人教A版选修2-1课件3.1.5 空间向量运算的坐标表示

3.1.5空间向量运算的坐标表示 1.空间向量的坐标运算法则设向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),λ∈R,那么做一做1已知空间向量m=(1,-3,5),n=(-2,2,-4),则有m+n=,3m-n=,(2m)·(-3n)=.解析：m+n=(1,-3,5)+(-2,2,-4)=(-1,-1,1),3m-n=3(1,-3,5)-(-2,2,-4)=(5,-11,19),(2m)·(-3n)=(2,-6,10)·(6,-6,12)=168.答案：(-1,-1,1)(5,-11,19)168 2.空间向量平行与垂直条件的坐标表示若向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则(1)a∥b⇔a=λb⇔a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(λ∈R);(2)a⊥b⇔a·b=0⇔a1b1+a2b2+a3b3=0. 做一做2已知空间向量a=(2,λ,-1),b=(λ,8,λ-6),若a∥b,则λ=,若a⊥b,则λ=. 3.空间向量的模、夹角、距离公式的坐标表示若向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则做一做3已知,则|a|=,a与b夹角的余弦值等于. 思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.(1)若空间向量=(x1,y1,z1),则点B的坐标为(x1,y1,z1).()(2)若空间向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)共线,则()(3)空间向量a=(1,1,1)是一个单位向量.()(4)若a,b为空间向量,则(a+b)·(a-b)=a2-b2.()×××√ 探究一探究二探究三思维辨析探究一空间向量的坐标运算【例1】已知在空间直角坐标系中,A(1,-2,4),B(-2,3,0),C(2,-2,-5).分析：先由点的坐标求出各个向量的坐标,再按照空间向量运算的坐标运算法则进行计算求解. 探究一探究二探究三思维辨析 探究一探究二探究三思维辨析(方法1)(p+q)·(p-q)=|p|2-|q|2=82-66=16.(方法2)p+q=(-5,5,14),p-q=(3,-5,4),所以(p+q)(p-q)=-15-25+56=16. 探究一探究二探究三思维辨析 探究一探究二探究三思维辨析变式训练1在△ABC中,A(2,-5,3),.(1)求顶点B,C的坐标; 探究一探究二探究三思维辨析 探究一探究二探究三思维辨析 探究一探究二探究三思维辨析探究二空间向量的平行与垂直【例2】已知空间向量a=(-1,2,-3),b=(2,-4,x),c=(4,y,6).(1)若m∥a,且|m|=2,求向量m;(2)若a⊥c,求实数y的值;(3)若(2a-b)∥(a+3b),求实数x的值.分析：(1)根据共线向量定理设出向量m的坐标,再结合模的公式求解;(2)由垂直的充要条件建立y的方程求解;(3)由共线的充要条件建立x的方程求解. 探究一探究二探究三思维辨析解：(1)由于m∥a,可设m=λa=λ(-1,2,-3)=(-λ,2λ,-3λ). 探究一探究二探究三思维辨析 探究一探究二探究三思维辨析变式训练2导学号03290064已知a=(1,5,-1),b=(-2,3,5).(1)若(ka+b)∥(a-3b),求k的值;(2)若(ka+b)⊥(a-3b),求k的值.解：由题意知,ka+b=(k-2,5k+3,-k+5),a-3b=(1+3×2,5-3×3,-1-3×5)=(7,-4,-16).(1)因为(ka+b)∥(a-3b), 探究一探究二探究三思维辨析探究三空间向量夹角与模的计算【例3】如图,直三棱柱ABC-A1B1C1,底面△ABC中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M,N分别是AA1,CB1的中点.(1)求BM,BN的长.(2)求△BMN的面积.分析：建立空间直角坐标系,写出B,M,N等点的坐标,从而得出的坐标.然后利用模的公式求得BM,BN的长度.对于(2),可利用夹角公式求得cos∠MBN,再求出sin∠MBN的值,然后套用面积公式计算. 探究一探究二探究三思维辨析解：以C为原点,以CA,CB,CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(如图). 探究一探究二探究三思维辨析 探究一探究二探究三思维辨析 探究一探究二探究三思维辨析变式训练3在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为A1D1,BB1的中点,则cos∠EAF=,EF=. 探究一探究二探究三思维辨析 探究一探究二探究三思维辨析忽视两个向量夹角为锐角(钝角)的条件致误典例导学号03290065已知a=(x,2,0),b=(3,2-x,x),且a与b的夹角为锐角,求实数x的取值范围.错解因为a,b的夹角为锐角,所以a·b>0,即3x+2(2-x)+0·x=4+x>0,则x>-4.正解因为a,b的夹角为锐角,所以a·b>0,即3x+2(2-x)+0·x=4+x>0,则x>-4.又当夹角为0°时,存在λ>0,使b=λa,而此方程组无解,因此实数x的取值范围为(-4,+∞). 探究一探究二探究三思维辨析 探究一探究二探究三思维辨析变式训练若向量a=(2,-3,0),b=(k,0,3)的夹角为120°,求实数k的值. 1.下列各组空间向量中,不平行的是()A.a=(1,2,-2),b=(-2,-4,4)B.a=(1,0,0),b=(-5,0,0)C.a=(4,0,-2),b=(0,0,0)D.a=(2,5,-3),b=(-8,-20,-12)解析：选项A中b=-2a,所以两向量平行,同理B,C的两个向量也平行,D中两个向量不平行.答案：D 2.已知向量a=(1,0,1),b=(2,0,-2),若(ka+b)·(a+kb)=2,则k的值等于()答案：D 答案：C 4.已知a=(2,-3,1),b=(2,0,3),c=(0,0,2),则a·(b-c)=.解析：b-c=(2,0,1),a·(b-c)=(2,-3,1)·(2,0,1)=4+0+1=5.答案：5 5.已知a=(x,4,1),b=(-2,y,-1),c=(3,-2,z),a∥b,b⊥c,求:(1)a,b,c;(2)(a+c)与(b+c)所成角的余弦值.