2024届新高三数学开学摸底试卷一（新高考专用）（Word版附解析）

2024届新高三开学摸底试卷一（新高考专用）数学(时间：120分钟　满分：150分)注意事项：1.答卷前，考试务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设集合A＝{x|lgx<1}，B＝{x|x≤2}，则A∪B等于(　　)A．{x|0<x≤2}B．{x|x≤2}C．{x|x<10}D．R2．(2023·九江模拟)若复数z满足(1＋i)z＝|2＋i|，则复数z的虚部是(　　)A．－B．－iC.D.i3．小张接到4项工作，要在下周一、周二、周三这3天中完成，每天至少完成1项，且周一只能完成其中1项工作，则不同的安排方式有(　　)A．12种B．18种C．24种D．36种4．斜拉桥是桥梁建筑的一种形式，在桥梁平面上有多根拉索，所有拉索的合力方向与中央索塔一致．如图是重庆千厮门嘉陵江大桥，共有10对永久拉索，在索塔两侧对称排列．已知拉索上端相邻两个锚的间距|PiPi＋1|(i＝1,2,3，…，9)均为3.4m，拉索下端相邻两个锚的间距|AiAi＋1|(i＝1,2,3，…，9)均为16m．最短拉索的锚P1，A1满足|OP1|＝66m，|OA1|＝86m，则最长拉索所在直线的斜率为(　　)A．±0.47B．±0.45C．±0.42D．±0.405．已知|a|＝6，a与b的夹角为，且(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则|b|等于(　　)15 A．4B．5C．6D．146．已知2cosα－3cos＝1，则sin等于(　　)A．－B.C．－D.7．某校为提升学生的综合素养，大力推广体育运动，号召青少年锻炼身体，开设了“足球”“健美操”“排球”“攀岩”四类体育运动体验课程．甲、乙两名同学各自从中任意挑选两门课程学习，设事件A＝“甲、乙两人所选课程恰有一门相同”，事件B＝“甲、乙两人所选课程完全不同”，事件C＝“甲、乙两人均未选择攀岩课程”，则(　　)A．A与B为对立事件B．A与C互斥C．A与C相互独立D．B与C相互独立8．已知e≈2.71828是自然对数的底数，函数f(x)＝若整数m满足|f(m)|>，则所有满足条件的m的和为(　　)A．0B．13C．21D．30二、选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)9．如图是对甲、乙两个水果店在“十一黄金周”的水果销售量的统计，则下列说法正确的是(　　)A．甲店数据的极差大于乙店数据的极差B．若甲、乙两店数据的平均数分别为1，2，则1>2C．若甲、乙两店数据的方差分别为s，s，则s>sD．甲店数据的中位数大于乙店数据的中位数10．已知函数f(x)＝，则下列说法中正确的有(　　)A．函数f(x)的图象关于点对称15 B．函数f(x)的图象的一条对称轴是直线x＝C．若x∈，则函数f(x)的最小值为D．若f(x1)f(x2)＝4，x1≠x2，则|x1－x2|的最小值为11．2022年4月16日9时56分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”，如图，在平面直角坐标系中，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点F(0,2)，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与y轴交于点G.若过原点O的直线与上半椭圆交于点A，与下半圆交于点B，则(　　)A．椭圆的长轴长为4B．线段AB长度的取值范围是[4,2＋2]C．△ABF面积的最小值是4D．△AFG的周长为4＋412.如图所示，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，过对角线BD1的一个平面交棱AA1于点E，交棱CC1于点F，得到四边形BFD1E，在以下结论中，正确的是(　　)A．四边形BFD1E有可能是梯形B．四边形BFD1E在底面ABCD内的射影一定是正方形C．四边形BFD1E有可能垂直于平面BB1D1DD．