2024届新高三数学开学摸底试卷三（新高考专用）（Word版附解析）

2024届新高三开学摸底试卷三（新高考专用）数学(时间：120分钟　满分：150分)注意事项：1.答卷前，考试务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2023·保定模拟)设集合A＝{x|x2－2x－8<0}，B＝{2,3,4,5}，则A∩B等于(　　)A．{2}B．{2,3}C．{3,4}D．{2,3,4}答案　B解析　由x2－2x－8<0，解得－2<x<4，故A＝{x|－2<x<4}，又B＝{2,3,4,5}，故A∩B＝{2,3}．2．已知复数z满足(z－2)i＝1＋i，则复数z的模为(　　)A.B.C.D．2答案　C解析　(z－2)i＝1＋i，则z＝＋2＝1－i＋2＝3－i，所以|z|＝＝.3．已知a，b为任意实数，则“|a|≥|b|”是“lga≥lgb”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案　B解析　若lga≥lgb，则a≥b>0，显然|a|≥|b|，反之不一定成立，如a＝－3，b＝－2时，满足|a|≥|b|，但是lga与lgb无意义，所以“|a|≥|b|”是“lga≥lgb”的必要不充分条件．4．已知|a|＝1，|b|＝，a＋b＝(，1)，则a＋b与a－b的夹角为(　　)A.B.C.D.答案　B 解析　由a＋b＝(，1)可得|a＋b|＝＝2，则|a＋b|2＝4，所以a2＋2a·b＋b2＝4，即得1＋2a·b＋3＝4，故a·b＝0，则|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝4，所以|a－b|＝2，故cos〈a＋b，a－b〉＝＝＝＝－，由于〈a＋b，a－b〉∈[0，π]，故〈a＋b，a－b〉＝.5．函数f(x)＝x－sinx的图象可能是(　　)答案　A解析　因为f(－x)＝－x＋sinx＝－＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，故排除BD；当x＝－时，f(x)＝×－sin＝－＋>0，故排除C.6．(2023·济宁模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线与直线2x－y＋1＝0垂直，则该双曲线C的离心率为(　　)A.B.C．2D.答案　A解析　由题意知，双曲线的渐近线方程为y＝±x，斜率k1＝或－，直线2x－y＋1＝0的斜率k2＝2，因为两直线垂直，所以k1·k2＝－1，即2×＝－1(∵a>0，b>0，显然不符合题意)，或2×＝－1，则a＝2b，又c2＝a2＋b2＝a2，所以e2＝＝，e＝.7.(2023·大同模拟)如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为棱AB的中点，动点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，总有AP⊥D1M，则动点P的轨迹的长度为(　　) A.B.C.D.答案　A解析　如图，分别取BC，BB1的中点E，F，连接AE，AF，EF，A1M，DM，A1F，因为M为AB的中点，E为BC的中点，四边形ABCD为正方形，所以DM⊥AE，又D1D⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，所以D1D⊥AE，而DM∩D1D＝D，DM，D1D⊂平面D1DM，所以AE⊥平面D1DM，又因为D1M⊂平面D1DM，所以D1M⊥AE，同理可得D1M⊥AF，又AE∩AF＝A，AE，AF⊂平面AEF，所以D1M⊥平面AEF，因为AP⊂平面AEF，所以AP⊥D1M，因为动点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，所以动点P的轨迹是线段EF，而EF＝，所以动点P的轨迹的长度为.8．在一个正三角形的三边上，分别取一个距顶点最近的十等分点，连接形成的三角形也为正三角形(如图1所示，图中共有2个正三角形)．