河北省卓越联盟2022-2023学年高二数学下学期3月月考试题（Word版附解析）

2022-2023学年第二学期第一次月考高二数学试题考试范围：第五章说明：1．本试卷共4页，考试时间120分钟，满分150分.2．请将所有答案填写在答题卡上，答在试卷上无效.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在等差数列中，，则（）A.5B.6C.8D.9【答案】A【解析】【分析】利用等差数列的性质即可求出的值.【详解】由题意，，在等差数列中，，∴，解得：，故选：A.2.已知的值是（）A.3B.1C.2D.【答案】C【解析】【分析】根据导数值的定义计算即可.【详解】根据导数值定义：.故选：C3.下列求导运算正确的是（） A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据导数公式依次讨论各选项即可得答案.【详解】解：对于A选项，，故A选项错误；对于B选项，，故B选项正确；对于C选项，，故C选项错误；对于D选项，，故D选项错误.故选：B4.如下图是的导函数的图象，则下列说法正确的个数是（）①在区间上是增函数；②是的极小值点；③在区间上是增函数，在区间上是减函数；④不是的极大值点．A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】D【解析】【分析】由导函数的图象，可判断在对应区间上的单调性与极值，对四个选项逐一判断可得答案． 【详解】由导函数的图象可知，当时，当时，当时，当时，所以在区间上单调递减，故①错误；在区间上单调递增，在区间上单调递减，上单调递增，和处取得极小值，处取得极大值，故②③④正确；故选：D．5.已知函数，则的值为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】求导后，代入即可.【详解】，.故选：B.6.若直线与曲线相切，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由导数的几何意义求出切点坐标，然后代入直线求解即可.【详解】因为，所以，令，解得，将代入得：，所以切点的坐标为，代入得：，解得.故选：C. 7.若函数，在其定义域上只有一个零点，则整数a的最小值为（）A.4B.5C.6D.7【答案】C【解析】【分析】先根据零点存在定理判断出在上有唯一实数根，于是时，无解，根据导数可判断时，有最小值，只需最小值大于零即可.【详解】根据指数函数性质在上单调递增，故当时，则在上单调递增，，根据零点存在定理，在存在唯一零点，则当时，无零点时，，令，则，时，则；在上单调递减，在上单调递增，于是时，有最小值依题意，，解得，所以最小整数为故选：C8.已知若，则的最小值为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】令，则，构造函数，通过求 导，分析单调性求出最值，即可求得的最小值．【详解】令，则，，所以令，则当时，；当时，；所以在上单调递减，在上单调递增，则所以，则的最小值为故选：A二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.可能把直线作为切线的曲线是（）A.B.C.D.【答案】ACD【解析】【分析】根据题意结合导数的几何意义逐项分析判断.【详解】因为直线的斜率，对于选项A：因为，则，令，解得，故A正确；对于选项B：因为，则，又因为，则方程无解，故B错误；对于选项C：因为，则， 令，解得，故C正确；对于选项D：因为，则，令，解得，故D正确；故选：ACD.10已知直线与抛物线相切，则（）A.B.C.D.2【答案】AB【解析】【分析】设出切点坐标，由导数的几何意义求解即可.【详解】因为直线与抛物线相切，设切点坐标为，因为抛物线，所以，所以，所以①，由切点在直线与抛物线上，所以且，所以②，由①②可得：或.所以，所以.故选：AB11.已知函数，则（）A.在单调递增B.有两个零点C.曲线在点处切线的斜率为0 D.是偶函数【答案】AC【解析】【分析】通过对函数求导，即可得出结论.【详解】由题意，，在中，，∴当时，，∴曲线在点处切线的斜率为，C正确；A项，当时，，故在单调递增，A正确；B项，当时，，当时，，所以只有0一个零点，B错误；D项，函数的定义域为，不关于原点对称，∴不是偶函数，D错误.故选：AC.12.如下图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…．设第n层有个球，从上往下n层球的总数为，则（）A.B.C.D.【答案】ACD【解析】 【分析】根据题意分析可得：，利用累加法求得，进而可以判断选项A、B、C；再利用裂项相消法分析判断选项D.【详解】由题意可知：，可得，，……，，以上个式子累加可得：，所以，且也满足上式，所以.