四边形BFD1E面积的最小值为三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知函数f(x)＝xln(－2x)，则曲线y＝f(x)在x＝－处的切线方程为________．14．九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．用an表示解下n(n≤9，n∈N*)个圆环所需的最少移动次数．若a1＝1，且an＋1＝则解下615 个圆环所需的最少移动次数为________．15．已知斜率为3的直线l与抛物线C：y2＝6x交于A，B两点，当弦AB的中点到抛物线焦点的距离最小时，直线l的方程为________．16．已知三棱锥P－ABC的四个顶点在球M的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF＝90°，则三棱锥P－ABC的体积为________，球M的表面积为________．四、解答题(本题共6小题，共70分)17．(10分)近年来青少年近视问题日趋严重，引起了政府、教育部门和社会各界的高度关切．一研究机构为了解近视与户外活动时间的关系，对某地区的小学生随机调查了100人，得到如下数据：平均每天户外活动时间不足1小时1小时以上，不足2小时2小时以上近视1582不近视153228(1)从这些小学生中任选1人，事件A表示“该小学生近视”，事件B表示“该小学生平均每天户外活动时间不足1小时”，分别求P(AB)和P()；(2)完成下面的列联表，根据小概率值α＝0.01的独立性检验，能否认为近视与户外活动时间有关系？是否近视平均每天户外活动时间合计不足2小时2小时以上近视不近视合计附：χ2＝临界值表：α0.050.010.005xα3.8416.6357.87918．(12分)已知数列{an}满足a1＋2a2＋…＋nan＝2n，数列{bn}满足对任意的正整数m≥2，15 均有bm－1＋bm＋bm＋1＝成立．(1)求数列{an}的通项公式；(2)求数列{bn}的前99项和．19．(12分)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知acosB＋bcosA＝2ccosC.(1)求C；(2)若△ABC为锐角三角形，求的取值范围．20．(12分)如图，四边形ABCD为平行四边形，点E在AB上，AE＝2BE＝2，且DE⊥AB，沿DE将△ADE折起，使点A到达点F的位置，且∠FEB＝60°.(1)求证：平面BFC⊥平面BCDE；(2)若直线DF与平面BCDE所成角的正切值为，求平面DEF与平面DFC夹角的余弦值．21．(12分)已知双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，F1，F2为双曲线的左、右焦点，15 离心率为2，点P为双曲线在第一象限上的一点，且满足·＝0，|PF1||PF2|＝6.(1)求双曲线的标准方程；(2)过点F2作直线l交双曲线于A，B两点，则在x轴上是否存在定点Q(m,0)使得·为定值，若存在，请求出m的值和该定值，若不存在，请说明理由．22．(12分)已知函数f(x)＝alnx＋2x2－2(a∈R)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若函数f(x)在x＝1处的切线方程为y＝8x－8，且对于任意实数λ∈[－1,2]，存在正实数x1，x2，使得λ(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)，求x1＋x2的最小正整数值．答案及详细解析15 1．答案　C解析　因为lgx<1，所以lgx<lg10，即0<x<10，即A＝{x|0<x<10}，所以A∪B＝{x|x<10}．2．答案　A解析　由于|2＋i|＝，所以z＝＝＝(1－i)＝－i，故复数z的虚部是－.3．答案　C解析　先从4项工作中选1项安排在周一完成，再从剩下的工作中选2项安排在周二或周三，所以不同的安排方式有CCA＝24(种)．4．答案　C解析　根据题意可知，最短拉索的锚P1，A1满足|OP1|＝66m，|OA1|＝86m，且|PiPi＋1|(i＝1,2,3，…，9)均为3.4m，|AiAi＋1|(i＝1,2,3，…，9)均为16m，则|OA10|＝|OA1|＋|A1A10|＝86＋9×16＝230(m)，即点A10(230,0)，同理B10(－230,0)，又|OP10|＝|OP1|＋|P1P10|＝66＋9×3.4＝96.6(m)，即点P10(0,96.6)，所以＝＝－0.42，＝＝0.42，故所求斜率为±0.42.5．