都研发成功的概率为B.疫苗A研发成功的概率为 C.疫苗A与疫苗B均研发成功的概率为D.仅有一款疫苗研发成功的概率为12.已知三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则下列选项正确的是（）A.的取值范围是B.若D是AC边上的一点，且，，则的面积的最大值为C.若三角形是锐角三角形，则的取值范围是D.若三角形是锐角三角形，BD平分交AC于点D，且，则的最小值为三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.如图，在三棱柱中，侧棱均与底面垂直，侧棱长为2，，，点D是的中点，F是侧面（含边界）上的动点.要使平面，则线段的长的最大值为______.14.某班共有40名学生，其中22名男生的身高平均数为173cm，方差为28；18名女生的身高平均数为163cm，方差为32；则该班级全体学生的身高方差为______.15.甲、乙两人下围棋，若甲执黑子先下，则甲胜的概率为；若乙执黑子先下，则乙胜的概率为.假定每局之间相互独立且无平局，第二局由上一局负者先下，若甲、乙比赛两局，第一局甲、乙执黑子先下是等可能的，则甲胜第一局，乙胜第二局的概率为______.16.在古代数学中，把正四棱台叫做方亭，数学家刘徽用切割的方法巧妙地推导出了方亭的体积公式，a为方亭的下底面边长，b为上底面边长，h为高.某地计划在一片平原地带挖一条笔直的沟渠，渠的横截面为等腰梯形，上底为10米，下底为6米，深2米；渠长为784.5米，并把挖出的土堆成一个方亭，设计方亭的下底面边长为70米，高为6米，则其侧面与下底面所成的二面角的正切值为______.四、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）某中学为了解该校高三年级学生数学学习情况，对一模考试数学成绩进行分析，从 中抽取了200名学生的成绩作为样本进行统计（若该校全体学生的成绩均在分），按照，，，，，，，的分组做出频率分布直方图如图所示，若用分层抽样从分数在内抽取17人，则抽得分数在的人数为6人.（1）求频率分布直方图中的x，y的值；并估计本次考试成绩的平均数（以每一组的中间值为估算值）；（2）该高三数学组准备选取数学成绩在前4%的学生进行培优指导，若小明此次数学分数是132，请你估算他能被选取吗？18.（本小题满分12分）如图，三棱锥中，，.（1）求证：；（2）求二面角的余弦值.19.（本小题满分12分）某市为提升城市形象，打造城市品牌，拟规划建设一批富有地方特色、彰显独特个性的城市主题公园，某主题公园为五边形区域ABCDE（如图所示），其中三角形区域ABE为健身休闲区，四边形区域BCDE为文娱活动区，AB、BC、CD、DE、EA、BE为主题公园的主要道路（不考虑宽度），已知，，，.（1）求道路BE的长度；（2）求道路AB、AE长度之和的最大值.20.（本小题满分12分）杭州2022年第19届亚运会（The19thAsianGamesHangzhou2022）将于2023年9月23日至10月8日举办.本届亚运会共设40个竞赛大项，包括31个奥运项目和9个非奥运项目.同时，在保持40个大项目不变的前提下，增设了霹雳舞、电子竞技两个竞赛项目.与传统的淘汰赛不同，近年来一个新 型的赛制“双败赛制”赢得了许多赛事的青睐.传统的淘汰赛失败一场就丧失了冠军争夺的权利，而在双败赛制下，每人或者每个队伍只有失败了两场才会淘汰出局，因此更有容错率.假设最终进入到半决赛有四支队伍，淘汰赛制下会将他们四支队伍两两分组进行比赛，胜者进入到总决赛，总决赛的胜者即为最终的冠军.双败赛制下，两两分组，胜者进入到胜者组，败者进入到败者组，胜者组两个队伍对决的胜者将进入到总决赛，败者进入到败者组.之前进入到败者组的两个队伍对决的败者将直接淘汰，胜者将跟胜者组的败者对决，其中的胜者进入总决赛，最后总决赛的胜者即为冠军.双败赛制下会发生一个有意思的事情，在胜者组中的胜者只要输一场比赛即总决赛就无法拿到冠军，但是其它的队伍却有一次失败的机会，近年来从败者组杀上来拿到冠军的不在少数，因此很多人戏谑这个赛制对强者不公平，是否真的如此呢？这里我们简单研究一下两个赛制：假设四支队伍分别为A，B，C，D，其中A对阵其他三个队伍获胜概率均为p，另外三支队伍彼此之间对阵时获胜概率均为.最初分组时AB同组，CD同组.（1）若，在淘汰赛赛制下，A，C获得冠军的概率分别为多少？（2）分别计算两种赛制下A获得冠军的概率（用p表示），并据此简单分析一下双败赛制下对队伍的影响，是否如很多人质疑的“对强者不公平”？21.（本小题满分12分）如图，已知四边形ABDE为平行四边形，点C在AB延长线上，点M在线段AD上，且，，设，.