2023九年级数学上册第二十四章圆24.2点和圆直线和圆的位置关系课时4课件（人教版）

24.2.2直线和圆的位置关系点和圆、直线和圆的位置关系九年级上册RJ初中数学 课堂小结直线与圆的位置关系定义性质判定相离、相切、相交公共点的个数d与r的数量关系定义法性质法相离：d>r相切：d=r相交：d<r0个：相离；1个：相切；2个：相交d>r:相离,d=r:相切d<r:相交相离：0个相切：1个相交：2个 1.会判定一条直线是否是圆的切线并会过圆上一点作圆的切线.2.理解并掌握圆的切线的判定定理及性质定理.3.能运用圆的切线的判定定理和性质定理解决问题.学习目标 转动雨伞时飞出的雨滴，用砂轮磨刀时擦出的火花，都是沿着什么方向飞出的？课堂导入 知识点1新知探究如图，在⊙O中，经过半径OA的外端点A作直线l⊥OA，则圆心O到直线l的距离是多少？直线l和⊙O有什么位置关系？·A∵OA为⊙O的半径,且OA⊥l,∴l为⊙O的切线.∴d=r, 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.OA为⊙O的半径BC⊥OA于ABC为⊙O的切线ABC切线的判定定理数学表示O注意：应用该定理时，两个条件缺一不可：一是经过半径的外端；二是垂直于这条半径. O.AO.ABAO(1)(2)(3)判断下面的直线是不是圆的切线： 判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：1.定义法：与圆有唯一公共点的直线是圆的切线.2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径，即d=r.3.判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.AlOlrdAOlAO 切线判定常用的证明方法：(1)有切点,连半径，证垂直.如果已知直线经过圆上的一点，那么连接这点和圆心，得到半径，再证明所作半径与这条直线垂直即可．(2)无切点,作垂直，证半径.如果已知条件中不知道直线与圆是否有公共点，那么过圆心作直线的垂线段，再证明垂线段的长度等于半径即可． 1.如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC=CD，∠D=30°.求证：CD是⊙O的切线.解：如图，连接OC.∵AC=CD，∠D=30°,∴∠A=∠D=30°.∵OA=OC，∴∠ACO=∠A=30°，∴∠COD=60°，∴∠OCD=90°，即OC⊥CD.∴CD是⊙O的切线.跟踪训练新知探究点在圆上，连半径，证垂直 2.如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D.求证：AC是⊙O的切线.证明：如图，作OE⊥AC于E,连接OD..OADBC无切点，作垂直，证半径，E∴∠OEC=90°.∵AB是⊙O的切线,∴OD⊥AB.∴∠ODB=90°=∠OEC.∵AB=AC,∴∠B=∠C.∵O是BC的中点，∴OB=OC.∴△OBD≌△OCE(AAS),∴OD=OE.∴AC与⊙O相切. 如图，如果直线l是⊙O的切线，点A为切点，那么OA与l垂直吗？AlO∵直线l是⊙O的切线，A是切点，∴直线l⊥OA.数学表示切线的性质定理圆的切线垂直于过切点的半径.知识点2新知探究 假设AB与CD不垂直，过点O作一条直线垂直于CD,垂足为M.(2)则OM<OA，即圆心到直线CD的距离小于⊙O的半径，因此，CD与⊙O相交.这与已知条件“直线与⊙O相切”相矛盾.CDBOA(3)所以AB与CD垂直.M反证法：切线的性质定理的证明 切线的性质定理的推论(1)经过圆心且垂直于切线的直线必过切点；(2)经过切点且垂直于切线的直线必过圆心. 1.如图，AB是⊙O的直径，MN是⊙O的切线，切点为N，如果∠MNB=52°，那么∠NOA的度数为()AA.76°B.56°C.54°D.52°解：∵MN是⊙O的切线，∴ON⊥NM，∴∠ONM=90°，∴∠ONB=90°-∠MNB=90°-52°=38°.∵ON=OB，∴∠B=∠ONB=38°，∴∠NOA=2∠B=76°．跟踪训练新知探究有切线，用性质 2．如图，AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，AC交⊙O于点D，若∠ACB＝50°，则∠BOD等于()A．40°B．50°C．60°D．80°D解:∵BC是⊙O的切线，∴∠ABC＝90°，∴∠A＝90°－∠ACB＝90°－50°＝40°.由圆周角定理，得∠BOD＝2∠A＝80°. 3.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为D，CD与AB的延长线交于点C，∠A＝30°，给出下面三个结论：①AD＝CD；②BD＝BC；③AB＝2BC.其中正确结论的个数是()A．3B．2C．1D．0A 1.如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接OC交⊙O于点D，连接BD，∠C=40°，则∠ABD的度数是()BA.30°B.25°C.20°D.15°解：∵AC是⊙O的切线，∴∠OAC=90°.∵∠C=40°，∴∠AOC=50°.∵OB=OD，∴∠ABD=∠BDO.∵∠ABD+∠BDO=∠AOC，∴∠ABD=25°.随堂练习 2.如图，在Rt△AOB中，OA=OB=3☉O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作☉O的一条切线PQ(点Q为切点)，则切线PQ的最小值为.解：连接OP，OQ．∵PQ是⊙O的切线，∴OQ⊥PQ.∵PQ2=OP2-OQ2，∴当PO⊥AB时，线段PQ最短，∵在Rt△AOB中，OA=OB=3，∴AB=OA=6，∴OP=3，∴PQ==2． 3.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC的平分线交BC于点D.以D为圆心，DB为半径作⊙D.求证：AC与⊙D相切.证明：如图过点D作DE⊥AC于点E.∵∠ABC=90°，∴AB⊥BC.又AD平分∠BAC，DE⊥AC，∴DE=DB，∴AC与⊙D相切.E证相切，用判定 切线的判定方法定义法数量关系法判定定理1个公共点，则相切d=r，则相切经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.切线的性质有1个公共点d=r性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径有切线时常用辅助添加方法：见切线，连切点，得垂直课堂小结 对接中考1.（2020•长沙中考节选）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD与过C点的直线互相垂直，垂足为D，AC平分∠DAB．求证：DC为⊙O的切线．证明：如图，连接OC.∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA.∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠OAC，∴∠OCA＝∠DAC，∴AD∥OC.∵AD⊥DC，∴OC⊥DC.又OC是⊙O的半径，∴DC为⊙O的切线.关于本题的素养解读详见初中《教材帮》数学RJ九上第24.2节中考帮. 2.（2020•山西中考）如图，四边形OABC是平行四边形，以点O为圆心，OC为半径的⊙O与AB相切于点B，与AO相交于点D，AO的延长线交⊙O于点E，连接EB交OC于点F．求∠C和∠E的度数．解：如图，连接OB.∵⊙O与AB相切于点B，∴OB⊥AB.∵四边形ABCO为平行四边形，∴AB∥OC，OA∥BC，∴OB⊥OC，∴∠BOC＝90°.∵OB＝OC，∴△OCB为等腰直角三角形，∴∠C＝∠OBC＝45°.∵AO∥BC，∴∠AOB＝∠OBC＝45°，∴∠E＝22.5°．