答案　A解析　由(a＋2b)·(a－3b)＝－72，得|a|2－6|b|2－a·b＝－72，∵|a|＝6，a与b的夹角为，∴62－6|b|2－|a|·|b|cos ＝－72，即36－6|b|2－|b|×6×＝－72，即2|b|2＋|b|－36＝0，得(|b|－4)(2|b|＋9)＝0，解得|b|＝4.6．答案　B解析　因为2cosα－3cos＝1，即2cosα－3＝1，即2cosα－3＝1，即cosα－sinα＝1，即＝cos＝1，15 所以cos＝，所以sin＝－cos＝－cos2＝－＝－＝.7．答案　C解析　依题意可知，甲、乙两人所选课程有如下情形：①有一门相同，②两门都相同，③两门都不相同；故A与B互斥不对立，A与C不互斥，故A，B错误；P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(C)＝＝，且P(AC)＝＝，P(BC)＝0，所以P(AC)＝P(A)P(C)，P(BC)≠P(B)P(C)，即A与C相互独立，B与C不相互独立，故C正确，D错误．8．答案　C解析　因为|f(m)|>，当m＝0时，|f(0)|＝2>符合条件；当m≠0时，>，即>或<－，令g(x)＝＝当x>0时，g′(x)＝，当x∈时，g′(x)>0，g(x)单调递增；当x∈时，g′(x)<0，g(x)单调递减．又因为g＝＝e>，g(8)＝>，g(9)＝<，所以m＝1,2,3,4,5,6,7,8均满足；当x<0时，g′(x)＝，令h(x)＝ex(x－1)＋3，则h′(x)＝xex<0，所以h(x)＝ex(x－1)＋3在(－∞，0)上单调递减，且h(0)＝e0×(0－1)＋3＝2>0，所以h(x)＝ex(x－1)＋3>0，即g′(x)＝>0，g(x)在(－∞，0)上单调递增，又因为当x<0时，g(x)>0，且g(－1)＝＝3－>，g(－5)＝－>，g(－6)＝－<15 ，所以m＝－1，－2，－3，－4，－5均满足，所以所有满足条件的m的和为0＋1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋(－1)＋(－2)＋(－3)＋(－4)＋(－5)＝21.9．答案　BD解析　由折线图得，对于A，甲店数据的极差小于乙店数据的极差，故A错误；对于B，甲店数据除第二天的数据略低于乙店数据，其他天的数据都高于乙店数据，可知1>2，故B正确；对于C，甲店数据明显比乙店数据稳定，可知s<s，故C错误；对于D，易知甲店数据的中位数大于乙店数据的中位数，故D正确．10．答案　BCD解析　在f(x)的图象上取一点(0，)，其关于点对称的点不在f(x)＝的图象上，所以函数f(x)的图象不关于点对称，故A不正确；因为f ＝＝f(x)，所以函数f(x)的图象的一条对称轴是直线x＝，故B正确；若x∈，则2x－∈，所以f(x)＝∈[，2]，故C正确；因为f(x)max＝2，所以f(x1)＝f(x2)＝2，所以|x1－x2|min＝×＝，故D正确．11．答案　ABD解析　由题意知，椭圆中的b＝c＝2，所以a＝2，则2a＝4，A正确；|AB|＝|OB|＋|OA|＝2＋|OA|，由椭圆性质可知2≤|OA|≤2，所以4≤|AB|≤2＋2，B正确；连接AF，BF，AG(图略)．记∠AOF＝θ，则S△ABF＝S△AOF＋S△OBF＝|OA|·|OF|sinθ＋|OB|·|OF|sin(π－θ)＝|OA|sinθ＋2sinθ＝(|OA|＋2)sinθ，取θ＝，则S△ABF＝1＋|OA|≤1＋×2<4，C错误；由椭圆定义知，|AF|＋|AG|＝2a＝4，所以△AFG的周长C＝|FG|＋4＝4＋4，D正确．15 12.答案　BCD解析　对于选项A，因为平面ABB1A1∥平面DCC1D1，且平面BFD1E∩平面ABB1A1＝BE，平面BFD1E∩平面DCC1D1＝D1F，所以BE∥D1F，同理，D1E∥BF，故四边形BFD1E为平行四边形，因此A错误；对于选项B，四边形BFD1E在底面ABCD内的射影一定是正方形ABCD，因此B正确；对于选项C，当点E，F分别为AA1，CC1的中点时，易知EF⊥平面BB1D1D，又EF⊂平面BFD1E，则平面BFD1E⊥平面BB1D1D，因此C正确；对于选项D，当点F到线段BD1的距离最小时，平行四边形BFD1E的面积最小，此时点F为CC1的中点，则四边形BFD1E面积的最小值为2×××＝，因此D正确．