2024届新高三数学开学摸底试卷二(新高考专用)(Word版附解析)
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2024届新高三开学摸底试卷二(新高考专用)数学(时间:120分钟 满分:150分)注意事项:1.答卷前,考试务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2023·邯郸模拟)若集合A={x|x2-2x<0},B={x|log2x≥0},则图中阴影部分表示的集合为( )A.{x|x>0}B.{x|0<x≤1}C.{x|1≤x<2}D.{x|0<x<1或x≥2}2.(2023·镇江模拟)命题:“∃x∈(0,+∞),lnx=x-1”的否定是( )A.∃x∈(0,+∞),lnx≠x-1B.∃x∈(-∞,0],lnx=x-1C.∀x∈(0,+∞),lnx≠x-1D.∀x∈(0,+∞),lnx=x-13.已知z∈C,且|z|=1,则|z-2-2i|(i为虚数单位)的最小值是( )A.2-1B.2+1C.D.24.2022年6月我国南方遭受严重洪灾,为了弘扬“一方有难,八方支援”的中国精神,某校举行募捐活动,下表是某班50名同学捐款的频数分布表,若第40百分位数为m,第80百分位数为n,则m+n等于( )捐款金额(元)305070100频数325157A.60B.70C.90D.1205.(2023·厦门模拟)已知函数f(x)=xsinx,g(x)=cosx,则图象为如图所示的函数可能是( )
A.y=f(x)g(x)-1B.y=C.y=f(x)+g(x)-1D.y=f(x)-g(x)+16.(2023·汕头模拟)已知△ABC的外接圆圆心为O,且2=+,||=||,则向量在向量上的投影向量为( )A.B.C.-D.-7.已知F1,F2为双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,以线段F1F2为直径的圆与双曲线C的右支交于P,Q两点,若OP⊥F1Q,其中O为坐标原点,则双曲线C的离心率为( )A.B.C.+1D.+18.已知a=log1213,b=,c=log1314,则a,b,c的大小关系为( )A.a>b>cB.c>b>aC.a>c>bD.b>a>c二、选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)9.已知a,b为正实数,且ab+2a+b=16,则( )A.ab的最大值为8B.2a+b的最小值为8C.a+b的最小值为6-3D.+的最小值为10.(2023·青岛模拟)已知圆C:x2+2=1上两点A,B满足|AB|≥,点M(x0,0)满足|MA|=|MB|,则下列结论中正确的是( )A.当|AB|=时,x0=
B.当x0=0时,过点M的圆C的最短弦长是2C.线段AB的中点纵坐标的最小值是D.过点M作圆C的切线且切点为A,B,则x0的取值范围是∪11.如图,棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1的内切球球心为O,E,F分别是棱AB,CC1的中点,点G在棱BC上移动(含端点),则( )A.对于任意点G,OA∥平面EFGB.存在点G,使得OD⊥平面EFGC.直线EF被球O截得的弦长为D.过直线EF的平面截球O所得截面圆的面积的最小值为12.(2023·南京模拟)某企业于近期推出了一款盲盒,且该款盲盒分为隐藏款和普通款两种,其中隐藏款的成本为50元/件,普通款的成本为10元/件,且企业对这款盲盒的零售定价为a元/件.现有一批有限个盲盒即将上市,其中含有20%的隐藏款.某产品经理现对这批盲盒进行检验,每次只检验一个盲盒,且每次检验相互独立,检验后将盲盒重新包装并放回.若检验到隐藏款,则检验结束;若检验到普通款,则继续检验,且最多检验20次.记X为检验结束时所进行的检验次数,则( )A.P(X=4)=0.1024B.E(X)<5C.若小明从这批盲盒中一次性购买了5件,则他抽到隐藏款的概率为0.5094D.若这款盲盒最终全部售出,为确保企业能获利,则a>18三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知sin=,则cos=________.14.已知P(x,y)是函数y=ex+x图象上的点,则点P到直线2x-y-3=0的最小距离为________.15.在(3+y)(x-y)4的展开式中x2y3的系数为________.16.已知数列{an}的通项公式an=10n-2n,前n项和是Sn,对于∀n∈N*,都有Sn≤Sk,则k=________.
