浙江省金华市东阳市外国语学校2022-2023学年高一数学下学期5月月考试题（Word版附解析）

“最慧学杯”数学学科竞赛一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1.已知复数满足（为虚数单位），则（）A.B.1C.2D.4【答案】A【解析】【分析】首先利用复数代数形式的除法运算求出复数，再求出复数的共轭复数的模即可；【详解】解：，，故选：【点睛】本题考查复数代数形式的除法运算及复数的模的计算，属于基础题.2.设，，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】利用作差法结合得出的等价条件，即可得出结论.【详解】因为，，由可得，则，即，因此，若，，则“”是“”的充要条件.故选：C.3.若的三个内角满足，则的形状是（）A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.以上都有可能【答案】A 【解析】【分析】由正弦定理可得可设，，，再由余弦定理判断最大角余弦值符号即可求解.【详解】由，得，设，，（），则由余弦定理有：，又，所以，即为钝角；故选：A.4.已知，则A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】运用中间量比较，运用中间量比较【详解】则．故选B．【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题．5.如果数据x1，x2，…，xn的平均数是，方差是s2，则3x1＋2,3x2＋2，…，3xn＋2的平均数和方差分别是(　　)A.和s2B.3和9s2C.3＋2和9s2D.3＋2和12s2＋4【答案】C【解析】【详解】3x1＋2,3x2＋2，…，3xn＋2的平均数是3＋2，由于数据x1，x2，…，xn的方差为s2，所以3x1＋2,3x2＋2，…，3xn＋2的方差为9s2，所以选择C．【点睛】利用样本的平均数公式及方差公式可推导出如下结论：如果数据x1，x2，…，xn的平均数是，方差是s2，则的平均数和方差分别是和，请同学们记住这个结论.记住如下结论 6.已知函数的图象关于直线对称，且在上没有最小值，则的值为（）A.2B.4C.6D.10【答案】A【解析】【分析】根据对称轴可得或进而根据三角函数的性子即可求解.【详解】由的图象关于直线对称可得解得或由，由于在上没有最小值，所以，又或所以，故选：A7.在中，点D在BC上，且满足，点E为AD上任意一点，若实数满足，则的最小值为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先根据共线向量定理的推论，三点共线的结论可得，，再根据“”的代换即可求出．【详解】因为，所以，即，由三点共线可得，且，所以， 当且仅当，即时取等号．故选：D．8.如图所示，在正四棱锥中，，，它的内切球O与四个侧面分别相切于点E，F，G，H处，则四边形外接圆的半径为（）A.B.1C.D.2【答案】C【解析】【分析】作出过正四棱锥顶点和底面对边中点的截面，是中点，的内切圆是正四棱锥内切球的大圆，切点为球与正四棱锥侧面的切点，求得的边长，得切点位置求得，而四边形是正方形，对称线为其外接圆直径，由此可得．【详解】如图，作出过正四棱锥顶点和底面对边中点的截面，不妨设是中点（是正四棱锥的斜高），则的内切圆是正四棱锥内切球的大圆，切点为球与正四棱锥侧面的切点，正四棱锥中，，，则，，是等边三角形，则分别为的中点，，由正四棱锥性质知四边形是正方形，所以外接圆半径为．故选：C． 【点睛】方法点睛：在涉及到正棱锥与内切球、外接球的计算中，常常需要作出截面得出相应关系求解．对正四棱锥来讲，有两个截面，一个是本题中作出的过棱锥的标点，和底面对边中点的截面，它截正四棱锥内切球所得大圆为截面三角形的内切圆，另外一个是正四棱锥的对角面，它截外接球的大圆是截面三角形的外接圆．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的或不选的得0分）9.对于集合，定义，且，下列命题正确的有（）A.若，则B.若，则C.若，，或，则D.若，，则，或【答案】ABC【解析】【分析】根据集合新定义即，且，一一判断各选项，可得答案.【详解】因为，且，所以若，则，故A正确，若，则,则，故B正确;，，或，则，故C正确，若，，则，，或，故D错误.故选：ABC 10.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列结论正确的是（）A.B.当时，C.是图像的一条对称轴D.在上单调递增【答案】BD【解析】【分析】根据给定区间上的函数解析式，结合奇函数的性质，逐项分析判断作答.【详解】当时，，而函数是上的奇函数，则，A错误；当时，，B正确；因为，不是图像的对称轴，C错误；因为当时，，因此函数在上单调递增，D正确.故选：BD11.如图，点在正方体的面对角线上运动，则下列四个结论，其中正确的结论的是（）A.三棱锥的体积不变B.平面C.D.平面平面【答案】ABD 【解析】【分析】证明平面判断A；证明平面平面判断B；利用判断C；证明平面判断D作答.【详解】如图，在正方体中，，，即四边形为平行四边形，，平面，平面，则平面，于是得点P到平面的距离是定值，而面积是定值，因此三棱锥的体积不变，A正确；由选项A知，平面，同理平面，而，平面，则平面平面，而平面，即有平面，B正确；因，即为正三角形，点P在上，则与不一定垂直，C不正确；因平面，平面，即有，正方形中，，而，平面，则平面，平面，于是得，同理，又，平面，则平面，而平面，因此平面平面，D正确.故选：ABD12.如下图所示，B是AC的中点，，P是平行四边形BCDE内含边界的一点，且，以下结论中正确的是（） A.当P是线段CE中点时，，B.当时，C.若为定值时，则在平面直角坐标系中，点P的轨迹是一条线段D.的最大值为【答案】CD【解析】【分析】结合平面向量线性运算、三点共线等知识对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】依题意，，A选项，当是线段的中点时，，A选项错误.B选项，若设分别是的中点，连接并延长，交的延长线于，则，且，所以，则点的轨迹是，，所以，B选项错误. C选项，，，令、的中点为，由于，即，所以三点共线设分别是的中点，连接，交于，则，是的中点，是的中点，则点的轨迹是，点的轨迹是，所以C选项正确.D选项，，由于平行四边形在的左上方，三点共线，所以，，故当取得最大值，取得最小值时，取得最大值，D选项正确.