重庆市2023届高三数学下学期开学摸底试题（Word版附解析）

2022-2023学年高三下学期开学摸底考试卷（重庆适用）数学（一）第Ⅰ卷（选择题）一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据集合描述列举出集合元素，再应用集合的补运算求.【详解】由题设，，，所以.故选：C2.复数z在复平面内对应的点的坐标为，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先求得，利用复数乘法运算求得正确答案.【详解】依题意.故选：D3.函数的图象大致是（）A.B. C.D.【答案】C【解析】【分析】分析函数的奇偶性排除两个选项，再利用时，值为正即可判断作答.【详解】函数定义域为R，，即是奇函数，A，B不满足；当时，即，则，而，因此，D不满足，C满足.故选：C4.如图，在直三棱柱中，是直角三角形，且，为棱的中点，点在棱上，且，则异面直线AC与DE所成角的余弦值是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】在棱BC上取点，使，连接，证得四边形是平行四边形，得出是异面直线与所成的角，在中，利用余弦定理即可 求解.【详解】如图所示，在棱BC上取点，使，连接，因为，为棱的中点，点在棱上，且，设，可得，，，，在中，因为，所以，在直角中，，在直角中，，因为D是的中点，所以，所，又因为，所以，所以四边形是平行四边形，所以，所以是异面直线与所成的角，在中，由余弦定理可得，即异面直线AC与DE所成角的余弦值是．故选：B.5.设等差数列的前项和为，满足，则（）A.B.的最小值为C.D.满足的最大自然数的值为 25【答案】C【解析】【分析】利用等差数列等差中项的性质，计算出数列相关参数即可.【详解】由于，，∴上式中等差中项，，即，故A错误；由等差数列的性质可知，，即，故B错误；由以上分析可知C正确，D错误；故选：C.6.从编号分别为1、2、3、4、5、6、7的七个大小完全相同的小球中，随机取出三个小球，则至少有两个小球编号相邻的概率为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先用组合数算出基本事件的总数，再用排异法求出任意两个小球编号都不相邻的事件的个数，进而得出至少有两个小球编号相邻的事件的个数，然后用古典概型的计算公式即可求解.【详解】随机取出三个小球共有种情况，任意两个小球编号都不相邻的基本事件有：共有10种，故所求概率为.故选：A.7.已知函数，则函数的零点个数是（）A.2B.3C.4D.5 【答案】D【解析】【分析】令，根据分别求出函数的零点或零点所在区间，再作出函数的图象，根据数形结合即可求出函数的零点个数；【详解】令．①当时，，则函数在上单调递增，由于，由零点存在定理可知，存在，使得；②当时，，由，解得．作出函数，直线的图象如下图所示：由图象可知，直线与函数图象有两个交点；直线与函数的图象有两个交点；直线与函数的图象有且只有一个交点．综上所述，函数的零点个数为5．故选：D．8.已知两条直线，，有一动圆（圆心和半径都在变动）与都相交，并且被截在圆内的两条线段的长度分别是定值26，24，则动圆圆心的轨迹方程为（） A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用点到直线距离公式与圆内弦长与半径关系即可求解.【详解】设动圆圆心，半径为，则到的距离，到的距离，因为被截在圆内的两条线段的长度分别是定值26，24，，化简后得，相减得，将，代入后化简可得.故选：D.二、多项选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列命题中，正确的命题是（）A.数据1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的分位数是7B.若随机变量，则C.若事件A，B满足，则A与B独立D.若随机变量，，则【答案】CD【解析】【分析】A应用百分数的求法求分位数；B应用二项分布方差公式求即可；C应用全概率公式及已知条件判断是否成立即可；D根据正态分布的对称性求即可. 【详解】A：由，所以分位数是，错误；B：由题设，，错误；C：因为，即，又，即，所以，故A与B独立，正确；D：由题设，关于对称，所以，正确；故选：CD10.已知函数的最小正周期为，将的图象向左平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则下列结论正确的是（）A.B.在单调递增C.的图象关于对称D.在上的最大值是1【答案】AC【解析】【分析】由周期求出，由图象变换求得的解析式并化简，然后由正弦函数的性质判断各选项．【详解】由题意，，所以，，，，A正确；时，，递增，递减，B错；是最大值，C正确； 时，，的最小值是，的最大值是，D错；故选：AC．11.已知抛物线的焦点为F，过原点O的动直线l交抛物线于另一点P，交抛物线的准线于点Q，下列说法正确的是（）A.若O为线段中点，则B.若，则C.存在直线l，使得D.