四、解答题(本题共6小题,共70分)17.(10分)已知数列{an},Sn是an的前n项和,且满足Sn=2an-1(n∈N*),数列{bn}是等差数列,b2+b6=a4,a5-b4=2b6.(1)求{an},{bn}的通项公式;(2)设数列{Sn}的前n项和为Tn,设cn=(-1)n,求{cn}的前n项和Dn.18.(12分)在①b(1+cosA)=asinB;②bcos =asinB;③asinC=ccos这三个条件中任选一个作为已知条件,补充在下面的问题中,然后解答补充完整的题.△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知________(只需填序号).(1)求A;(2)若a=,b+c=4,求△ABC的面积.注:如果选择多个条件分别解答,则按第一个解答计分.19.(12分)第五代移动通信技术(简称5G)是具有高速率、低时延和大连接特点的新一代宽带移动通信技术,它具有更高的速率、更宽的带宽、更高的可靠性、更低的时延等特征,能够满足未来虚拟现实、超高清视频、智能制造、自动驾驶等用户和行业的应用需求.某机构统计了A,B,C,D,E,F共6家公司在5G通信技术上的投入x(千万元)与收益y(千万元)的数据,如下表:投入x(千万元)578101113收益y(千万元)111516222531
(1)若x与y之间线性相关,求y关于x的经验回归方程.并估计若投入15千万元,收益大约为多少千万元?(精确到0.01)(2)现6家公司各派出一名代表参加某项宣传活动,该活动在甲,乙两个城市同时进行,6名代表通过抛掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪个城市参加活动,规定:每人只抛掷一次,掷出正面向上的点数为1,3,5,6的去甲城市,掷出正面向上的点数为2,4的去乙城市.求:①A公司派出的代表去甲城市参加活动的概率;②求6位代表中去甲城市的人数少于去乙城市的人数的概率.(用最简分数作答)参考数据及公式:iyi=1186,==,=-.20.(12分)(2023·永州模拟)在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD是边长为4的菱形,PB=BD=PD=4,PA=4.(1)证明:PC⊥平面ABCD;(2)如图,取BC的中点E,在线段DE上取一点F使得=,求平面PAF与平面PAC夹角的大小.
21.(12分)已知A′,A分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右顶点,B,F分别是C的上顶点和左焦点.点P在C上,满足PF⊥A′A,AB∥OP,|FA′|=2-.(1)求C的方程;(2)过点F作直线l(与x轴不重合)交C于M,N两点,设直线AM,AN的斜率分别为k1,k2,求证:k1k2为定值.22.(12分)(2023·承德模拟)已知函数f(x)=ex-ax2-2.(1)当a=e时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;(2)若f(x)+e-x≥0恒成立,求实数a的取值范围.答案及解析1.(2023·邯郸模拟)若集合A={x|x2-2x<0},B={x|log2x≥0},则图中阴影部分表示的集合为( )A.{x|x>0}B.{x|0<x≤1}C.{x|1≤x<2}D.{x|0<x<1或x≥2}答案 C解析 由题意知A={x|0<x<2},B={x|x≥1},则图中阴影部分为A∩B={x|1≤x<2}.2.(2023·镇江模拟)命题:“∃x∈(0,+∞),lnx=x-1”的否定是( )A.∃x∈(0,+∞),lnx≠x-1B.∃x∈(-∞,0],lnx=x-1C.∀x∈(0,+∞),lnx≠x-1D.∀x∈(0,+∞),lnx=x-1答案 C