然后在较小的正三角形中，以同样的方式形成一个更小的正三角形，如此重复多次，可得到如图2所示的优美图形(图中共有11个正三角形)，这个过程称之为迭代．在边长为243的正三角形三边上，分别取一个三等分点，连接形成一个较小的正三角形，然后迭代得到如图3所示的图形(图中共有10个正三角形)，其中最小的正三角形面积为(　　)图1　　　　　图2　　　　　图3A.B．1 C.D.答案　A解析　设第n个正三角形的边长为an，则第n＋1个正三角形的边长为an＋1，由条件可知，a1＝243，又由图形可知，a＝2＋2－2×an×an×cos60°，所以a＝a，an>0，所以＝，所以{an}是首项为243，公比为的等比数列，所以an＝243×n－1，所以an＝n－11，所以a10＝，所以最小的正三角形的面积为×××＝.二、选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)9．某学校组织了一次劳动技能大赛，共有100名学生参赛，经过评判，这100名参赛者的得分都在[40,90]内，得分60分以下为不及格，其得分的频率分布直方图如图所示(按得分分成[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90]这五组)，则下列结论正确的是(　　)A．频率分布直方图中a＝0.005B．此次比赛得分及格的共有55人C．以频率为概率，从这100名参赛者中随机选取1人，其得分在[50,80)的概率为0.75D．这100名参赛者得分的第80百分位数为75分答案　AD解析　由图可知，10a＋0.035×10＋0.030×10＋0.020×10＋0.010×10＝1，解得a＝0.005，故A正确；比赛得分及格的人数为(0.030＋0.020＋0.010)×10×100＝60，故B错误；成绩在[50,80)内的频率为(0.035＋0.030＋0.020)×10＝0.85，即概率为0.85，故C错误；设第80百分位数为(70＋x)分，则有×10＝0.8，解得x＝ 5，所以第80百分位数为75分，故D正确．10．下列说法正确的是(　　)A．通过经验回归直线＝x＋及回归系数，可以精确反映变量的取值和变化趋势B．已知随机变量X～N(0，σ2)，若P(|X|<2)＝a，则P(X>2)＝C．若样本数据x1，x2，x3，…，x10的方差为2，则数据2x1－1,2x2－1,2x3－1，…，2x10－1的方差为8D．若n的展开式中各项的二项式系数和为32，则展开式中x2项的系数为－80答案　BC解析　对于A，通过经验回归直线＝x＋及回归系数，可估计和预测变量的取值和变化趋势，故A错误；对于B，因为随机变量X～N(0，σ2)，P(|X|<2)＝P(－2<X<2)＝a，则P(X>2)＝，故B正确；对于C，样本数据x1，x2，x3，…，x10的方差为2，则数据2x1－1,2x2－1,2x3－1，…，2x10－1的方差为22×2＝8，故C正确；对于D，由题知2n＝32，得n＝5，故二项式为5，展开式的通项为Tk＋1＝C·(2x)5－kk＝(－1)k·25－k·C·，显然当k＝2时，可得x2项的系数为(－1)2·23·C＝80，故D错误．11．(2023·济南模拟)已知a＝(cosx，sinx)，b＝(cosx，cosx)，函数f(x)＝a·b，则下列选项正确的是(　　)A．函数f(x)的值域为B．将函数y＝sinx＋图象上各点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)，再将所得图象向左平移个单位长度，可得函数f(x)的图象C．函数f(x)是奇函数D．函数f(x)在区间[0,2π]内所有零点之和为答案　ABD解析　f(x)＝a·b＝cos2x＋sinxcosx＝＋sin2x＝sin＋， 对于A，因为sin∈[－1,1]，所以f(x)∈，故A正确；对于B，将函数y＝sinx＋图象上各点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)，得y＝sin2x＋，再将所得图象向左平移个单位长度，得y＝sin2＋＝sin＋＝f(x)，故B正确；对于C，因为f ＝0，f ＝，所以函数f(x)不是奇函数，故C错误；对于D，令f(x)＝0，则sin＝－，则2x＋＝－＋2kπ或2x＋＝＋2kπ，k∈Z，所以x＝－＋kπ或x＝＋kπ，k∈Z，因为x∈[0,2π]，所以x＝或或或，所以函数f(x)在区间[0,2π]内所有零点之和为＋＋＋＝，故D正确．