四川省 2022-2023学年高一数学下学期期末试题（Word版附解析）

成都七中高2025届高一下期期末考试数学注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，，与的夹角，则（）A.10B.-10C.5D.-5【答案】B【解析】【分析】利用向量数量积运算即可求出结果.【详解】因为，，与的夹角，所以，故选：B2.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论正确的选项是（）A.三角形的直观图是三角形B.平行四边形的直观图必为矩形C.正方形的直观图是正方形D.菱形的直观图是菱形【答案】A【解析】【分析】根据三角形特征可知A正确；通过反例可说明BCD错误.【详解】对于A，三角形的三个顶点不共线，直观图中，三个顶点对应的点也必然不共线，三角形的直观图依然是三角形，A正确；对于B，如下图所示平行四边形，其中， 其直观图为平行四边形，而非矩形，B错误；对于C，正方形的直观图为平行四边形，如下图所示，C错误；对于D，如下图所示的菱形，其中，其直观图为平行四边形，若，则，，即，四边形不是菱形，D错误.故选：A.3.抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为I号和Ⅱ号），观察两枚骰子出现“两个点数相等”的概率为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用古典概型的概率求解. 【详解】解：抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为I号和Ⅱ号）一共36种结果，两枚骰子出现“两个点数相等”的有，一共6种，所以两枚骰子出现“两个点数相等”的概率为，故选：C4.如图，已知长方体，，，则直线与所成角的余弦值为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】数形结合，找到直线与所成角，然后简单计算即可.【详解】连接，如图直线与所成角为由题可知：，由，所以，所以故选：D5.下面选项中方差最大的是（） A.8，8，8，8，8，8，8，8，8B.6，6，6，5，5，5，4，4，4C.7，7，6，6，5，4，4，3，3D.8，8，8，8，5，2，2，2，2【答案】D【解析】【分析】利用方差公式求出各选项方差即可.【详解】对于A：，对于B：；对于C：；对于D：；故选：D.6.的值为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据，利用两角和的正切公式计算可得.【详解】.故选：C7.如图，在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点P，则的余弦值为（） A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】在中，设，则，利用平面向量的夹角公式求解.【详解】解：在中，设，则，所以，，，，所以，故选：D8.如图，三棱锥中，平面ABC，，，，点C到PA的距离，若BH和平面CDH所成角的正弦值为，则BC长度为（）A.1B.C.D.2 【答案】A【解析】【分析】利用线面垂直的判定定理证明平面，再由，进而证明平面，进而可证明为和平面所成的角，则，求出，设，由，解方程即可得出答案.【详解】因为平面，则平面，所以，又因为，且，平面，所以平面，因为平面，所以，因为，且,平面，所以平面，平面，所以，因为，，，所以点是的中点，又因为，所以是等腰直角三角形，由平面，所以平面，所以为和平面所成的角，因为则，所以，则，因为是等腰直角三角形，所以，设，所以，又，又因为，所以，解得：.故选：A.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.对于两个平面，和两条直线m，n，下列命题中假命题是（）A.若，，则B.若，，则 C.若，，，则D.若，，，则【答案】ABC【解析】【分析】根据线线、线面、面面的位置关系，结合判定定理和性质定理对选项一一判断即可得出答案.【详解】对于A，若，，则或，故A是假命题；对于B，若，，有可能出现，故B是假命题；对于C，若，，，有可能出现，故C是假命题；对于D，，，则或，若，则由得，若，则内有直线，而易知，从而，D是真命题.故选：ABC.10.在中，内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，已知，且，，则的可能取值为（）A.1B.C.D.【答案】AD【解析】【分析】利用正余弦定理即可求出结果.【详解】，，即，当时，即，因为，，所以， 当时，，由正弦定理可得，由余弦定理可得：，解得，所以或.故选：AD.11.在等腰直角三角形中，，，则下列命题正确的是（）A.B.C.D.【答案】AD【解析】【分析】根据向量的线性运算法则，可判定A正确；由，可判定B不正确；，可判定C不正确；由，，结合数量积的运算公式，可判定D正确.【详解】如图所示，等腰直角中，，，对于A中，由，所以A正确；对于B中，由，所以B不正确；对于C中，由，所以，所以C不正确；对于D中，由，所以，所以D正确.故选：AD. 12.四棱锥的四个侧面都是腰长为，底边长为2的等腰三角形，则该四棱锥的高为（）A.B.C.D.【答案】ACD【解析】【分析】满足要求的四棱锥有三种情形，对三种情况进行讨论求出结果.【详解】满足要求的四棱锥有如下三种情形.（1）如图，四条侧棱长均为，则四棱锥为正四棱锥，连接交于点，连接，则平面，是四棱锥的高，则，，所以，四棱锥的高为；（2）如图，有两条侧棱长为，作平面，记，，是四棱锥的高，于是，， 且.解得，.四棱锥的高为；（3）如图，三条侧棱（、、）长为，一条侧棱，，，设与交于点.记.由等腰三角形三线合一可得：,平面，平面，，则平面，因为平面，所以平面平面，过O作，因为平面平面,所以平面，是四棱锥的高，则有，，.因为，于是，.将前面的结果代入上式，解得或.显然，故.，在中，由余弦定理得, ，，四棱锥的高为.故选：ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.13.已知，，且，则___________.