重庆外国语学校2022-2023学年高二数学下学期5月月考试题（Word版附解析）

重庆外国语学校2022-2023学年度（下）高2024届5月月考数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.函数的单调递增区间是（）A.B.C.，D.【答案】B【解析】【分析】先求出函数的定义域，再对函数求导，然后由导数大于零，可求出函数的增区间.【详解】函数的定义域为，由，得，令，得，所以函数的单调递增区间为，故选：B.2.的展开式中的系数是（）A.B.0C.35D.70【答案】C【解析】【分析】首先写出展开式的通项，根据通项求出展开式中的系数.【详解】因为，其中展开式的通项为，所以的展开式中的系数为.故选：C 3.核酸检测是新型冠状病毒感染疫情防控的一项重要举措．某社区每周六组织A，B，C三个小区的居民进行核酸检测．现有甲、乙、丙、丁、戊5名大学生报名参加这三个小区的志愿者服务工作，要求每个小区至少分配1人，且甲和乙必须分配在同一个小区，则不同的分配方案共有（）A.72种B.36种C.18种D.6种【答案】B【解析】【分析】分3：1：1与2：2：1分配进行选派，结合排列组合知识简单计算即可.【详解】若按照3：1：1进行分配，即从丙、丁、戊中再选一人与甲和乙分配在同一个小区，则有种不同的方案，若按照2：2：1进行分配，即甲和乙必须分配在同一个小区，再从丙、丁、戊中选两人分配在同一个小区，则有种不同的方案，故共有36种派遣方案.故选：B.4.已知函数的图象如图所示（其中是函数的导函数），则下面四个图象中，的图象大致是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先利用函数的图象求得函数的单调区间，进而得到正确选项.【详解】由题给函数的图象，可得当时，，则，则单调递增； 当时，，则，则单调递减；当时，，则，则单调递减；当时，，则，则单调递增；则单调递增区间为，；单调递减区间为故仅选项C符合要求.故选：C5.某海鲜商家的海产品每只质量（克）在正常环境下服从正态分布．现随机购买10只该商家的海产品，则至少买到一只质量小于265克该海产品的概率为（），则：A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由正态分布的性质求出的概率，再利用对立事件及相互独立事件的概率公式计算可得.【详解】因为单只海鲜产品质量，所以，，则，所以，现随机购买只该商家的海产品，则至少买到一只质量小于克该海产品的概率.故选：B6.若函数有两个极值点，则的取值范围为（）A.B.C.或D.【答案】D【解析】【分析】函数有两个不同的极值点，则在上有两个不同的实数解，转化为二次方程在 有两个不同的实数解，求解即可.【详解】由题意可得的定义域为，，因为函数有两个极值点，所以在上有两个不同的实数解，所以，解得，故选：D7.学校开设5门不同的数学选修课，每名同学可以从中任选1门或2门课学习，甲、乙、丙三名同学选择的课没有一门是相同的，则不同的选法共有（）A.330种B.420种C.510种D.600种【答案】A【解析】【分析】根据每位同学可以从中任选1门或2门课学习，且甲、乙、丙三名同学选择的课没有一门是相同的，可以按照甲、乙、丙三位同学选择课的门数进行分类即可求解.【详解】因为每位同学可以从中任选1门或2门课学习，且甲、乙、丙三名同学选择的课没有一门是相同的，所以可以按照甲、乙、丙三位同学选择课的门数进行分类.①甲、乙、丙三位同学都只选择一门，则不同的选法共有种；②甲、乙、丙三位同学有两位同学选择了一门，另一位同学选择了两门，则不同的选法共有种；③甲、乙、丙三位同学有一位同学选择了一门，另外两位同学都选择了两门，则不同的选法共有种；所以不同的选法共有种，故选：A.8.若关于的不等式的解集中恰有个整数，则的取值范围是（）A.B.C.D. 【答案】C【解析】【分析】将不等式变形为，令，，数形结合，转化为两个函数图象相交情况分析.【详解】，不等式可化为，令，，由解得，由解得，在为增函数，在为减函数，令，则的图象恒过，若解集恰有个整数，当时，有无数个整数解，不满足题意；当时，如图，2满足不等式且3不满足不等式，即且，.故选：C．