解析 “∃x∈(0,+∞),lnx=x-1”的否定是“∀x∈(0,+∞),lnx≠x-1”.3.已知z∈C,且|z|=1,则|z-2-2i|(i为虚数单位)的最小值是( )A.2-1B.2+1C.D.2答案 A解析 ∵|z|=1且z∈C,则|z|表示复平面内的单位圆O,如图,∵|z-2-2i|的几何意义为单位圆上的点M到复平面上的点P(2,2)的距离,∴|z-2-2i|的最小值为|OP|-1=2-1.4.2022年6月我国南方遭受严重洪灾,为了弘扬“一方有难,八方支援”的中国精神,某校举行募捐活动,下表是某班50名同学捐款的频数分布表,若第40百分位数为m,第80百分位数为n,则m+n等于( )捐款金额(元)305070100频数325157A.60B.70C.90D.120答案 D解析 因为50×40%=20,所以按从小到大排列取第20,21项数据的平均数,其平均数为50,所以m=50.因为50×80%=40,所以按从小到大排列取第40,41项数据的平均数,其平均数为70,所以n=70,所以m+n=120.5.(2023·厦门模拟)已知函数f(x)=xsinx,g(x)=cosx,则图象为如图所示的函数可能是( )A.y=f(x)g(x)-1B.y=C.y=f(x)+g(x)-1D.y=f(x)-g(x)+1
答案 C解析 f(π)=0,g(π)=-1,由图得,当x=π时,y<0,排除BD;f(0)=0,g(0)=1,由图得,当x=0时,y=0,排除A.6.(2023·汕头模拟)已知△ABC的外接圆圆心为O,且2=+,||=||,则向量在向量上的投影向量为( )A.B.C.-D.-答案 A解析 如图,由2=+知O为BC的中点,∵O为△ABC的外接圆圆心,∴OA=OB=OC,又∵||=||,∴AB=OB=OA=OC,∴△ABO为正三角形,∠ABO=60°,∴在上的投影向量为=.7.已知F1,F2为双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,以线段F1F2为直径的圆与双曲线C的右支交于P,Q两点,若OP⊥F1Q,其中O为坐标原点,则双曲线C的离心率为( )A.B.C.+1D.+1答案 D
解析 依题意由双曲线的对称性可知∠OF1Q=∠OF1P=∠F1PO,又OP⊥F1Q,所以∠OF1Q+∠OF1P+∠F1PO=,所以∠OF1P=,在△F2F1P中,∠F1PF2=,设双曲线的半焦距为c,所以|PF2|=c,|PF1|=c,则其离心率e=====+1.8.已知a=log1213,b=,c=log1314,则a,b,c的大小关系为( )A.a>b>cB.c>b>aC.a>c>bD.b>a>c答案 D解析 构造函数f(x)=,x>e,则f′(x)=<0,所以函数f(x)在(e,+∞)上单调递减,所以f(12)>f(13),即>,则a=log1213=<=b,a-c=-=>==>0,则a>c,因此b>a>c.二、选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)9.已知a,b为正实数,且ab+2a+b=16,则( )A.ab的最大值为8B.2a+b的最小值为8C.a+b的最小值为6-3D.+的最小值为答案 ABC解析 因为16=ab+2a+b≥ab+2,当且仅当2a=b时取等号,
解不等式得-4≤≤2,即0<≤2,所以0<ab≤8,故ab的最大值为8,A正确;由16=ab+2a+b,得b==-2,所以2a+b=2a+=2(a+1)+-4≥2-4=8,当且仅当2(a+1)=,即a=2时取等号,所以2a+b的最小值为8,B正确;a+b=a+-2=a+1+-3≥6-3,当且仅当a+1=,即a=3-1时取等号,所以a+b的最小值为6-3,C正确;+≥2=2=,当且仅当a+1=b+2时取等号,所以+的最小值为,D错误.10.(2023·青岛模拟)已知圆C:x2+2=1上两点A,B满足|AB|≥,点M(x0,0)满足|MA|=|MB|,则下列结论中正确的是( )A.当|AB|=时,x0=B.当x0=0时,过点M的圆C的最短弦长是2C.线段AB的中点纵坐标的最小值是D.过点M作圆C的切线且切点为A,B,则x0的取值范围是∪答案 CD解析 圆C:x2+2=1的圆心C,半径r=1,令圆心C到直线AB的距离为d.对于A,令直线AB:x=,即d=,显然有|AB|=2=,线段AB的垂直平分线为y=,此时点M不存在,即x0不存在,A不正确;
对于B,当x0=0时,点M(0,0)在圆C内,而圆C的直径长为2,则过点M的圆C的最短弦长小于2,而2>2,B不正确;对于C,令线段AB的中点P(t,s),则|PC|=d=≤=,则t2+2≤,即2≤,解得≤s≤,当且仅当t=0时取等号,所以smin=,C正确;对于D,依题意知MA⊥AC,MC⊥AB,|AB|·|MC|=|MA|·|AC|,因为|MA|=,所以=|AB|≥,解得x0≤-或x0≥,所以x0的取值范围是∪,D正确.11.如图,棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1的内切球球心为O,E,F分别是棱AB,CC1的中点,点G在棱BC上移动(含端点),则( )A.对于任意点G,OA∥平面EFGB.存在点G,使得OD⊥平面EFGC.直线EF被球O截得的弦长为D.过直线EF的平面截球O所得截面圆的面积的最小值为答案 BD解析 正方体内切球的球心O即为正方体的中心,且球的半径R=1,如图.当点G与点B重合时,A∈平面EFB,O∉平面EFB,此时直线OA与平面EFG相交,A错误;连接BD,当G为BC的中点时,EG⊥BD,EG⊥BB1,BD∩BB1=B,BD,BB1⊂平面BB1D1D,则EG⊥平面BB1D1D,