12．已知F为抛物线y2＝4x的焦点，点P在抛物线上，过点F的直线l与抛物线交于B，C两点，O为坐标原点，抛物线的准线与x轴的交点为M.则下列说法正确的是(　　)A．∠OMB的最大值为B．若点A(4,2)，则|PA|＋|PF|的最小值为6C．无论过点F的直线l在什么位置，总有∠OMB＝∠OMCD．若点C在抛物线准线上的射影为D，则B，O，D三点共线答案　ACD解析　对于选项A，设直线MB：x＝－1＋my，联立得y2－4my＋4＝0， 当且仅当MB与抛物线相切时，∠OMB取得最大值．由Δ＝16m2－16＝0，得m＝±1.直线MB的斜率为±1，此时∠OMB取得最大值，故A正确；对于选项B，A(4,2)，则A在准线x＝－1上的射影为A′(－1,2)，设P到准线x＝－1的距离为d，则|PA|＋|PF|＝|PA|＋d≥|A′A|＝5，当且仅当A′，P，A三点共线时等号成立，故B不正确；对于选项C，由题意知，M(－1,0)，且l的斜率不为0，则设l方程为x＝my＋1(m≠0)，B(x1，y1)，C(x2，y2)，联立直线l与抛物线的方程整理得y2－4my－4＝0，Δ＝16(m2＋1)>0，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，所以x1＋x2＝4m2＋2，x1x2＝(my1＋1)(my2＋1)＝－4m2＋4m2＋1＝1.则kMB＋kMC＝＋＝＝＝＝0.故直线MB，MC的倾斜角互补，所以∠OMB＝∠OMC，故C正确；对于选项D，由题意知D(－1，y2)，由选项C知，y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，则kOB＝＝＝，kOD＝－y2，由kOB－kOD＝＋y2＝＝0，知kOB＝kOD，即B，O，D三点在同一条直线上，故D正确．三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．若sinα＋2cosα＝0，则tan＝________.答案　3解析　因为sinα＋2cosα＝0，所以sinα＝－2cosα，tanα＝－2，故tan＝＝＝3.14．写出一个同时满足下列两个条件的非常数函数________________．①当x1x2≥0时，f(x1＋x2)＝f(x1)f(x2)；②f(x)为偶函数．答案　f(x)＝a|x|(a>0，a≠1)(答案不唯一) 解析　若满足①对任意的x1x2≥0，有f(x1＋x2)＝f(x1)f(x2)成立，则对应的函数为指数函数y＝ax的形式；若满足②f(x)为偶函数，只需要将x加绝对值即可，所以同时满足①②两个条件的函数可以是f(x)＝a|x|(a>0，a≠1)．15．已知母线长为6的圆锥的顶点为S，点A，B为圆锥的底面圆周上两动点，当SA与SB所夹的角最大时，锐角△SAB的面积为8，则此时圆锥的体积为________．答案　解析　设底面圆的半径为r，当SA与SB所夹的角最大时，AB为底面圆的直径，此时S△SAB＝×6×6×sin∠ASB＝8，解得sin∠ASB＝，∵△SAB为锐角三角形，∴cos∠ASB＝＝，则(2r)2＝|AB|2＝62＋62－2×6×6×＝16，解得r＝2，则圆锥的体积为×π×22×＝.16．(2023·益阳模拟)已知函数f(x)＝，g(x)＝，当x1，x2∈(0，＋∞)时，≤恒成立，则正数k的取值范围是____________．答案　解析　f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝，令h(x)＝1－x－2lnx(x>0)，h′(x)＝－1－<0，所以h(x)在(0，＋∞)上单调递减，h(1)＝0，所以在区间(0,1)上，f′(x)>0，f(x)单调递增；在区间(1，＋∞)上，f′(x)<0，f(x)单调递减，所以f(x)≤f(1)＝1.g′(x)＝·ex，所以在区间(0,1)上，g′(x)<0，g(x)单调递减；在区间(1，＋∞)上，g′(x)>0，g(x)单调递增，所以g(x)≥g(1)＝e.