13．答案　4x－2y＋e＝0解析　由题可知f′(x)＝ln(－2x)＋1，所以f′＝2，又f ＝－，故所求切线方程为y－＝2，即4x－2y＋e＝0.14．答案　64解析　因为a1＝1，所以a2＝2a1＋2＝4，a3＝2a2－1＝7，a4＝2a3＋2＝16，a5＝2a4－1＝31，a6＝2a5＋2＝64.15．答案　6x－2y－7＝0解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴y＝6x1，y＝6x2，两式相减得，y－y＝(y1－y2)(y1＋y2)＝6(x1－x2)，则(y1＋y2)＝6，∵kl＝＝3，∴y1＋y2＝2，∴弦AB的中点的纵坐标为1，可设弦AB的中点坐标为(x0,1)，又抛物线焦点坐标为，∴弦AB的中点到抛物线焦点的距离d＝＝，∴当x0＝时，dmin＝1，此时弦AB的中点坐标为，∴直线l的方程为y－1＝3，即6x－2y－7＝0，经检验符合题意．16．答案　　6π15 解析　如图，∵PA＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，∴三棱锥P－ABC为正三棱锥，则顶点P在底面的射影为△ABC的中心O，连接BO并延长，交AC于点G，连接PG，∵AC⊥BG，PO⊥AC，PO∩BG＝O，PO，BG⊂平面PBG，∴AC⊥平面PBG，则PB⊥AC，∵E，F分别是PA，AB的中点，∴EF∥PB，又∵∠CEF＝90°，∴EF⊥CE，∴PB⊥CE，又AC∩CE＝C，AC，CE⊂平面PAC，∴PB⊥平面PAC，则PB⊥PC，则PB2＋PC2＝BC2＝4，∴PA＝PB＝PC＝，∴正三棱锥P－ABC的三条侧棱两两互相垂直，∴VP－ABC＝××××＝.将三棱锥补形成正方体(图略)，则该正方体的外接球即为三棱锥P－ABC的外接球，∴外接球的直径2R＝＝，∴R＝，故球M的表面积为4πR2＝6π.17．解　(1)由题意可知，小学生近视且平均每天户外活动时间不足1小时的人数为15，故P(AB)＝＝；小学生不近视且平均每天户外活动时间超过1小时的人数为32＋28＝60，故P()＝＝.(2)列联表如下：是否近视平均每天户外活动时间合计不足2小时2小时以上近视23225不近视472875合计703010015 所以χ2＝＝≈7.683，因为7.683>6.635，所以根据小概率值α＝0.01的独立性检验，可以认为近视与户外活动时间有关系．18．解　(1)因为a1＋2a2＋…＋nan＝2n，所以当n≥2时，a1＋2a2＋…＋(n－1)an－1＝2(n－1)，两式相减得nan＝2，则an＝，又当n＝1时，a1＝2也符合an＝，所以an＝.(2)由(1)知，＝，因为对任意的正整数m≥2，均有bm－1＋bm＋bm＋1＝＝，故数列{bn}的前99项和b1＋b2＋b3＋b4＋b5＋b6＋…＋b97＋b98＋b99＝(b1＋b2＋b3)＋(b4＋b5＋b6)＋…＋(b97＋b98＋b99)＝＋＋…＋＝＝825.19．解　(1)因为acosB＋bcosA＝2ccosC，所以由正弦定理得sinAcosB＋sinBcosA＝2sinCcosC，即sin(A＋B)＝2sinCcosC，因为A＋B＝π－C，所以sin(A＋B)＝sinC＝2sinCcosC，因为0<C<π，故sinC≠0，所以cosC＝，所以C＝.(2)由(1)知，C＝，A＝－B，因为△ABC为锐角三角形，所以0<B<且0<－B<，所以<B<，由正弦定理得＝＝＝＝＋，因为<B<，所以tanB>，<＋<2，15 所以∈.20．(1)证明　因为AE＝EF＝2，BE＝1，∠FEB＝60°，所以在△EFB中，由余弦定理得BF2＝BE2＋EF2－2BE·EF·cos60°＝3，所以BE2＋BF2＝EF2，所以BF⊥BE，又因为DE⊥AB，所以DE⊥EF，DE⊥BE.又EF∩BE＝E，EF，BE⊂平面BEF，所以DE⊥平面BEF，因为BF⊂平面BEF，所以BF⊥DE，因为BE，DE⊂平面BCDE，DE∩BE＝E，所以BF⊥平面BCDE，又BF⊂平面BFC，所以平面BFC⊥平面BCDE.