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知随机变量满足，则下列选项正确的是（）A.B.C.D.【答案】AD【解析】【分析】利用数学期望以及方差运算性质，求解即可.【详解】，． 故选：AD．10.若，则（）A.B.C.D.【答案】ABD【解析】【分析】利用赋值法，令，可判断A；令，，计算求解可判断B；由，利用二项展开式的通项求解可判断C；两边求导，令，可判断D.【详解】令，则，即，故A正确；令，则，令，则，则，故B正确；，则，令，则，故C错误；由两边求导，得，令，则，故D正确.故选：ABD.11.甲袋中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙袋中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，分别以表示由甲袋取出的球是红球，白球，黑球的事件；再从乙袋中随机取出一球，以B表示由乙袋取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（）A.B.C.D.【答案】AC【解析】【分析】计算出，，利用条件概率求出，A正确；同理得到 ，D错误，利用全概率公式求出，B错误；利用条件概率得到C正确.【详解】由题意得：，，故，A正确；，，D错误；，，故，B错误；，C正确.故选：AC12.定义区间，，，的长度为.如果一个函数的所有单调递增区间的长度之和为常数（其中，为自然对数的底数），那么称这个函数为“函数”，则（）A.是“函数”B.是“函数”C.是“函数”，且D.是“函数”，且【答案】BCD【解析】【分析】求出函数的定义域，根据导函数得出函数的单调递增区间.然后根据“函数”的定义，即可判断.若导函数存在隐零点，则可根据零点存在定理，得出零点的取值范围，以及满足的条件，进而判断C、D两项.【详解】对于A项，的定义域为，，因为，所以，所以在上单调递增.显然不是“函数”，故A错误； 对于B项，函数的定义域为，，当时，，此时单调递增；当时，，此时单调递减，故，是“函数”，故B正确；对于C项，的定义域为，，根据复合函数的单调性可知是减函数，又，，根据零点存在定理可得，存在唯一的常数，使，即，所以，且当时，，所以函数在上单调递增.令，则，且，满足条件，所以.故C项正确；对于D项，因为的定义域为，.令，则，当时，，所以函数在上单调递增；当时，，所以函数在上单调递减，所以，当时，函数有最大值.令，，则在上恒成立，所以，在上单调递增. 又，所以，当时，有，即，所以，所以，在上恒成立，所以函数在上没有零点.又时，由零点存在定理及函数的单调性可知，存在唯一的常数，使得，即，且当时，，所以在上单调递增；当时，，所以在上单调递减.令，则是“函数”，且.故D正确.故选：BCD.【点睛】关键点睛：C项，得出的，零点不确定，即存在隐零点.根据，，结合零点存在定理，即可得出的值.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.甲乙丙三人进行射击练习，已知甲乙丙击中目标的概率分别为，则三人中至少有两人击中目标的概率为__________.【答案】##【解析】【分析】根据题意，分别求得三人均未击中目标与只有一人击中目标的概率，然后用减去其概率之和，即可得到结果.【详解】根据题意，三人均未击中目标的概率为； 只有一人击中目标的概率为所以三人中至少有两人击中目标的概率为故答案为:14.同一种产品由甲､乙､丙三个厂商供应.由长期的经验知，三家产品的正品率分别为0.95､0.90､0.80，甲､乙､丙三家产品数占比例为，将三家产品混合在一起.从中任取一件，求此产品为正品的概率___________.【答案】0.86【解析】【分析】由全概率公式计算所求概率.【详解】由全概率公式，得所求概率.故答案为：.15.若函数的图象与直线相切，则a＝______【答案】1【解析】【分析】根据导数的几何意义列式计算即可.【详解】设切点为，因为，所以，则，化简得，令，则，令可得，令可得，令可得，则在内单调递减，在上单调递增，且，所以，故，故答案为：116.关于的不等式在上恒成立，则的最小值是__________. 