2023九年级数学上册第二十一章一元二次方程21.4一元二次方程小结小结课时1课件（人教版）

第1课时21.4一元二次方程小结九年级上册RJ初中数学 1.一元二次方程的定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程叫做一元二次方程．2.一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)3.方程的根：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．知识梳理 4.解一元二次方程的方法一元二次方程的解法适用方程直接开平方法(ax+b)2=n(a≠0，n≥0)型方程配方法所有一元二次方程公式法所有一元二次方程因式分解法能化为一边为0，另一边为两个因式乘积的形式的方程 5.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系数学语言若ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1,x2,则x1+x2=-,x1x2=.文字语言一元二次方程的两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比.使用条件1.方程是一元二次方程，即二次项系数不为0；2.方程有实数根，即Δ≥0.重要结论(1)若一元二次方程x2+px+q=0的两根为x1，x2，则x1+x2=-p，x1x2=q.(2)以实数x1，x2为两根的二次项系数为1的一元二次方程是x2-(x1+x2)x+x1x2=0. 重难剖析例1已知关于x的方程(m-1)+3mx+1=0是一元二次方程，则m的值为.-1解：一元二次方程的概念m=-1未知数的最高次数是2二次项系数不为0m-1≠0m2+1=2 解：根据题意得，x=0是原方程的根所以m2-1=0，解得m=±1.又二次项系数不能为0，所以m≠1，即m=-1.例2若关于x的一元二次方程(m-1)x2+x+m2-1=0有一个根为0，则m=.-1这种解题方法我们称之为“有根必代”. 例3解下列方程(1)x2+x-1=0;(2)(x-3)2=-2x(x-3).解：(1)a=1,b=1,c=-1∴Δ=b2-4ac=1-4×1×(-1)=5，根据方程的特征选择适当的方法进行解答，若多种方法都可以，则选择自己擅长的方法进行解答.，. 例3解下列方程(1)x2+x-1=0;(2)(x-3)2=-2x(x-3).解：(2)(x-3)2=-2x(x-3)移项,得(x-3)2+2x(x-3)=0,因式分解,得(x-3)(3x-3)=0,∴x1=3，x2=1.本题可以移项、因式分解，也可以化成一般式后用配方法或公式法，但是不能两边同除以(x-3). 解：解方程x2-13x+36=0得x1=9，x2=4，即第三边长为9或4．∵9，3，6不能构成三角形，4，3，6能构成三角形，∴三角形的周长为3+4+6=13．例4三角形两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣13x+36=0的根，则该三角形的周长为()A.13B.15C.18D.13或18A 例5关于x的一元二次方程(m-1)x2-2x+1=0.(1)若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；(2)若方程的一个实数根为-1，求m的值及方程的另一个实数根.解：(1)由题意得由①得m≠1.由②得Δ=(-2)2-4(m-1)×1解得m<2.∴m<2且m≠1.=8-4m>0. 例5关于x的一元二次方程(m-1)x2-2x+1=0.(2)若方程的一个实数根为-1，求m的值及方程的另一个实数根.解：(2)把x＝-1代入原方程，得(m-1)×(-1)2-2×(-1)+1＝0.解方程，得m＝-2.∴原方程为-3x2-2x+1=0.解方程，得x1=-1，x2=∴m＝-2，方程的另一个实数根为x= 例6已知一元二次方程x2－4x－3＝0的两根分别为m，n，则m2－mn＋n2＝．25解：根据根与系数的关系可知m+n=4，mn=-3.m2－mn＋n2=m2+n2-mn=(m+n)2-3mn=42-3×(-3)=25.化为含m+n与mn的形式 1.填空(1)方程5x2-x-3=x2-3+x的二次项系数是，一次项系数是，常数项是.4-20(2)一元二次方程x2+px-2=0的一个根为2，则p的值为.-1能力提升一般式：4x2-2x=0把x=2代入方程，得4+2p-2=0，解得p=-1． 2.菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x2-7x+12=0的一个根，则菱形ABCD的周长为()A.16B.12C.16或12D.24A解：方程x2-7x+12=0可化为(x-3)(x-4)=0，所以x-3=0或x-4=0，解得x1=3，x2=4，因为菱形ABCD的一条对角线长为6，所以边AB的长是4，所以菱形ABCD的周长为16． 3.用公式法和配方法分别解方程：x2-4x-1=0(要求：写出必要解题步骤).解：(公式法),所以,故方程有两个不相等的实数根，即. 解：(配方法)移项，得，3.用公式法和配方法分别解方程：x2-4x-1=0(要求写出必要解题步骤).配方，得，，由此可得，即. 4.下列所给方程中，没有实数根的是()A.x2+x=0B.5x2-4x-1=0C.3x2-4x+1=0D.4x2-5x+2=0解：对于A，=12-4×1×0=1＞0，所以方程有两个不相等的实数根；对于B，=(-4)2-4×5×(-1)=36＞0，所以方程有两个不相等的实数根； 解：对于C，=(-4)2-4×3×1=4＞0，所以方程有两个不相等的实数根；对于D，=(-5)2-4×4×2=-7＜0，所以方程没有实数根．故选D．4.下列所给方程中，没有实数根的是()A.x2+x=0B.5x2-4x-1=0C.3x2-4x+1=0D.4x2-5x+2=0D 5.关于x的一元二次方程x2-(k+3)x+2k+2=0.(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程有一个根小于1，求k的取值范围.(1)证明：Δ=[-(k+3)]2-4×1×(2k+2)=(k+3)2-8k-8=k2-2k+1=(k-1)2.∵(k-1)2≥0，∴方程总有两个实数根. 5.关于x的一元二次方程x2-(k+3)x+2k+2=0.(2)若方程有一个根小于1，求k的取值范围.(2)解：即x1=k+1，x2=2.∵方程有一个根小于1，∴k+1<1，∴k<0，∴k的取值范围是k<0. 6.已知方程2x2+4x−3=0的两根分别为x1和x2，则的值等于()A.7B.−2C.D.A解：因为方程2x2+4x-3=0的两根分别为x1和x2，所以x1+x2=−2，x1x2=，所以=(x1+x2)2−2x1x2=7．