当x>0时，g(x)＝>0， 又k>0，所以≤⇒≤，即≥max，由于g(x2)>0，故f(x1)>0，所以max＝＝.所以≥，又k>0，则ke≥k＋1，故k≥，所以k的取值范围是.四、解答题(本题共6小题，共70分)17．(10分)(2023·重庆模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin2B＝sinB.(1)求B；(2)若a＝8，cosA＝，求BC边上的中线AD的长．解　(1)由题意可得2sinBcosB＝sinB，因为0<B<π，所以sinB≠0，则cosB＝，因为0<B<π，所以B＝.(2)因为cosA＝，所以sinA＝.因为A＋B＋C＝π，所以sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝×＋×＝，在△ABC中，由正弦定理可得＝，则c＝＝＝7，在△ABD中，由余弦定理可得AD2＝AB2＋BD2－2AB·BDcosB＝98＋16－2×7×4×＝58，则AD＝.18．(12分)已知数列{an}的前n项和为Sn，满足＝an＋1(n∈N*)．(1)求证：数列{an}为等差数列； (2)若a2＝3，令bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，若不等式15(T2n＋1－Tn)≤m2－7m对任意n∈N*恒成立，求实数m的取值范围．(1)证明　当n≥2时，由2Sn＝nan＋n,2Sn－1＝(n－1)an－1＋(n－1)，得2an＝nan－(n－1)an－1＋1，即(n－2)an－(n－1)an－1＋1＝0，①所以当n≥3时，(n－3)an－1－(n－2)an－2＋1＝0，②①－②得，当n≥3时，2an－1＝an＋an－2，即有an－an－1＝an－1－an－2.所以{an}是等差数列．(2)解　由于a1＝1，a2＝3，所以an＝2n－1，bn＝，所以Tn＝1＋＋＋＋…＋，T2n＋1＝1＋＋＋＋…＋＋…＋，令Mn＝T2n＋1－Tn，则Mn＝＋＋…＋，Mn＋1＝＋＋…＋，所以Mn＋1－Mn＝－＝<0，所以{Mn}是递减数列，15(T2n＋1－Tn)≤15M1＝15×＝8，由题意，得m2－7m≥8，解得m≥8或m≤－1.19．(12分)某生产企业的甲、乙两个厂区共生产产品4a件，其中共有不合格产品a件，如图为全部产品中甲、乙两厂区生产产品数的分布图(图1)，以及不合格产品中甲、乙两厂区生产产品数的分布图(图2)．(1)求甲、乙厂区各自生产产品的不合格率；(2)用不合格率估计抽到不合格产品的概率．①用比例分配的分层随机抽样方法在两厂区生产的产品中抽取容量为4的样本，记X为样本中不合格品的件数，求X的分布列；②用简单随机抽样的方法在两厂区生产的产品中抽取容量为4的样本，记Y 为样本中不合格品的件数．比较E(X)，E(Y)的大小，并说说你对这一大小关系实际含义的理解．解　(1)由题意知，甲厂区生产3a件产品，乙厂区生产a件产品，甲、乙两厂各生产不合格产品件，则甲厂区生产产品的不合格率P1＝＝，乙厂区生产产品的不合格率P2＝＝.(2)①由题意知，样本中有3件产品来自甲厂区，1件产品来自乙厂区，X的所有可能取值为0,1,2,3,4.P(X＝0)＝3×＝，P(X＝1)＝C××2×＋3×＝，P(X＝2)＝C×2××＋C××2×＝，P(X＝3)＝3×＋C×2××＝，P(X＝4)＝3×＝，则X的分布列为X01234P②全部产品的不合格率为p＝＝，由简单随机抽样方法知Y～B，∴E(Y)＝4×＝1.由①知E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝1，∴E(X)＝E(Y)．说明当抽样方法不同，但都是等可能抽样且样本容量相同时，样本中不合格品的件数的均值也相同．20．(12分)如图，P为圆锥的顶点，O为圆锥底面的圆心，圆锥的底面直径AB＝4，母线PH＝2，M是PB的中点，四边形OBCH为正方形．(1)设平面POH∩平面PBC＝l，证明：l∥BC；(2)设D为OH的中点，N是线段CD上的一个点，当MN与平面PAB所成的角最大时，求MN 的长．