【答案】【解析】【分析】不等式转化为，构造函数，判断函数单调递增得到，转化为，构造函数，根据函数单调性计算最小值即得到答案.【详解】，即，设，恒成立，故单调递增.原不等式转化为，即，即在上恒成立.设，，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；故，即，解得.所以的最小值是.故答案为：.【点睛】方法点睛：将不等式化为，这种方法就是同构法，同构即结构形式相同，对于一个不等式，对其移项后通过各种手段将其变形，使其左右两边呈现结构形式完全一样的状态，接着就可以构造函数，结合函数单调性等来对式子进行处理了． 四、解答题：本题共6小题，共70分.其中，17题10分，18，19，20，21，22各12分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数，其图象在点处的切线方程为．（1）求，的值与函数的单调区间；（2）若对，，不等式恒成立，求的取值范围．【答案】（1），；的单调递增区间为，；单调递减区间为（2）【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义可得从而求得，．进而令得增区间，令得减区间；（2）利用导数求得函数在上的最大值为8，进而转化为，解不等式即可.【小问1详解】，，函数的图象在点处的切线方程为．解得，．，令，解得或；令，解得．函数的单调递增区间为，；单调递减区间为．【小问2详解】由（1）可得：，．令，则，所以当变化时，的变化情况如下： ，02，00单调递增极大值单调递减极小值单调递增由表格可知：当时，函数取得极大值，，又．函数在上的最大值为8．由，不等式恒成立，．，解得或．的取值范围是．18.某学习APP的注册用户分散在A，B，C三个不同的学习群里，分别有24000人，24000人，36000人，该APP设置了一个名为“七人赛”的积分游戏，规则要求每局游戏从A，B，C三个学习群以分层抽样的方式，在线随机匹配学员共计7人参与游戏．（1）每局“七人赛”游戏中，应从A，B，C三个学习群分别匹配多少人？（2）现需要从匹配的7名学员中随机抽取3人进入互动环节，并用X表示进入互动环节的C群人数，求X的分布列与数学期望．【答案】（1）2,2,3；（2）分布列见解析；期望为.【解析】【分析】（1）根据分层抽样的性质运算可得.（2）先列出X的取值，再计算相应的概率，列出分布列，计算期望即可.【小问1详解】三个学习群人数比例为24000:24000:36000=2:2:3因此,应从A、B、C三个学习群分别匹配2,2,3人.【小问2详解】由题X所有可能的取值为0,1,2,3,故 X的分布列为X0123P.19.随着我国居民生活水平的提高和人们对精神生活的追求，如今有越来越多的人养宠物，很多人的朋友圈除了晒美食､晒旅行､晒孩子外，还会晒各自的宠物，宠物也成了很多家庭中的重要角色之一，为记录下宠物可爱､呆萌的瞬间，会有很多人选择去宠物照相馆，为了解顾客的消费需求，某宠物照相馆对近期200名客户的宠物拍照信息进行了相关统计，绘制成如图所示的频率分布直方图.若套餐价格（单位：元）在内的称为“尊享套餐”，在内的称为“普通套餐”.（1）根据统计数据完成以下列联表，并判断是否有的把握认为是否选择“尊享套餐”与年龄有关？选择“尊享套餐”选择“普通套餐”合计年龄不低于45岁50年龄低于45岁80 合计（2）把频率当作概率，现从年龄低于45岁的所有客户中，随机抽取3名客户，记所抽取的3名客户中选择“普通套餐”的人数为，求的分布列和数学期望.参考公式：，其中.参考数据：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1）列联表见解析，没有（2）分布列见解析，【解析】【分析】（1）先求得套餐价格在内的频率，再乘以200即可；完善列联表，求得的观测值，再与临界值表对照下结论；【小问1详解】解：因为套餐价格在内的频率为，所以选择“尊享套餐”的客户有（名）.完善列联表如下：选择“尊享套餐”选择“普通套餐”合计年龄不低于45岁5070120年龄低于45岁206080合计70130200的观测值.所以没有的把握认为是否选择“尊享套餐”与年龄有关. 