因为B1D⊂平面BB1D1D,所以EG⊥B1D;同理,FG⊥B1D,因为EG∩FG=G,EG,FG⊂平面EFG,所以B1D⊥平面EFG,即OD⊥平面EFG,B正确;取EF的中点M,连接OM,EC,由对称性可知,OE=OF,则OM⊥EF.因为OE=,EM=EF==,则OM==,所以直线EF被球O截得的弦长为2=2=,C错误;设截面圆的半径为r,球心O到截面的距离为d,则r2+d2=R2=1,因为d≤OM=,则r2=1-d2≥,所以截面圆的面积S=πr2≥,D正确.12.(2023·南京模拟)某企业于近期推出了一款盲盒,且该款盲盒分为隐藏款和普通款两种,其中隐藏款的成本为50元/件,普通款的成本为10元/件,且企业对这款盲盒的零售定价为a元/件.现有一批有限个盲盒即将上市,其中含有20%的隐藏款.某产品经理现对这批盲盒进行检验,每次只检验一个盲盒,且每次检验相互独立,检验后将盲盒重新包装并放回.若检验到隐藏款,则检验结束;若检验到普通款,则继续检验,且最多检验20次.记X为检验结束时所进行的检验次数,则( )A.P(X=4)=0.1024B.E(X)<5C.若小明从这批盲盒中一次性购买了5件,则他抽到隐藏款的概率为0.5094D.若这款盲盒最终全部售出,为确保企业能获利,则a>18答案 ABD解析 对于A,记检测到隐藏款的概率为p=0.2,则P(X=4)=(1-p)3·p=0.1024,故A正确;对于B,由题意得X的分布列为P(X=i)=且E(X)=1·p+2(1-p)·p+…+19(1-p)18·p+20(1-p)19;记S=1+2(1-p)+…+19(1-p)18,则(1-p)S=(1-p)+2(1-p)2+…+18(1-p)18+19(1-p)19,两式相减得pS=1+(1-p)+(1-p)2+…+(1-p)18-19(1-p)19=-19(1-p)19=-19(1-p)19,所以E(X)=pS+20(1-p)19=-19(1-p)19+20(1-p)19==5[1-(1-p)20]<5,故B正确;对于C,没有抽到隐藏款的概率为(1-0.2)5,抽到隐藏款的概率为1-(1-0.2)5=0.67232
,故C错误;对于D,设总共有n件盲盒,则利润为na-20%×50n-80%×10n>0,解得a>18,则定价a>18才能保证获利,故D正确.三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知sin=,则cos=________.答案 解析 cos=1-2sin2=1-2×=.14.已知P(x,y)是函数y=ex+x图象上的点,则点P到直线2x-y-3=0的最小距离为________.答案 解析 当点P到直线2x-y-3=0的距离最小时,曲线y=ex+x在点P处的切线与直线2x-y-3=0平行,对函数y=ex+x求导得y′=ex+1,令y′=2,可得x=0,则y=e0+0=1,此时,点P的坐标为(0,1),因此,点P到直线2x-y-3=0的最小距离为=.15.在(3+y)(x-y)4的展开式中x2y3的系数为________.答案 6解析 ∵(3+y)(x-y)4=(3+y)·(Cx4-Cx3y+Cx2y2-Cxy3+Cy4),∴展开式中含x2y3的项为y·Cx2y2=Cx2y3=6x2y3,故它的展开式中x2y3的系数为6.16.已知数列{an}的通项公式an=10n-2n,前n项和是Sn,对于∀n∈N*,都有Sn≤Sk,则k=________.答案 5解析 如图,为y=10x和y=2x的图象,设两个交点为A,B,因为a1=10-2=8>0,所以0<xA<1,因为a5=50-32=18>0,a6=60-64=-4<0,所以5<xB<6,结合图象得,当n∈[1,5]时,10n>2n,即an>0,当n∈[6,+∞)时,10n<2n,即an<0,所以当n=5时,Sn取得最大值,即k=5.
