天津市河东区2022-2023学年高二数学下学期期中试题（Word版附解析）

河东区2022~2023学年度第二学期期中质量检测高二数学试卷一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.一个三层书架，分别放置语文类读物12本，政治类读物14本，英语类读物11本，每本图书各不相同，从中取出1本，则不同的取法共有（）A.3种B.6种C.37种D.1848种【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，利用分类加法计数原理计算作答.【详解】求不同的取法种数有3类办法，取1本语文类读物有12种方法，取1本政治类读物有14种方法，取1本英语类读物有11种方法，由分类加法计数原理得：不同的取法共有种.故选：C2.展开式中第3项的系数是（）A.90B.-90C.-270D.270【答案】A【解析】【分析】利用二项式定理求出通项公式，进而求出第3项.【详解】展开式的第3项为，故第3项系数为90，故选：A3.设函数的图象在点处的切线方程为，则（）A.1B.2C.3D.4【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，利用导数的定义及导数的几何意义计算作答.【详解】因为函数的图象在点处的切线方程为，则，所以.故选：D 4.某市场供应电子产品中，甲厂产品的合格率是90%，乙厂产品的合格率是80%.若从该市场供应的电子产品中任意购买甲、乙厂各一件电子产品，则这两件产品都不是合格品的概率为（）A.2%B.30%C.72%D.26%【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，利用相互独立事件、对立事件的概率公式计算作答.【详解】依题意，甲厂产品的不合格率是10%，乙厂产品的不合格率是20%，任意购买甲、乙厂各一件电子产品，这两件产品都不是合格品的概率为.故选：A5.已知函数，那么的值为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】直接求导，代入计算即可.【详解】，故.故选：D.6.已知随机变量的分布列如下：12若，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据期望公式及概率和1列方程求解.【详解】由已知得 解得故选：B.7.已知函数的图象在点处的切线斜率为，且函数在处取得极值，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】计算，然后根据，可得，最后可得结果.【详解】由题可知：，则解得，.经检验，当，时，在处取得极大值，所以.故选：C【点睛】本题主要考查曲线在某点处的导数的几何意义，重在于计算以及理解，属基础题.8.甲、乙、丙、丁、戊5名党员参加“党史知识竞赛”，决出第一名到第五名的名次（无并列名次），已知甲排第三，乙不是第一，丙不是第五．据此推测5人的名次排列情况共有（）种A.5B.8C.14D.21【答案】C【解析】【分析】按乙排第五和不是第五分类讨论．【详解】乙排在第五的情况有：，乙不在第五的方法有，共有，故选：C．【点睛】关键点点睛：本题考查排列组合的综合应用，解题关键是确定完成事件的方法：是先分类还是先分步：分类后每一类再分步．然后结合计数原理求解．9.已知，满足，则（） A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先根据题意以及对数函数性质可以判断出，然后构造函数，求导后判断函数的单调性即可得答案.【详解】解：又若，则不满足条件，若、时，，不满足条件当、时，成立；又因为函数的图像恒在上方，设，，所以构造函数，，令，（），且在定义域内单调递增，故因此可知，所以在范围内单调递增，故选：D二.填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.10.已知随机变量，则______.【答案】【解析】【分析】根据给定条件，利用二项分布的方差公式计算作答.【详解】因为随机变量，所以. 故答案为：11.若二项式的展开式中的系数是10，则实数______.【答案】1【解析】【分析】求出二项式展开式的通项公式，再利用给定系数列式计算作答.【详解】二项式展开式的通项公式，由解得，因此展开式中的系数是，即，解得，所以实数.故答案为：112.已知定义在区间的函数，则的单调递增区间为______.【答案】【解析】【分析】直接求导得，令，定义域内解出不等式即可.【详解】，令，即，即，，显然，即有，因此，则，故单调递增区间为.故答案为：.13.口袋中装有大小形状相同的红球3个，白球3个，小明从中不放回的逐一取球，已知在第一次取得红球的条件下，第二次取得白球的概率为______.【答案】##0.6【解析】 【分析】根据给定条件，利用缩小空间的方法求出概率作答.