人教A版选修2-1课件3.1.3 空间向量的数量积运算

3.1.3空间向量的数量积运算 1.空间向量的夹角已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作,则∠AOB叫做向量a,b的夹角,记作<a,b>,向量夹角的取值范围是[0,π].如果<a,b>=,那么向量a,b垂直,记作a⊥b. 做一做1在正四面体ABCD中,的夹角等于()A.30°B.60°C.150°D.120°解析：答案：D 2.空间向量的数量积(1)已知两个非零向量a,b,则|a||b|cos<a,b>叫做a,b的数量积,记作a·b.(2)数量积的运算律:(λa)·b=λ(a·b);a·b=b·a(交换律);a·(b+c)=a·b+a·c(分配律).(3)数量积的运算性质:①若a,b是非零向量,则a⊥b⇔a·b=0.②若a与b同向,则a·b=|a||b|;若a与b反向,则a·b=-|a||b|.特别地,a·a=|a|2或|a|=③若θ为a,b的夹角,则cosθ=④|a·b|≤|a||b|. 做一做2正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长等于2,则等于()解析：答案：C做一做3已知空间向量a,b的夹角为120°,且|a|=1,|b|=2,则a·(2a-3b)=.解析：a·(2a-3b)=2|a|2-3a·b=2×12-3×1×2×=5.答案：5 思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.(1)若a,b是空间非零向量,则<a,-b>=<-a,b>=-<a,b>.()(2)若a,b,c是空间向量,则(a·b)c=a(b·c).()(3)若a,b,c是空间向量,且a·b=a·c,则b=c.()(4)若a·b=±|a||b|,则空间向量a,b是共线向量.()(5)若a,b是空间非零向量,则(a·b)2=a2b2.()×××√× 探究一探究二探究三探究四规范解答探究一求空间向量的数量积【例1】已知三棱锥O-ABC的各个侧面都是等边三角形,且边长为2,点M,N,P分别为AB,BC,CA的中点.试求:分析：求出每个向量的模及其夹角,然后按照数量积的定义计算求解,必要时,对向量进行分解. 探究一探究二探究三探究四规范解答 探究一探究二探究三探究四规范解答 探究一探究二探究三探究四规范解答 探究一探究二探究三探究四规范解答变式训练1如图所示,已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1,点E,F分别是AB,AD的中点,计算 探究一探究二探究三探究四规范解答 探究一探究二探究三探究四规范解答探究二利用数量积求夹角【例2】如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求向量的夹角的大小.分析：求两个向量的夹角,可以把其中一个向量平移到与另一个向量的起点重合,从而转化为求平面角的大小;也可以用两个向量的数量积定义a·b=|a||b|cos<a,b>,求出cos<a,b>=的值,然后确定<a,b>的大小. 探究一探究二探究三探究四规范解答 探究一探究二探究三探究四规范解答 探究一探究二探究三探究四规范解答变式训练2(1)若非零空间向量a,b满足|a|=|b|,(2a+b)·b=0,则a与b的夹角为()A.30°B.60°C.120°D.150°(2)已知空间四面体OABC各边及对角线长都等于2,E,F分别为AB,OC的中点,则向量所成角的余弦值为.解析：(1)设a与b的夹角为θ,则由(2a+b)·b=0,得2|a||b|cosθ+|b|2=0.又因为|a|=|b|,所以cosθ=-,所以θ=120°. 探究一探究二探究三探究四规范解答 探究一探究二探究三探究四规范解答探究三利用数量积证明垂直问题【例3】如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P是DD1的中点,O是底面ABCD的中心.求证:B1O⊥平面PAC.分析：要证B1O⊥平面PAC,只须证明B1O⊥AC与B1O⊥PA,即只需证明均用正方体的棱所在的向量线性表示,再求数量积证明. 探究一探究二探究三探究四规范解答 探究一探究二探究三探究四规范解答 探究一探究二探究三探究四规范解答变式训练3导学号03290059已知空间四边形OABC中,M,N,P,Q分别为BC,AC,OA,OB的中点,若AB=OC,求证:PM⊥QN. 探究一探究二探究三探究四规范解答探究四利用数量积求距离或长度【例4】在正四面体ABCD中,棱长为a.M,N分别是棱AB,CD上的点,且|MB|=2|AM|,|CN|=|ND|,求|MN|.分析：转化为求向量的模,然后将向量分解,再根据数量积运算性质进行求解. 探究一探究二探究三探究四规范解答 探究一探究二探究三探究四规范解答 探究一探究二探究三探究四规范解答变式训练4正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都为2,E,F分别是AB,A1C1的中点,则EF的长是()答案：C 探究一探究二探究三探究四规范解答利用向量的数量积求两异面直线所成角典例导学号03290060如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=90°,AB=BC=1,AA1=,求异面直线BA1与AC所成角的余弦值. 探究一探究二探究三探究四规范解答 探究一探究二探究三探究四规范解答【答题模板】第1步:确定两两垂直的向量,把待求直线看作向量,用相关向量表示.⇓第2步:计算直线BA1与AC对应向量的数量积.⇓第3步:利用数量积公式计算两个向量夹角的余弦值.⇓第4步:将两向量夹角的余弦值转化为两直线夹角的余弦值. 探究一探究二探究三探究四规范解答 探究一探究二探究三探究四规范解答变式训练在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线BA1与直线AC所成的角为.答案：60° 1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列各对向量夹角为45°的是()解析：四个选项中两个向量的夹角依次是45°,135°,90°,180°,故选A.答案：A 2.在棱长为1的正四面体ABCD中,E,F分别是BC,AD的中点,则等于()答案：D 3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是上底面A1B1C1D1的中心,则AC1与CE的位置关系是()A.重合B.平行C.垂直D.无法确定答案：C 4.如果e1,e2是两个夹角为60°的单位空间向量,则a=e1+e2与b=e1-2e2的夹角为.答案：120° 123455.如图所示,已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°,求证:CC1⊥BD.