四、解答题(本题共6小题,共70分)17.(10分)已知数列{an},Sn是an的前n项和,且满足Sn=2an-1(n∈N*),数列{bn}是等差数列,b2+b6=a4,a5-b4=2b6.(1)求{an},{bn}的通项公式;(2)设数列{Sn}的前n项和为Tn,设cn=(-1)n,求{cn}的前n项和Dn.解 (1)在数列{an}中,满足Sn=2an-1,当n≥2时,Sn-1=2an-1-1,两式相减,可得an=2an-1,即=2,当n=1时,S1=2a1-1,解得a1=1,所以数列{an}是以1为首项,2为公比的等比数列,所以an=2n-1.由{bn}是等差数列,设等差数列{bn}的公差为d,因为b2+b6=a4,a5-b4=2b6,可得解得所以数列{bn}的通项公式为bn=n.(2)由(1)可得Sn=2n-1,则Tn=-n=2n+1-n-2,所以cn=(-1)n=(-1)n=(-1)n,则Dn=--++--+…+(-1)n=-2+(-1)n,即Dn=-2+(-1)n.18.(12分)在①b(1+cosA)=asinB;②bcos =asinB;③asinC=ccos这三个条件中任选一个作为已知条件,补充在下面的问题中,然后解答补充完整的题.△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知________(只需填序号).(1)求A;(2)若a=,b+c=4,求△ABC的面积.注:如果选择多个条件分别解答,则按第一个解答计分.解 (1)选①:由正弦定理得sinB(1+cosA)=sinAsinB,又sinB≠0,∴1+cosA=sinA,即sinA-cosA=1,所以2sin=1,则sin=,又0<A<π,∴A=.
选②:由正弦定理得sinBcos =sinAsinB,又sinB≠0,∴cos =sinA,由π-A=B+C,得sin =2sin cos ,又sin ≠0,∴cos =,又0<A<π,∴A=.选③:由正弦定理得sinAsinC=sinCcos,又sinC≠0,∴sinA=cos=cosA+sinA,∴sinA=cosA,则tanA=,又0<A<π,∴A=.(2)由(1)及余弦定理知,cosA==,又a=,b+c=4,∴=-1=,即=,可得bc=3,∴S△ABC=bcsinA=.19.(12分)第五代移动通信技术(简称5G)是具有高速率、低时延和大连接特点的新一代宽带移动通信技术,它具有更高的速率、更宽的带宽、更高的可靠性、更低的时延等特征,能够满足未来虚拟现实、超高清视频、智能制造、自动驾驶等用户和行业的应用需求.某机构统计了A,B,C,D,E,F共6家公司在5G通信技术上的投入x(千万元)与收益y(千万元)的数据,如下表:投入x(千万元)578101113收益y(千万元)111516222531(1)若x与y之间线性相关,求y关于x的经验回归方程.并估计若投入15千万元,收益大约为多少千万元?(精确到0.01)(2)现6家公司各派出一名代表参加某项宣传活动,该活动在甲,乙两个城市同时进行,6名代表通过抛掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪个城市参加活动,规定:每人只抛掷一次,
掷出正面向上的点数为1,3,5,6的去甲城市,掷出正面向上的点数为2,4的去乙城市.求:①A公司派出的代表去甲城市参加活动的概率;②求6位代表中去甲城市的人数少于去乙城市的人数的概率.(用最简分数作答)参考数据及公式:iyi=1186,==,=-.解 (1)==9,==20,==≈2.52,≈20-2.52×9=-2.68,则=2.52x-2.68,当x=15时,=35.12,所以当投入15千万元时,收益大约为35.12千万元.(2)①设“某位代表去甲城市参加活动”为事件A,则P(A)=,所以A公司派出的代表去甲城市参加活动的概率为,②设“6位代表中去甲城市参加活动的人数少于去乙城市参加活动的人数”为事件B,P(B)=C06+C15+C24=.20.(12分)(2023·永州模拟)在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD是边长为4的菱形,PB=BD=PD=4,PA=4.(1)证明:PC⊥平面ABCD;(2)如图,取BC的中点E,在线段DE上取一点F使得=,求平面PAF与平面PAC