（1）用向量，表示；（2）若线段CM上存在一动点P，且，求的最大值.22.（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，侧面PAD是正三角形，侧面底面ABCD，M是线段PD的中点，N是线段PC的中点. （1）求证：平面PAB；（2）求PC与底面ABCD所成角的正切值.2023年上学期期末考试试卷高一数学参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）题号12345678答案ACBAADCD二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）题号9101112答案BDACDABAC12.AC【详解】因为，所以，所以，所以，即，又，所以，，因为，所以，所以，所以，故A正确；因为，所以，所以，又，所以，即，当且仅当即时，等号成立， 所以，即的面积的最大值为，故B错误；，因为，所以，所以，所以，所以，故C正确；由题意得：，由角平分线以及面积公式得，化简得，所以，所以，当且仅当，即时取等号，此时，而，所以，与三角形是锐角三角形矛盾，所以等号不成立,故D错误；故选：AC三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.314.54.5515.16.四、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（1）设由分层抽样可得分数在的人数与分数在的人数之比为，所以，则，………………（1分），………………（3分）又由频率分布直方图可知分数在的频率为0.04，分数在的频率为0.06，分数在的频率为0.11，分数在的频率为0.2，分数在的频率为0.3，分数在的频率为0.12，分数在的频率为0.11，分数在的频率为0.06．则平均数为 分.………………（5分）（2）由题意可知分数在的频率为6%，所以前4%在该组，不妨设第4%名的分数为，则可得等式为………………（7分）∵，………………（9分）故小明不能被选取.………………（10分）18.（1）取线段AB的中点E，连结VE、CE，………………（1分）因为，，所以，.………………（3分）∵，平面，平面，…………（4分）∴平面VEC，……（5分）∵平面VEC，……（6分），∴……（7分）（2）由（1）知：是二面角的平面角，……（8分）又等边与等边的边长为4，∴……（9分）∴……（11分）故所求二面角的余弦值为……（12分）19.（1）如图，连结，在中，由余弦定理得， ∴……………………………（2分）∵，则，………………（3分）又，∴，……………………………………（4分）在中，，，由正弦定理，，∴，或（舍去），即，……………（5分）由，得，即的长度是.…………………………………………………………（6分）（方法二：在三角形BDE中利用余弦定理求BE）（2）设，由，得，在△中，由正弦定理，…………（8分）∴∴又，∴，…………………………（11分）当，即时，取得最大值，即道路，长度之和的最大值为.…………………………………………（12分）20.（1）记拿到冠军分别为事件，淘汰赛赛制下，只需要连赢两场即可拿到冠军，因此对于想拿到冠军，首先得战胜，然后战胜中的胜者，因此P(N)=12×34×14+12×14×12=532………………（4分）（2）记淘汰赛赛制和双败赛制下获得冠军的概率分别为，则.而双败赛制下，获得冠军有三种可能性：（1）直接连赢三局；（2）从胜者组掉入败者组然后杀回总决赛；（3）直接掉入败者组拿到冠军. 因此，.则不论哪种赛制下，获得冠军的概率均小于，…………（8分）.若，双败赛制下，队伍获得冠军的概率更大，其他队伍获得冠军的概率会变小，…………（10分）若，双败赛制下，队伍获得冠军的概率更小，其他队伍获得冠军的概率会变大，…………（11分）综上可知：双败赛制下，会使得强者拿到冠军概率变大，弱者拿到冠军的概率变低，更加有利于筛选出“强者”,人们“对强者不公平”的质疑是不对的…………………………（12分）.21.（1）．（2）∵点P在线段CM上，即点M，P，C三点共线，∴存在唯一的实数t，，使得，……………（6分）而，对称轴为直线，故……（11分）即的最大值为……（12分）22.（1）∵中，M、N分别是线段PD、PC的中点，∴……（1分）∵四边形ABCD是正方形，∴……（2分）∴……（3分）∵平面PAB，平面PAB……（4分）∴平面PAB……（5分）（2）取AD边的中点E，连结PE、CE……（6分）∵是正三角形，∴……（7分）∵平面平面ABCD，平面平面， ∴平面ABCD……（8分）∴是直线PC与底面ABCD所成的角……（9分）设，则，，∴在中，……（11分）