(2)解　连接BD，如图．设AD＝a，则DE＝，BD＝，由(1)知BF⊥平面BCDE，所以∠FDB为直线DF与平面BCDE所成的角，所以tan∠FDB＝＝，所以＝，解得a＝2，以E为坐标原点，，的方向分别为x轴、y轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(－2,0,0)，B(1,0,0)，D(0,2,0)，C(3,2,0)，F(1,0，)，所以＝(3,0,0)，＝(1，－2，)，设m＝(x，y，z)为平面DFC的法向量，则即令y＝，则z＝2，所以m＝(0，，2)，由(1)知，DE⊥平面BEF，又DE⊂平面DEF，所以平面DEF⊥平面BEF.过点B作EF的垂线交EF于点M，则BM⊥平面DEF，可得M的坐标为，则＝为平面DEF的一个法向量．所以cos〈m，〉＝＝，15 所以平面DEF与平面DFC夹角的余弦值为.21．解　(1)由题意可得e＝＝2，可得c＝2a，b2＝c2－a2＝3a2，所以b＝a，又因为·＝0，|PF1||PF2|＝6.所以PF1⊥PF2，由|PF1|－|PF2|＝2a，得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|＝4a2，而|PF1|2＋|PF2|2＝4c2，所以4c2－12＝4a2，可得a2＝1，b2＝3，所以双曲线的方程为x2－＝1.(2)由(1)可得F2(2,0)，当直线l的斜率为0时，l的方程为y＝0，此时A(－1,0)，B(1,0)，由Q(m,0)，则·＝m2－1，当直线l的斜率不为0时，设l的方程为x＝ty＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立整理可得(3t2－1)y2＋12ty＋9＝0，因为t2≠，y1＋y2＝，y1y2＝，因为·＝(x1－m，y1)·(x2－m，y2)＝(ty1＋2－m)(ty2＋2－m)＋y1y2＝(t2＋1)y1y2＋(2－m)t(y1＋y2)＋(2－m)2＝(t2＋1)·＋(2－m)t·＋(2－m)2＝＋(2－m)2，要使·为定值，则＝，解得m＝－1，此时·＝0，代入m2－1＝0，所以存在m＝－1，使得Q(－1,0)，·的定值为0.22．解　(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝＋4x＝.当a≥0时，f′(x)>0，则函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a<0时，令f′(x)＝0，解得x＝，15 所以当x∈时，f′(x)<0，当x∈时，f′(x)>0.则函数f(x)在上单调递减，在上单调递增．综上，当a≥0时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a<0时，函数f(x)在上单调递减，在上单调递增．(2)由(1)知f′(x)＝＋4x＝，因为函数f(x)在x＝1处的切线方程为y＝8x－8，所以f′(1)＝a＋4＝8，解得a＝4.所以f(x)＝4lnx＋2x2－2，因为对于任意实数λ∈[－1,2]时，存在正实数x1，x2，使得λ(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)，所以4ln(x1x2)＋2(x＋x)－4＝λ(x1＋x2)，即2(x1＋x2)2－λ(x1＋x2)－4＝4x1x2－4ln(x1x2)，设x1x2＝t>0，令函数h(t)＝4t－4lnt，则h′(t)＝4－＝，当t∈(0,1)时，h′(t)<0，h(t)单调递减；当t∈(1，＋∞)时，h′(t)>0，h(t)单调递增，故h(t)≥h(1)＝4，则2(x1＋x2)2－λ(x1＋x2)－4≥h(t)min＝4，故2(x1＋x2)2－λ(x1＋x2)≥8，设函数g(λ)＝－λ(x1＋x2)－8＋2(x1＋x2)2≥0，因为x1＋x2>0，可知函数g(λ)在[－1,2]上单调递减．故g(λ)≥g(2)＝－2(x1＋x2)－8＋2(x1＋x2)2≥0，解得x1＋x2≥或x1＋x2≤(舍去)，故x1＋x2的最小正整数值为3.15