2023九年级数学上册第二十四章圆24.4弧长和扇形面积课时1课件（人教版）

第1课时24.4弧长和扇形面积九年级上册RJ初中数学 已知半径为r的圆，周长是多少？面积是多少？周长：或.面积：.知识回顾 2.会利用弧长和扇形面积的计算公式进行计算.1.理解弧长和扇形面积公式的探求过程.学习目标 如图，在运动会的4×100米比赛中，甲和乙分别在第1跑道和第2跑道，为什么他们的起跑线不在同一处？怎样来计算弯道的“展直长度”？因为要保证这些弯道的“展直长度”是一样的.课堂导入计算弯道对应的弧长. 分别计算下图中各圆心角所对的弧长.OR180°OR90°OR45°ORn°知识点1新知探究C=2πR 在弧长公式中，R，n，l三个量，可以做到知二求一：，.扇形的周长公式：C扇形=2R.n°的圆心角所对的弧长为弧长公式l是弧长，R是半径，n表示1°圆心角的倍数，没有单位，弧长l的单位和半径R的单位一致. 1.题目中若没有写明精确度，可用含π的代数式表示弧长，如弧长为3π，11π等.2.不要混淆弧长相等和弧相等，弧相等指两条弧全等，弧长相等指弧的长度相等.弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才是等弧.注意： 跟踪训练新知探究1.半径为2的圆中，120°的圆心角所对的弧长是多少？2.半径为2的圆中，一段弧长为2π的弧，求它所对的圆心角的度数. 例1制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算如图所示管道的展直长度L.(结果取整数)因此所要求的展直长度L=2×700+1570=2970（mm）.l==500解：由弧长公式，可得的长 已知扇形的圆心角为120°，弧长为10πcm，则该扇形的半径为cm.15跟踪训练新知探究更多同类例题见《教材帮》数学RJ九上24.4节新知课解：设扇形的半径是Rcm，则由弧长公式可得，解得，R=15. 扇形 知识点2新知探究由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形．记作:扇形OAB扇形的定义记作:扇形OCED 分别计算下图中各扇形的面积OR180°OR90°OR45°ORn°知识点1新知探究S=πR2 扇形面积公式：半径为R的圆中，圆心角为n°的扇形的面积是S扇形=注意：扇形面积公式中的“n”和弧长公式中的“n”一样，表示“1°”的圆心角的倍数，参与计算时不带单位. 1.圆心角大小不变时，对应的扇形面积与半径有关，半径越长，面积越大.2.圆的半径不变时，扇形面积与圆心角有关，圆心角越大，面积越大.扇形的面积与哪些因素有关？扇形的面积与圆心角、半径有关.OABDCEFOABCD 扇形的弧长公式与面积公式有联系吗？可类比三角形的面积公式：ABOO 跟踪训练新知探究2.已知扇形面积为，圆心角为60º，则这个扇形的半径R=____．1.已知扇形的圆心角为120º，半径为2，则这个扇形的面积S扇形=_____.3.已知半径为2的扇形，其弧长为，则这个扇形的面积为_____． 例2如图,水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6m，其中水面高0.3m，求截面上有水部分的面积（精确到0.01m2）.0.6m0.3m弧AB的中点到弦AB的距离半径OA 分析：有水部分的面积=S扇形OAB－S△OAB0.6m0.3m半径OA扇形OAB圆心角∠AOB特殊△AOC△OAB高OD=OC－DC底AB半弦ADRt△OAD ∵OC=0.6m,DC=0.3m,∴OD=OC－DC=0.3(m).∴OD=DC.又∵AD⊥OC,∴AD是线段OC的垂直平分线.0.3m0.3m∴AC=AO=OC.从而∠AOD=60°,∠AOB=120°.S=S扇形OAB－S△OAB0.6m60°有水部分的面积解：连接OA,OB,作弦AB的垂直平分线，垂足为D，交于点C,连接AC. 弓形的面积可以看成是扇形面积和三角形面积的和或差，实际应用时，可根据具体图形选用对应的公式：1.如图(1)，弓形ADB的面积小于圆面积的一半，此时S弓形=S扇形OAB-S△OAB.由弦及弦所对的弧组成的图形叫做弓形.课堂拓展弓形 2.如图(2)，弓形ADB的面积大于圆面积的半，此时S弓形=S扇形OADB+S△OAB.3.如图(3)，弓形ADB的面积等于圆面积的一半，此时S弓形=S圆. (1)已知扇形的半径为6cm,面积为6πcm2，则该扇形的圆心角的度数为.(2)一个扇形的圆心角为135°，弧长为3πcm，则此扇形的面积是cm2.60°6π解：(1)设扇形的圆心角是n°，根据扇形的面积公式得，6π=，解得n=60．(2)设扇形的半径为R，∵扇形的圆心角为135°，弧长为3πcm，∴=3π，解得R=4，∴此扇形的面积为=6π(cm2).