故选：CD三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知向量，，且，则__________.【答案】5【解析】【分析】由已知可得，，代入即可求出答案.【详解】由可得，，即，解得，， 所以，所以.故答案为：5.14.已知，则______.【答案】【解析】【分析】由，结合范围，求出，再由余弦的和角公式即可求解.【详解】，，.故答案为：.15.设的内角所对的边分别为，若，则角=__________.【答案】【解析】【分析】根据正弦定理到，，再利用余弦定理得到，得到答案.【详解】，则，，故.根据余弦定理：，故.故答案为：.【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理解三角形，意在考查学生的计算能力. 16.设函数的定义域为R，满足，且当时，．若对任意，都有，则m的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】根据给定条件，可得，分段求解析式及对应函数值集合，再结合图象推理计算作答.【详解】因，则，又当时，，当时，，，当时，由，解得或，当时，，，显然，当时，，如图，对任意，都有，必有，所以m的取值范围是.故答案：四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知向量，若，（1）求与的夹角θ；（2）求； （3）当λ为何值时，向量与向量互相垂直？【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据向量的模及数量积求出夹角的余弦值即可；（2）根据结合数量积的运算律计算即可；（3）由题意，得，再结合数量积的运算律计算即可.【小问1详解】解：因为，，所以，又因，所以；【小问2详解】解：；【小问3详解】解：当向量与向量互相垂直时，，即，即，解得.18.如图所示，四棱锥中，底面是正方形，平面，，为棱的中点，为中点. （1）求证：平面；（2）求与平面所成角的大小.【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）由线面平行的判定定理证明即可；（2）由线面垂直的判定定理可证明平面，所以与平面所成角，求解即可.【小问1详解】取的中点，连接，因为中，，又因为，所以，所以四边形是平行四边形，所以，平面，平面，所以平面；【小问2详解】连接，因为底面是正方形，所以，又因为平面，平面，所以，平面，，所以平面，所以与平面所成角，因为，所以，又因为平面，平面，所以， 所以，所以在中，，所以.所以与平面所成角的大小为.19.某校从高二年级学生中随机抽取60名学生，将期中考试的政治成绩（均为整数）分成六段：后得到如下频率分布直方图．（1）根据频率分布直方图，分别求，众数，中位数．（2）估计该校高二年级学生期中考试政治成绩的平均分．（3）用分层抽样的方法在各分数段的学生中抽取一个容量为20的样本，则在分数段抽取的人数是多少？【答案】（1）众数为75中位数为；（2）平均分为71、(3)11.【解析】【分析】（1）先根据频率之和为1，可求出；再由频率最大的一组，得到众数；根据中位数两边的频率之和相等，可求出中位数；（2）由每组的中间值乘以该组的频率，再求和，即可得出平均值；（3）先由题意确定抽样比，进而可求出在分数段抽取的人数. 【详解】解析（1）由题意可得，，解得；根据频率分布直方图可知：分数段的频率最高，因此众数为75；又由频率分布直方图可知：分数段的频率为，因为分数段的频率为，所以，中位数为.（2）由题中数据可得：该校高二年级学生政治成绩的平均分估计为：；（3）因为总体共60名学生，样本容量为20，因此抽样比为；又在分数段共有人，因此，在分数段抽取的人数是人.【点睛】本题主要考查由频率分布直方图求中位数、众数、平均数、以及分层抽样的问题，熟记相关概念与公式即可，属于常考题型.20.，已知点A，B是函数的图像与直线的两个交点.且的最小值为.（1）求函数的单调递增区间；（2）若对于都有，求m的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先运用辅助角公式对作恒等变换求出单一三角函数形式的解析式，再根据条件求出，运用整体代入法求解；（2）求出在的最小值，根据题意解不等式即可.【小问1详解】 ，，当时单调递增，即时单调递增；【小问2详解】当时，，，，原不等式等价于：，即，解得；m的取值范围是.21.在四棱锥中，，，，，分别为的中点，.（1）求证：平面平面；（2）设，若平面与平面所成锐二面角，求的取值范围.【答案】(1)详见解析;(2).【解析】【详解】（Ⅰ），分别为的中点，为矩形，∵DE=EC，∴DC⊥EF，又AB∥CD，∴AB⊥EF∵BF∩EF=F，∴AB⊥面BEF，又AE⊂面ABE， ∴平面ABE⊥平面BEF．(Ⅱ),又，又,所以面,法一：建系为轴，为轴，为轴,，,平面法向量，平面法向量·，可得.法二：连交于点,四边形为平行四边形，所以为的中点，连,则,面,,作于点，所以面,连,则,即为所求在中，,解得.22.已知函数，．（1）若，解不等式；（2）若函数恰有三个零点，，，求的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）分当时，当时，讨论去掉绝对值，由一元二次不等式的求解方法可得答案；（2）得出分段函数的解析式，根据二次函数的性质和根与系数的关系可求得答案. 【小问1详解】解：当时，原不等式可化为…①．（ⅰ）当时，①式化为，解得，所以；（ⅱ）当时，①式化为，解得，所以．综上，原不等式的解集为．【小问2详解】解：依题意，．因为，且二次函数开口向上，所以当时，函数有且仅有一个零点．所以时，函数恰有两个零点．所以解得．不妨设，所以，是方程的两相异实根，则，所以．因为是方程的根，且，由求根公式得．因为函数在上单调递增，所以，所以．所以．所以a的取值范围是．