则，所以，故选项A正确；由递推关系可知：，故选项B不正确；当，，故选项C正确；因为，所以，故选项D正确；故选：ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.曲线在点处切线的斜率为__________．【答案】【解析】【分析】求出函数的导函数，求出，即可得解.【详解】因为，所以，所以，即曲线在点处切线的斜率为.故答案： 14.若函数在上无极值点，则实数m的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】根据极值点的定义结合二次函数分析求解.【详解】因为，若函数在上无极值点，等价于在上至多有一个零点，则，解得，所以实数m的取值范围是.故答案为：.15.已知等比数列为递减数列，且，，则数列的通项公式__________．【答案】【解析】【分析】设数列的首项为，公比为，依题意由等比数列通项公式求出、，即可得解.【详解】设数列的首项为，公比为，显然，由，可得，所以，由，即，可得，解得或，因为数列为递减数列，所以，则，所以.故答案为：16.已知函数，其中e是自然对数的底数，若，则实数a的取值范围是__________．【答案】 【解析】【分析】由函数的奇偶性，单调性求解不等式即可.【详解】由，则，即函数为上的奇函数．又，函数为上的增函数，又，所以，即，解得，即实数的取值范围是．故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写成文字说明、证明过程或演算步骤.17.设等差数列公差为，等比数列公比为，已知.（1）求数列，的通项公式；（2）记，求数列的前项和.【答案】（1），，（2）【解析】【分析】（1）由求得,即可得到,进而求解即可；（2）由（1）可得,则利用分组求和法求解即可【详解】（1）因为,所以,又,所以,又因为,所以,因为,所以,.（2）. 所以.【点睛】本题考查等差数列、等比数列的通项公式,考查等差数列、等比数列前项和公式的应用,考查分组求和法求数列的和18.设函数，其中．（1）当时，求在区间上的最大值与最小值；（2）求函数的单调递增区间．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）利用导数可确定在上的单调性，进而确定最值点和最值；（2）求导后，根据的两根可确定的解集，由此可得单调递增区间.【小问1详解】当时，，，当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增，又，，，，【小问2详解】由题意知：定义域为，；令，解得：或；，，当时，， 的单调递增区间为.19.已知函数，．（1）求函数在上的值域；（2）若，，使得，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用导数可求得单调性，结合单调性可确定最值，由此可得值域；（2）将问题转化为，结合一次函数性质即可构造不等式求得结果.【小问1详解】，当时，；在上单调递减，，；在上的值域为.【小问2详解】，，使得，；当时，；由（1）知：当时，，，解得：，即实数的取值范围为.20.在数列中，，对，．（1）求数列的通项公式； （2）若，证明数列的前项和．【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）化简已知递推关系式可证得数列为等差数列，结合等差数列通项公式可整理推导得到；（2）利用裂项相消法可求得，由此可推理得到结论.【小问1详解】由得：，又，数列是以为首项，为公差的等差数列，，.【小问2详解】由（1）得：，，，，，即.21.已知数列满足．（1）求证：数列为等比数列；（2）设，求数列的前n项和．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据题意结合等比数列定义分析证明；（2）由（1）结合等比数列通项公式可得，利用错位相减法运算求解. 【小问1详解】当时，则，可得，且，即，所以，故是首项为4，公比为2的等比数列．【小问2详解】由（1）可知，则，所以，则①，②，①-②得，所以．22.已知函数．（1）若函数在点处的切线方程为，求a值；（2）若，对于任意，当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围．【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）由导数的几何意义求解参数的值即可；（2）不等式恒成立问题，构造新函数利用导数研究函数的单调性求解最值，从而求出实数m的取值范围即可.【小问1详解】 由题意得函数的定义域为，由函数在点处的切线方程为，得，解得【小问2详解】由得.不等式可变形为，即因为，且，所以函数在上单调递减.令则在上恒成立，即在上恒成立设，则.因为当时，，所以函数在上单调递减，所以，所以，即实数的取值范围为.【点睛】对于不等式恒成立求参数的取值范围问题，一般的解题思路为分离参数，构造新函数，转化为利用导数分析单调性，求最值即可.