【小问2详解】由题设，年龄低于45岁的所有客户中，估计选择“普通套餐”的概率为，易知.所以，，所以的分布列为0123所以.20.根据以往大量测量知某加工厂生产的钢管内径尺寸X服从正态分布，并把钢管内径在内的产品称为一等品，钢管内径在内的产品称为二等品，一等品与二等品统称为正品，其余范围内的产品作为废品回收．现从该企业生产的产品中随机抽取1000件，测得钢管内径的样本数据的频率分布直方图如图：（1）通过检测得样本数据的标准差，用样本平均数x作为的近似值，用样本标准差s作为的估计值，根据所给数据求该企业生产的产品为正品的概率；（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）（2）假如企业包装时要求把2个一等品和个二等品装在同一个箱子中，质检员从某箱子 中摸出两件产品进行检验，若抽取到的两件产品等级相同，则该箱产品记为A，否则该箱产品记为B．①试用含n的代数式表示某箱产品抽检被记为B的概率p；②设抽检5箱产品恰有3箱被记为B的概率为，求当n为何值时，取得最大值，并求出最大值．参考数据：【答案】（1）0.71（2）①；②．【解析】【分析】（1）运用频率分布直方图求得其平均数及即可.（2）运用对立事件的概率公式、古典概型概率及运用导数研究函数的单调性，进而求得最值即可.【小问1详解】由题意估计从该企业生产的正品中随机抽取1000件的平均数为：，所以，，则，，，则一等品内径在内，即，二等品内径在内，即，所以该企业生产的产品为正品的概率为：．【小问2详解】①从件正品中任选2个，有种选法，其中等级相同的有种选法，所以某箱产品抽检被记录为B的概率为：．②由题意，一箱产品抽检被记为B的概率为p，则5箱产品恰有3箱被记录为B的概率为：， ，所以当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，所以当时，取得最大值，此时，，解得或（舍去）．所以当时，取得最大值.21.已知椭圆过点，且离心率为（1）求椭圆E的标准方程；（2）若直线l与椭圆E相切，过点作直线l的垂线，垂足为N，O为坐标原点，证明：为定值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用椭圆过点，得到，再由椭圆的离心率为，求出的值，从而求到椭圆的标准方程；（2）对直线的斜率为0、斜率不存在及斜率存在且不为0三种情况讨论，从而求出，得到结论.【小问1详解】因为椭圆过点，所以，又，，所以，得到， 所以椭圆的标准方程为.【小问2详解】当直线斜率存在且不为0时，设直线的方程为，联立直线和椭圆的方程得，消去并整理，得，因为直线与椭圆有且只有一个公共点，所以方程有两个相等的根，，化简整理得因为直线与垂直，所以直线的方程为，联立得，解得，，所以把代入上式得，，所以，为定值；当直线斜率为0时，直线，过点作直线的垂线，则垂线方程为，此时或，，为定值；当直线斜率不存在时，直线，过点作直线的垂线，则垂线方程为，此时或，，为定值；综上所述，，为定值.22.已知函数．（1）若，求的极值；（2）讨论单调性；（3）若对任意，有恒成立，求整数m的最小值． 【答案】（1）极大值为，无极小值．（2）分类讨论，答案见解析.（3）1【解析】【分析】（1）求导，通过导数判断函数单调性，然后可得；（2）求导，分，讨论可得；（3）参变分离，将问题转化为在上恒成立问题，记，利用导数求函数的最大值所在区间可得.【小问1详解】的定义域为，当时，，令，解得当时，，则在上单调递增；当时，，则在上单调递减．所以在时取得极大值为，无极小值．【小问2详解】因为当时，在上恒成立，此时在上单调递增；当时当时，，则在上单调递增；当时，，则在上单调递减； 综上：当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减．【小问3详解】因为对任意，恒成立，所以在上恒成立，即在上恒成立．设，则．设，，则在上单调递减，因为，，所以，使得，即．当时，；当时，．所以在上单调递增，在上单调递减，所以．因为，所以，故整数的最小值为1．【点睛】本题第三问属于恒成立问题,恒成立问题比较常见的处理方法之一便是参变分离法,然后构造函数转化问函数最值问题,利用导数可解.