【详解】不放回的逐一取球，在第一次取得红球的条件下，袋中还有2红3白的5个球，从中任取1球，有5个基本事件，取到白球的事件含有3个基本事件，概率为，所以在第一次取得红球的条件下，第二次取得白球的概率为.故答案为：14.从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成___________个没有重复数字的四位数.(用数字作答)【答案】1260.【解析】【详解】分析:按是否取零分类讨论，若取零，则先排首位，最后根据分类与分步计数原理计数.详解：若不取零，则排列数为若取零，则排列数为因此一共有个没有重复数字的四位数.点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法：(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法.15.已知函数，若对任意的，且，都有，则实数的取值范围是_______.【答案】【解析】【分析】化简不等式，得出函数的单调性，利用导数转化为不等式恒成立，进而分离参数求解对应函数的最值，即可得到参数的取值范围.详解】由，得，由函数单调性的定义可得函数在上单调递增，故在上恒成立，即在上恒成立，记，则，当 时，，函数单调递减，且；当时，，函数单调递增，所以函数在上的最小值为，故答案为：【点睛】本题考查利用导数判断函数的单调性、最值，分离参数法求参数的取值范围；考查学生的逻辑推理能力、转化与化归能力及运算求解能力；将进行转化，从而求得函数的单调性，通过构造函数法和分离参数法求参数的取值范围是求解本题的关键；属于综合型、难度大型试题.三.解答题：本大题共5小题，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16.（1）从4男3女共7名志愿者中，选出3人参加社区义务劳动.若要求选中的3人性别不能都相同，求共有多少种不同的选择方法？（2）将五个不同的元素，，，，排成一排.若不排在首位，不排在末位，求共有多少种排法？【答案】（1）30；（2）78.【解析】【分析】（1）求出从7名志愿者中任选3人的方法数，去掉性别相同的选法数作答.（2）根据给定条件，求出5个元素的全排列，去掉在首位或者在末位的排列数作答.【详解】（1）依题意，从7名志愿者中任选3人的方法种数是，3人性别相同的方法种是，所以不同的选择方法种数是.（2）元素，，，，排成一排的排法种数是，其中元素排在首位的方法种数是，元素排在末位的方法种数是，而元素排在首位且元素排在末位的方法种数是，所以符合要求的排法种数是17.已知二项式展开式中，前三项的二项式系数和是56．求：（1）求的值；（2）展开式中的常数项．【答案】（1）；（2）.【解析】 【分析】（1）解方程即可求得的值；（2）先求出二项式展开式的通项，令的指数位置为即可求得的值，进而可得常数项.【详解】（1）因为前三项的二项式系数和是56，所以，即，整理可得：，解得：，（2）展开式的通项为，令可得：，所以展开式中常数项为.18.已知函数的导函数为，且满足，求曲线在点处的切线方程.【答案】.【解析】【分析】利用导数运算法则求出，进而求出，再利用导数的几何意义求出切线方程作答.【详解】由求导得：，当时，，解得，因此，，所以曲线在点处的切线方程是，即.19.若函数（e为自然对数的底数，）在区间上单调递减，求实数的取值范围.【答案】.【解析】【分析】求出函数的导数，利用给定单调性建立恒成立的不等式，分离参数构造函数，求出最小值作答.【详解】函数，求导得：，依题意，，恒有成立， 令函数，，，当时，，当时，，即函数在上单调递减，在上单调递增，当时，，因此，而当时，当且仅当时，，此时函数在上单调递减，所以实数的取值范围.20.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）当时，记在区间最大值为，最小值为，求的取值范围.【答案】(1)见详解；(2).【解析】【分析】(1)先求的导数，再根据的范围分情况讨论函数单调性；(2)讨论的范围，利用函数单调性进行最大值和最小值的判断，最终求得的取值范围.【详解】(1)对求导得.所以有当时，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增；当时，区间上单调递增；当时，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增.(2)若，在区间单调递减，在区间单调递增，所以区间上最小值为.而，故所以区间上最大值为.所以，设函数 ，求导当时从而单调递减.而，所以.即的取值范围是.若，在区间单调递减，在区间单调递增，所以区间上最小值为而，故所以区间上最大值为.所以，而，所以.即的取值范围是.综上得的取值范围是.【点睛】(1)这是一道常规的函数导数不等式和综合题，题目难度比往年降低了不少.考查的函数单调性，最大值最小值这种基本概念的计算.思考量不大，由计算量补充.