天津市河西区2022-2023学年高一数学下学期4月期中试题（Word版附解析）

高一年级数学（一）第Ⅰ卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在四边形ABCD中，若，则四边形ABCD是（）A.平行四边形B.菱形C.矩形D.正方形【答案】A【解析】【分析】根据平面向量加法的平行四边形法则判断即可.【详解】由平面向量加法的平行四边形法则可知，四边形为平行四边形.故选：A2.复数的共轭复数是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据复数的除法运算化简，根据共轭复数的概念可得答案.【详解】,故的共轭复数为，故选：B3.如图四个几何体中是棱锥的选项是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】 【分析】利用棱锥的定义判断选项即可．【详解】因为有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点三角形，由这些面围成的几何体叫做棱锥．所以中几何体为棱锥，故选：．4.下列说法错误的是（）A.向量与的长度相等B.两个相等向量若起点相同，则终点相同C.共线的单位向量都相等D.只有零向量的模等于0【答案】C【解析】【分析】根据相反向量、相等向量、单位向量和零向量的定义判断各个选项．【详解】对于A，向量与互为相反向量，其长度相等，故A正确；对于B，因为相等向量的方向相同，长度相等，则两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同，故B正确；对于C，共线的单位向量可以是相反向量，故C错误；对于D，因为模长为0的向量为零向量，所以只有零向量的模长等于0，故D正确．故选：C．5.圆柱的底面半径为1，高为1，则圆柱的表面积为（　　）A.πB.3πC.2πD.4π【答案】D【解析】【分析】根据圆柱表面积计算公式直接求解即可.【详解】解:因为圆柱的底面半径为1,高为1,所以圆柱的表面积.故选:D.【点睛】本题考查了圆柱表面积的求法,属基础题.6.在下列各组向量中，可以作为基底的是（）A.，B.，C.，D.，【答案】B 【解析】【分析】根据平行向量坐标表示逐一判断即可.【详解】A：因为，所以共线，不能作为基底，A错误；B：因为，所以不共线，可以作为基底，B正确；C：因为，所以共线，不能作为基底，C错误；D：因为，所以共线，不能作为基底，D错误.故选：B7.在△ABC中，设三边AB，BC，CA的中点分别为E，F，D，则＝A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据向量加法的平行四边形法则即可求出所以．【详解】如图，∴；故选A．【点睛】本题考查向量加法的平行四边形法则及中线向量，以及向量的加法运算．8.根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是（）A.，，，有两解B.，，，有一解C.，，，有一解D.，，，无解【答案】C 【解析】【分析】利用正弦定理和余弦定理依次判断A，B，C，D即可.【详解】A中，因为，所以，又，所以，即只有一解，故A错误；B中，因，所以，且，所以，故有两解，故B错误；C中，因，所以，又，所以角B只有一解，故C正确；D中，因为,,，所以，有解，故D正确.故选：C.9.已知A，B，P是直线l上不同的三点，点O在直线l外，若，则（）A.2B.C.3D.【答案】A【解析】【分析】根据已知等式，结合向量减法法则化简，而三点共线，可得，解得的值，设，可得，所以，从而求出的值．【详解】，，整理得，，当时，显然不成立，故，所以，，，是直线上不同的三点，，解得，，设，， ，，解得，即．故选：A．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，多空题只答对一空得3分，共30分．10.已知i是虚数单位，化简的结果为______．【答案】【解析】【分析】根据复数除法运算直接化简可得.【详解】故答案为：11.已知两个球的表面积之比为，则这两个球的体积之比为______．【答案】【解析】【分析】根据球体表面积与体积公式，确定比例关系，【详解】设两球的半径分别为，，∵球体表面积公式，，∴，∵球体体积公式，∴.故答案为：12.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则b＝______． 【答案】【解析】【分析】利用余弦定理求解.【详解】在中，，，，由余弦定理可得，则.故答案为：13.若是夹角为的两个单位向量，则与的夹角大小为________.【答案】##【解析】【分析】先利用数量积公式求出，再求出，最后代入向量的夹角公式得解.【详解】是夹角为的两个单位向量，则，，，，，，.故答案为：14.将一个棱长为6的正方体铁块磨制成一个球体零件，求可能制作的最大零件的体积为______．【答案】【解析】【分析】由正方体的棱长求得正方体内切球的半径，代入球的体积公式求解．【详解】正方体的棱长为6，要使制作成球体零件的体积最大，则球内切于正方体，则球的直径为6，半径为3．∴可能制作的最大零件的体积为.故答案为：．15.如图所示，在梯形中，，，，，点为 的中点，若向量在向量上的投影向量的模为，______；设为线段上的动点，则的最小值为______.【答案】①.②.【解析】【分析】以为坐标原点可建立平面直角坐标系，由与可构造方程求得点坐标，由向量数量积坐标运算可得；设，可得，则可将表示为关于的函数，利用二次函数最值求法可得结果.【详解】以为坐标原点，为轴建立平面直角坐标系，则，，，，设，，，向量在向量上的投影向量的模为，，， 又，，解得：，；，；设，，又，，，解得：，，，，，，当时，取得最小值.【点睛】方法点睛：求解平面几何中的平面向量数量积问题的常用方法有两种：（1）利用平面向量线性运算将所求数量积进行转化，转化为夹角和模长已知的向量数量积的求解问题；（2）建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算来进行求解.三、解答题：本大题共3小题，共34分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16.已知是复数，与均为实数．（1）求复数；（2）复数在复平面上对应的点在第一象限，求实数的取值范围．【答案】（Ⅰ）z=4-2i．（Ⅱ）2＜a＜6【解析】【详解】（1）设所以，；由条件得，且，所以(2) 由条件得：，解得所以，所求实数的取值范围是-17.已知向量与，，.（1）求；（2）设，的夹角为，求的值；（3）若向量与互相平行，求k的值.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）结合向量减法的坐标表示即可求解；（2）结合向量夹角公式的坐标表示即可求解；（3）结合向量平行的坐标表示即可求解.【详解】（1）因为，，所以；（2），（3），，由题意可得，，整理可得，，解可得，.【点睛】本题考查向量坐标表示的运算，重点考查计算能力，熟练掌握公式，属于基础题型.18.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知.（1）若，，求边c的长；（2）若，求角B大小．【答案】（1）5（2）．【解析】 【分析】（1）利用余弦定理角化边，然后带入已知可得；（2）利用正弦定理边化角，然后结合已知和诱导公式求解可得.【小问1详解】由及余弦定理，得，∴．代入，，得，解得．【小问2详解】由及正弦定理，得，∵，∴，即，解得或，又，所以，所以．