△PFO面积最小值为2【答案】AD【解析】【分析】根据题意求出点的坐标，再根据抛物线的定义求出，即可判断选项；根据抛物线的定义求出点的横坐标，再求出即可判断选项；设，则，判断是否为零，即可判断选项；根据，结合基本不等式即可判断选项.【详解】抛物线的准线为，焦点，若O为中点，所以，所以，故正确；若，则，所以，故错误；设，则，所以，，所以，所以FP与FQ不垂直，故错误；，当且仅当，即时，取等号，所以△PFO面积的最小值为2，故正确.故选. 12.定义：在区间上，若函数是减函数，且是增函数，则称在区间上是“弱减函数”.根据定义可得（）A.在上是“弱减函数”B.在上是“弱减函数”C.若在上是“弱减函数”，则D.若在上是“弱减函数”，则【答案】BCD【解析】【分析】利用“弱减函数”的概念逐项分析即得.【详解】对于A，在上单调递减，不单调，故A错误；对于B，，在上，函数单调递减，，，∴在单调递增，故B正确；对于C，若在单调递减，由，得，∴，在单调递增，故C正确；对于D，在上单调递减， 在上恒成立，令，，令，，∴在上单调递减，，∴，∴在上单调递减，，∴，在上单调递增，在上恒成立，∴，令，，∴在上单调递增，，∴，综上：，故D正确.故选：BCD.第II卷（非选择题）三、填空题:本大题共4小题，每小题5分.13.已知向量，，若，则实数______．【答案】20【解析】 【分析】根据向量垂直列方程，化简求得.【详解】依题意，若，则，解得．故答案为：14.将3封不同的信随机放入2个不同的信箱中，共有种不同的放法，则在的展开式中，含项的系数为______．【答案】70【解析】【分析】先求出，再由二项式定理展开求解【详解】由题意得：在展开式中，，当即时，该项为故答案：7015.《数书九章》三斜求积术：“以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约一，为实，一为从隅，开平方得积”．秦九韶把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜，“术”即方法．以，，，分别表示三角形的面积，大斜，中斜，小斜；分别为对应的大斜，中斜，小斜上的高；则．若在中，，，根据上述公式，可以推出该三角形外接圆的半径为__________．【答案】##【解析】【分析】根据题中所给公式求出三角形的边长，再利用余弦定理求得其中一角，再利用正弦定理求得三角形外接圆的半径即可得解. 【详解】解：由，知，设，则，又，∴，∴，∴∴，又，∴，∴该三角形外接圆的直径，即该三角形外接圆的半径为.故答案为：.16.定义：若A，B，C，D为球面上四点，E，F分别是AB，CD的中点，则把以EF为直径的球称为AB，CD的“伴随球”.已知A，B，C，D是半径为2的球面上四点，，则AB，CD的“伴随球”的直径取值范围为____________；若A，B，C，D不共面，则四面体ABCD体积的最大值为______________.【答案】①.②.4【解析】【分析】设为所在球面的球心，则由题可知E、F均是以O为球心，1为半径的 球面上的点，据此即可求出EF范围；根据(d为点到平面距离，)，求出的最大值即可得体积最大值.【详解】设为所在球面的球心，∴.∵，且分别是的中点，∴，，且，∴，则E、F均是以O为球心，1为半径的球面上的点，若以EF为直径作球，则，即AB，CD的“伴随球”的直径取值范围是(0，2]；∵E是AB中点，∴，d为点到平面距离，，又，为点到距离，，∴，当且仅当，F三点共线，且⊥CD时，等号成立.故答案为：(0，2]；4.【点睛】本题关键是根据已知条件确定E和F的轨迹，数形结合可得EF的范围；根据E是AB中点，则A与B到平面CDE的距离相等，据此将三棱锥A－BCD的体积转化为三棱锥A－CDE体积的2倍，再数形结合即可求得最值.对空间想象能力的要求很高，属于难题.四、解答题:本大题共6个大题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.如图，△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求角B的大小；（2）已知，若D为△ABC外接圆劣弧AC上一点，求AD+DC的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)法一:利用正弦定理和两角和的正弦公式可得，再利用三角形内角的取值范围即可求解；法二:利用余弦定理得出，根据三角形内角的取值范围即可求解；(2)方法一：设，则，利用正弦定理得出，，然后利用辅助角公式和正弦函数的图象和性质即可求解；方法二：利用余弦定理和基本不等式即可求解.【小问1详解】法一:∵，由正弦定理得，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，法二:∵， 由余弦定理得，∴，∴，∵，∴.【小问2详解】由（1）知，，面四边形ABCD内角互补，则，法一:设，则，由正弦定理得，∴，，∴，当且仅当时，的最大值为.法二:在△ADC中，，，由余弦定理得，∴，∴，当且仅当时，的最大值为.18.已知数列满足，．（1）设，证明：是等差数列；（2）设数列的前n项和为，求．