【答案】3【解析】【分析】利用向量平行的坐标表示即可得解.【详解】因为，，且，所以，则.故答案为：3.14.一组数据按从小到大的顺序排列如下：11，12，15，x，17，y，22，26，经计算，该组数据中位数是16，若分位数是20，则___________.【答案】33【解析】【分析】利用中位数与百分位数的定义求得，从而得解.【详解】因为，故中位数，解得；因为，故75%分位数是，则；所以故答案为：33.15.一个人骑自行车由A地出发向东骑行了9km到达B地，然后由B地向南偏东30°方向骑行了6km到达C地，再从C地向北偏东30°骑行了16km到达D地，则A，D两地距离为____________.【答案】【解析】 【分析】结合题意建立直角坐标系，利用向量的坐标运算求出，从而求出即可.【详解】以A为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，如图，则，，即，，即，所以，故.所以A，D两地距离为.故答案为：.16.某儿童玩具的实物图如图1所示，从中抽象出的几何模型如图2所示，由，，，四条等长的线段组成，其结构特点是能使它任意抛至水平面后，总有一条线段所在的直线竖直向上，则___________.【答案】##【解析】【分析】根据题意可得两两连接后所得到的四面体为正四面体，且是其外接球的球心，设出棱长，在直角三角形中建立等式关系，求得，的长度，即可求得结果.【详解】根据题意可得，，，相等且两两所成的角相等，两两连接后所得到的四面体为正四面体，且是其外接球的球心，延长交面于，连接，则为的外心， 设，则，，,，因为，所以解得，.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知复数，，其中.（1）若，求的值；（2）若是纯虚数，求的值.【答案】（1）2（2）或.【解析】【分析】（1）利用复数相等几何复数运算即可求出结果；（2）利用纯虚数定义即可求出结果.【小问1详解】∵，，，∴， 从而，解得，所以的值为2.【小问2详解】依题意得：，因为是纯虚数，所以，解得或.18.函数，其中，.（1）求函数的最小正周期；（2）若是三角形的内角，当时，求的集合.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）根据数量积公式，结合辅助角公式求得，再根据周期公式求解即可；（2）由，根据三角形内角范围，可得或，从而可得答案.【小问1详解】函数， ，所以的最小正周期为：.【小问2详解】，因为是三角形的内角，所以，所以或，即或，所以的集合为.19.如图，在四棱锥中，底面，在直角梯形中，，，，是中点.求证：（1）平面；（2）平面平面.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）取线段的中点，可证得四边形为平行四边形，从而得到，由线面平行的判定可证得结论；（2）由线面垂直性质和勾股定理可分别证得，，由线面垂直和面面垂直的判定可证得结论. 【小问1详解】取线段的中点，连接，分别为中点，，，又，，，，四边形为平行四边形，，平面，平面，平面.【小问2详解】平面，平面，；设，则，，，，，，，；，平面，平面，平面，平面平面.20.400名大学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：，并整理得到如下频率分布直方图：（1）在频率分布直方图中，求分数小于70的频率； （2）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间内人数；（3）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等.试估计总体中男生和女生人数的比例.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图求得分数不小于的频率为，进而求得样本中分数小于的频率；（2）根据题意，求得样本中分数不小于50的频率为，得到分数在区间内的人数为，进而求得总体中分数在区间内的人数；（3）根据题意分别求得样本中的男生和女生人数，得到男生和女生人数的比例，结合分层抽样的概念，即可求解.小问1详解】解：根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于的频率为所以样本中分数小于的频率为.【小问2详解】解：根据题意，样本中分数不小于50的频率为，分数在区间内的人数为.所以总体中分数在区间内的人数估计为.【小问3详解】解：由题意可知，样本中分数不小于70的学生人数为，所以样本中分数不小于70的男生人数为.所以样本中的男生人数为，女生人数为，男生和女生人数的比例为.所以根据分层抽样原理，总体中男生和女生人数的比例估计为.21.如图，在平面四边形ABCD中，，，，. （1）若，求AC长；（2）求CD的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由余弦定理可得答案；（2）在中由正弦定理得，由余弦定理可得，在中由余弦定理，根据可得当时可得答案.小问1详解】中，由余弦定理得，得，所以；【小问2详解】在中，由正弦定理：，则，又，且，在中，由余弦定理：， 且，所以当时，即最小值.22.如图，在斜三棱柱中，，等腰的斜边，在底面ABC上的投影恰为AC的中点.（1）求二面角的正弦值；（2）求的长；（3）求到平面的距离.【答案】（1）1（2）（3）.【解析】【分析】（1）设中点为，则平面，然后由面面垂直的判定可得平面平面，从而可得二面角为直二面角；（2）由面面垂直的性质可得平面，则，再结合可得平面，则，从而可得为菱形，进而可求得结果；（3）利用等体积法求解即可.【小问1详解】设中点为，因为在底面ABC上的投影恰为AC的中点.所以平面， 因为平面，所以平面平面，所以二面角的正弦值为1.【小问2详解】因为平面平面，且平面平面又因为，所以平面，因为平面，所以.因为，，平面，所以平面，因为平面，所以，所以为菱形，所以，因为等腰的斜边，所以，所以，所以，所以在直角中，，所以，所以为等边三角形，所以.【小问3详解】设到平面的距离为，连接， 因为平面，平面，所以，所以，因为，所以，所以，所以.