(1)证明　∵四边形OBCH为正方形，∴BC∥OH，∵BC⊄平面POH，OH⊂平面POH，∴BC∥平面POH.∵BC⊂平面PBC，平面POH∩平面PBC＝l，∴l∥BC.(2)解　∵圆锥的母线长为2，AB＝4，∴OB＝2，OP＝2，以O为原点，OH，OB，OP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0,0,2)，B(0,2,0)，D(1,0,0)，C(2,2,0)，M(0,1,1)，设＝λ＝(λ，2λ，0)(0≤λ≤1)，＝＋＝(1＋λ，2λ，0)，＝－＝(1＋λ，2λ－1，－1)，＝(1,0,0)为平面PAB的一个法向量，设MN与平面PAB所成的角为θ，则sinθ＝＝，令1＋λ＝t∈[1,2]，则sinθ＝＝，∴当＝，即λ＝时，sinθ最大，θ也最大，此时＝，∴MN＝||＝＝.21．(12分)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，动点G到F1(－，0)，F2(，0)两点的距离之和为4.(1)试判断动点G的轨迹是什么曲线，并求其轨迹方程C；(2)已知直线l：y＝k(x－)与圆F：(x－)2＋y2＝交于M，N两点，与曲线C交于P，Q两点，其中M，P在第一象限．d为原点O到直线l的距离，是否存在实数k，使得T＝(|NQ|－|MP|)·d2取得最大值，若存在，求出k；若不存在，请说明理由．解　(1)由题意知，|GF1|＋|GF2|＝4，又F1(，0)，F2(，0)，4>2，所以动点G的轨迹是焦点在x轴上的椭圆． 由椭圆的定义可知，c＝，a＝2，又因为a2－b2＝c2，所以b2＝1，故动点G的轨迹方程为＋y2＝1.(2)由题设可知，圆心F即为椭圆右焦点F2，且M，N一个在椭圆外，一个在椭圆内，P，Q一个在⊙F2内，一个在⊙F2外，在直线l上的四点满足：|NQ|－|MP|＝(|NQ|＋|NP|)－(|MP|＋|NP|)＝|PQ|－|MN|＝|PQ|－1，由消去y得(1＋4k2)x2－8k2x＋12k2－4＝0，Δ>0恒成立．设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由根与系数的关系，得x1＋x2＝，x1x2＝，|PQ|＝＝.所以|NQ|－|MP|＝|PQ|－1＝，原点O到直线l的距离d＝，T＝(|NQ|－|MP|)·d2＝＝＝≤＝1，当且仅当4k2＝，即k＝±时等号成立．验证可知k＝±满足题意．22．(12分)已知f(x)＝(x3－ax＋1)lnx.(1)若函数f(x)有三个不同的零点，求实数a的取值范围；(2)在(1)的前提下，设三个零点分别为x1，x2，x3且x1<x2<x3，当x1＋x3>2时，求实数a的取值范围．解　(1)当x＝1时，f(x)＝0.令g(x)＝x3－ax＋1.当x≠1时，f(x)的零点与函数g(x)(x>0)的零点相同．当a≤0时，g(x)>0(x>0)，所以f(x)只有一个零点，不符合题意．因此a>0.又因为函数f(x)有三个不同的零点，所以g(x)(x>0)有两个均不等于1的不同零点．令g′(x)＝3x2－a＝0，解得x＝(舍去负值)．所以当x∈时，g′(x)<0，g(x)单调递减；当x∈时，g′(x)>0，g(x) 单调递增．因为g(0)＝1>0，g()＝1>0，所以当g<0，即a>时，g(x)(x>0)有两个不同的零点．又因为当g(1)＝0时，a＝2>，所以若函数f(x)有三个不同的零点，则实数a的取值范围是∪(2，＋∞)．(2)因为x1<x2<x3，x1＋x3>2，所以1<x3.所以g(1)＝2－a<0，即a>2，所以x1<1.所以x1，x3是g(x)＝0的两个根．又因为g(－2a)＝－8a3＋2a2＋1<－8a3＋4a2＝4a2(1－2a)<0，g(0)＝1>0，所以g(x)＝0有一个小于0的根，不妨设为x0.根据g(x)＝0有三个根x0，x1，x3，可知g(x)＝x3－ax＋1＝(x－x0)(x－x1)(x－x3)，所以x0＋x1＋x3＝0，即x1＋x3＝－x0.因为x1＋x3>2，所以x0<－2.所以g(－2)＝－8＋2a＋1>0，即a>.显然>2，所以a的取值范围是.