【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）通过计算来证得是等差数列.（2）先求得，然后利用裂项求和法求得.【小问1详解】因为，所以数列是以1为公差的等差数列．【小问2详解】因为，所以，由得．故，所以，，，．19.如图1，在平面四边形中，∥，，将沿翻折到的位置，使得平面⊥平面，如图2所示. （1）设平面与平面的交线为，求证：；（2）在线段上是否存在一点（点不与端点重合），使得二面角余弦值为，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）存在，理由见解析.【解析】【分析】（1）找出交线，利用面面垂直，线面垂直的性质即可证明；（2）利用已知条件建立空间直角坐标系，利用法向量进行分析求解.【小问1详解】证明:延长相交于点，连接，则为平面与平面的交线，由平面⊥平面，，平面，且平面平面，所以平面，又由∥，所以平面，因为平面，所以，所以，【小问2详解】由（1）知：，以为坐标原点，以所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示， 可得，则，设（其中），则，所以，设平面QBD的法向量为，则，令，可得，所以，又由平面，所以平面的一个法向量为则，解得，所以存在点为的中点时，使得二面角的余弦值为.20.某企业从生产的一批零件中抽取100件产品作为样本，检测其质量指标值m（其中：），得到频率分布直方图，并依据质量指标值划分等级如表所示： 质量指标值m150≤m<350100≤m<150或350≤m≤400等级A级B级（1）根据频率分布直方图估计产品的质量指标值的分位数；（2）从样本的B级零件中随机抽3件，记其中质量指标值在[350，400]的零件的件数为，求的分布列和数学期望；（3）该企业为节省检测成本，采用混装的方式将所有的零件按500个一箱包装，已知一个A级零件的利润是10元，一个B级零件的利润是5元，以样本分布的频率作为总体分布的概率，试估计每箱零件的利润.【答案】（1）287.5（2）分布列为：0123数学期望为（3）每箱零件的利润是4750元【解析】【分析】（1）先确定分位数所在的区间，再设出分位数，列出方程，求出答案；（2）先求出的B级零件个数和质量指标值在[350，400]的零件个数，求出 可能取值，并求出相对应的概率，求出分布列和期望值；（3）设出每箱零件中A级零件有个，每箱零件的利润为元，得到Y与X的函数关系，先得到，进而估计出每箱零件的利润.【小问1详解】前三组的频率和为（0.001+0.002+0.003）×50=0.3<0.6前四组的频率和为0.3+0.008×50=0.7>0.6设分位数为，，解得287.5∴产品的质量指标值的分位数为287.5【小问2详解】，所以样本的B级零件个数为10个，质量指标值在[350，400]的零件为5个，故可能取的值为0，1，2，3，相应的概率为：，，，随机变量的分布列为0123所以期望.【小问3详解】设每箱零件中A级零件有个，每箱零件的利润为元，则级零件有个，由题意知：，由（2）知：每箱零件中B级零件的概率为 ，A级零件的概率为1-0.1=0.9所以，所以，所以(元).所以每箱零件的利润是4750元21.已知抛物线的焦点为F，点在E上．（1）求；（2）O为坐标原点，E上两点A、B处的切线交于点P，P在直线上，PA、PB分别交x轴于M、N两点，记和的面积分别为和．试探究：是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，说明理由．【答案】（1）（2）是，为定值2【解析】【分析】（1）根据抛物线上的点求出p,再根据抛物线定义求；（2）设A、B的坐标分别为、，利用导数求出斜率，得到切线方程，得出M,N坐标，表示出三角形面积即可求解.【小问1详解】因为点在E上，于是，解得，所以．【小问2详解】抛物线方程，故，所以．设A、B的坐标分别为、， 则PA的方程为：即，同理PB的方程为：，联立PA，PB方程得所以P、M、N的坐标分别为：，，，则，，设AB的直线方程为，联立消去y得：，由韦达定理可知：，所以，故直线AB过定点，所以，，因此，，故为定值2．22.已知函数，．（1）讨论的单调性；（2）当，时，，证明：．【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求得，对进行分类讨论，由此求得的单调区间.（2）化简不等式，构造函数，利用导数研究的最值，由此分离常数，由的不等关系式构造函数，解得导数证得不等式成立.【小问1详解】 的定义域为R，．①当时，当或时，，单调递增；当时，，单调递减．②当时，当或时，，单调递减；当时，，单调递增．【小问2详解】由，得，因为，所以，令，则，设，则，所以在单调递增，又因为，，（由（1）知当时，，所以当时，，即．）所以，存在，使得，即．所以，当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以，所以．所以． 设，则，当时，，单调递增；当时，，单调递减．所以，所以．【点睛】利用导数研究函数的单调性，当导函数含有参数时，要注意对参数进行分类讨论，分类标准的制定可以考虑二次函数的开口方向、零点分布等知识.