跟踪训练新知探究 1.如图，实线部分是由两条等弧组成的游泳池，且这两条弧所在的圆的半径均为15m.若每条弧所在的圆都经过另一个圆的圆心，则游泳池的周长是m.40π解：如图，连接O1O2，CO1，CO2，DO1，DO2，∵O1O2=CO1=CO2=15m，∴∠CO1O2=∠CO2O1=60°，同理，∠CO1D=∠CO2D=120°，∴游泳池的周长为2×=2×=40π(m)．随堂练习 2.如图，AC是汽车挡风玻璃前的雨刷器，如果AO=45cm，CO=5cm，当AC绕点O顺时针旋转90°时，则雨刷器AC扫过的区域(阴影部分)的面积为cm2(结果保留π).500π解：∵OA=OA′，OC=OC′，AC=A′C′，∴△AOC≌△A′OC′，∴雨刷器AC扫过的面积=扇形AOA′的面积-扇形COC′的面积=×π=500π(cm2). 归纳总结：不规则图形面积的求解方法在求解阴影部分面积的问题中，如果所求的阴影部分是不规则图形，那么可以采取各种方法，将阴影部分面积转化为几个规则图形面积的和或差的形式.与圆有关的阴影部分面积的问题，往往需要利用扇形面积公式或弓形面积的计算公式. 3.如图，以BC为直径的⊙O与△ABC的另两边分别相交于点D,E.若∠A=60°,BC=4,则图中阴影部分的面积为______(结果保留π).解：∵△ABC中，∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=180°-60°=120°，∵△OBD，△OCE是等腰三角形，∴∠BDO+∠CEO=∠ABC+∠ACB=120°，∴∠BOD+∠COE=360°-(∠BDO+∠CEO)-(∠ABC+∠ACB)=360°-120°-120°=120°，∵BC=4，∴OB=OC=2，∴S阴影==π． 弧课堂小结定义面积公式S扇形=S扇形=lR弧长公式：l=扇形阴影部分面积求法：整体思想S弓形=S扇形-S三角形S弓形=S扇形+S三角形弓形 对接中考1.（2020•金昌中考）若一个扇形的圆心角为60°，面积为cm2，则这个扇形的弧长为cm（结果保留π）．．解：设扇形的半径为Rcm，弧长为lcm，根据扇形面积公式得,解得R＝1或R＝-1（舍去），又∵扇形的面积∴l= 解：如图，作点D关于OB的对称点D′,连接CD′交OB于点E′，连接DE′,OD′,此时CE′+DE′最小，即CE′+DE′=CD′.由题意得，∠COD=∠DOB=∠BOD′=30°，∴∠COD′=90°，∴CD′=的长∴阴影部分周长的最小值为2.(2020•河南中考)如图，在扇形OBC中，∠BOC＝60°，OD平分∠BOC交于点D，点E为半径OB上一动点．若OB＝2，则阴影部分周长的最小值为．E′D′′ 2.如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=3，边CD在直线l上，将矩形ABCD沿直线l作无滑动翻滚，当点A第一次翻滚到点A1的位置时，则点A经过的路线长为.解：点A的运动路径如图所示.∵四边形ABCD是矩形，AB=4，BC=3，∴BC=AD=3，∠ADC=90°，对角线长为5．∵根据题意知，∠ADA′=90°，AD=A′D=BC=3，ABCDC′B′B′′B′′B1C1D1A1A′…… ∴点A第一次翻滚到点A′位置时，则点A经过的路线长为．同理，点A′翻滚到点A″的位置时，点A经过的路线长为=2π．D1ABCDC′B′B′′B′′B1C1A1A′ 点A″翻滚到点A1的位置时，点A经过的路线长为．∴当点A第一次翻滚到点A1的位置时，点A经过的路线长为+2π+=6π．ABCDC′B′B′′B′′B1C1A1A′2.如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=3，边CD在直线l上，将矩形ABCD沿直线l作无滑动翻滚，当点A第一次翻滚到点A1的位置时，则点A经过的路线长为.6π 3.如图，AB为⊙O的直径，AC,DC为弦，∠ACD=60°，P为AB延长线上的点，∠APD=30°.(1)求证：DP是⊙O的切线；(2)若⊙O的半径为3，求图中阴影部分的面积.解：(1)如图，连接OD.因为∠ACD=60°，所以∠AOD=2∠ACD=120°,所以∠DOP=180°-120°=60°.因为∠APD=30°，所以∠ODP=180°-30°-60°=90°,所以OD⊥DP.又OD为⊙O的半径，所以DP是⊙O的切线. 解：(2)因为∠APD=30°,∠ODP=90°,OD=3,所以OP=2OD=6,所以DP=,所以S阴影=S△ODP-S扇形ODB=.3.如图，AB为⊙O的直径，AC,DC为弦，∠ACD=60°，P为AB延长线上的点，∠APD=30°.(1)求证：DP是⊙O的切线；(2)若⊙O的半径为3，求图中阴影部分的面积.