夹角的大小.(1)证明 因为AB=AD=4,BD=4,所以AB2+AD2=BD2,所以AB⊥AD,又因为四边形ABCD为菱形,所以四边形ABCD为正方形,因为AB=4,PB=4,PA=4,所以AB2+PB2=PA2,所以AB⊥PB,因为PB∩BC=B,PB,BC⊂平面BPC,所以AB⊥平面BPC,又因为PC⊂平面BPC,所以AB⊥PC,因为AD=4,PD=4,PA=4,所以AD2+PD2=PA2,所以AD⊥PD,因为PD∩DC=D,PD,DC⊂平面PCD,所以AD⊥平面PCD,又因为PC⊂平面PCD,所以AD⊥PC,因为AD∩AB=A,AD,AB⊂平面ABCD,所以PC⊥平面ABCD.(2)解 由(1)知,CD,CB,CP两两垂直,所以以C为坐标原点,CD,CB,CP所在的直线为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,在△PBC中,PC==4,则A(4,4,0),B(0,4,0),C(0,0,0),D(4,0,0),E(0,2,0),P(0,0,4),所以=(-4,2,0),=(0,-4,0),=(4,4,-4),因为=,则==,=+=,设平面PAF的法向量为m=(x,y,z),则即令y=1,得x=-2,z=-1,得m=(-2,1,-1),又由(1)知,底面ABCD为正方形,所以AC⊥BD,因为PC⊥平面ABCD,所以PC⊥BD,因为AC∩PC=C,AC,PC⊂平面PAC,所以BD⊥平面PAC,所以=(4,-4,0)是平面PAC的一个法向量,设平面PAF与平面PAC的夹角为θ,则cosθ=|cos〈m,〉|===
,所以平面PAF与平面PAC夹角的大小为.21.(12分)已知A′,A分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右顶点,B,F分别是C的上顶点和左焦点.点P在C上,满足PF⊥A′A,AB∥OP,|FA′|=2-.(1)求C的方程;(2)过点F作直线l(与x轴不重合)交C于M,N两点,设直线AM,AN的斜率分别为k1,k2,求证:k1k2为定值.(1)解 因为PF⊥A′A,故可设P(-c,y0),因为AB∥OP,故kAB=kOP,即-=-,解得y0=.又点P在椭圆C上,故+=1,解得a2=2c2=2a2-2b2,故a=b=c.又|FA′|=2-,故|FA′|=a-c=(-1)c=2-,故c=,a=2,b=.故C的方程为+=1.(2)证明 因为椭圆C的方程为+=1,故F(-,0),A(2,0),由题意知,直线l的斜率不为0,故可设l:x=ty-.联立可得(t2+2)y2-2ty-2=0,设M(x1,y1),N(x2,y2),则y1+y2=,y1y2=-.故k1k2=·====
==-,所以k1k2为定值-.22.(12分)(2023·承德模拟)已知函数f(x)=ex-ax2-2.(1)当a=e时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;(2)若f(x)+e-x≥0恒成立,求实数a的取值范围.解 (1)当a=e时,f(x)=ex-ex2-2,所以f′(x)=ex-2ex,故k=f′(1)=-e.又f(1)=-2,所以切点坐标为(1,-2),故函数f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y+2=-e(x-1),即y=-ex+e-2,所以切线与坐标轴的交点坐标分别为(0,e-2),,故所求三角形的面积为×(e-2)×===+-2.(2)由f(x)+e-x≥0,得ex+e-x-ax2-2≥0恒成立,令g(x)=ex+e-x-ax2-2,则g(-x)=g(x),所以g(x)为偶函数.故只要求当x≥0时,g(x)≥0恒成立即可.g′(x)=ex-e-x-2ax,设h(x)=ex-e-x-2ax(x≥0),故h′(x)=ex+e-x-2a(x≥0),设H(x)=ex+e-x-2a(x≥0),则H′(x)=ex-e-x(x≥0),显然H′(x)在[0,+∞)上单调递增,故H′(x)≥H′(0)=0,即H(x)在[0,+∞)上单调递增,H(0)=2-2a.当a≤1时,H(0)=2-2a≥0,则有h(x)在[0,+∞)上单调递增,故h(x)≥h(0)=0,则g(x)在[0,+∞)上单调递增,故g(x)≥g(0)=0,符合题意;当a>1时,H(0)=2-2a<0,又H(ln2a)=>0,故存在x0∈(0,ln2a),使得H(x0)=0,故h(x)在(0,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增.当x∈(0,x0)时,h(x)<h(0)=0,故g(x)在(0,x0)上单调递减,故g(x)<g(0)=0,与g(x)≥0矛盾.综上,实数a的取值范围为(-∞,1].
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