四川省宜宾市叙州区第一中学2023届高考数学（理）适应性考试试题（Word版附解析）

叙州区一中高2020级高考适应性考试数学（理工类）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先利用指数函数的单调性和对数函数的定义域得到，，即可得到.【详解】由，，则，所以．故选：A.2.若复数（，为虚数单位）是纯虚数，则实数的值为（）A.B.6C.4D.【答案】D【解析】【分析】根据复数代数形式的运算法则化简，再根据复数的定义得到方程（不等式）组，解得即可.【详解】因， 因为复数为纯虚数，所以，解得.故选：D3.已知向量，，若与平行，则实数的值为（）A.B.C.6D.【答案】D【解析】【分析】先求与的坐标，然后由向量平行的坐标表示可得.【详解】因为，，所以，又与平行，所以，解得.故选：D4.“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要分件【答案】C【解析】【分析】运用换元法令，通过解一元二次不等式及指数不等式可得的范围，再结合集合的包含关系判断条件间的充分、必要关系.【详解】令，则由得，解得或，又因为，所以，即：，解得，又因为“”是“”充要条件，所以“”是“”的充要条件.故选：C. 5.函数的图像是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，令，可以排除AD，然后求导得，即可排除C.【详解】因为，令，则，即，解得，或，解得，所以当时，函数有1个零点，当时，函数有2个零点，所以排除AD；当时，，则，当时，，所以当时，，函数单调递增，所以B正确；故选：B.6.已知，则（）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】根据角的变换及诱导公式、二倍角的正弦公式、同角三角函数的基本关系求解.【详解】，，.故选：D7.设等比数列的前n项之积为Sn，若，，则a11=（）A.2B.4C.8D.16【答案】C【解析】【分析】根据题意结合等比数列的性质可得，，进而可得，运算求解即可.【详解】因为，，所以，，解得，，则，故．故选：C.【点睛】本题考查等比数列的性质，考查数学运算的核心素养．8.已知是奇函数，当时，，当时，的最小值为1，则a的值等于（）A.B.C.D.1【答案】D【解析】【分析】由奇函数性质知，当时，的最大值为-1，再利用导数求出函数的单调性求出，即得解. 【详解】由奇函数性质知，当时，的最大值为.令.当0<x<时，，在递增；当时，，在递减.∴.故选：D9.已知函数在区间内没有零点，但有极值点，则的取值范围（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据辅助角公式化简，由正弦函数的图像与性质求出的取值范围，最后根据两角和差公式求解.【详解】,其中（取为锐角），，其中（取为锐角），设，由，可得.在区间内没有零点，但有极值点时，,可得.所以.因为，，所以.所以，所以在上的最大值在取得，故. 又，,所以的取值范围是.故选:A.【点睛】知识方法:有关三角函数综合问题的求解策略:1.根据题意问题转化为三角函数的解析式和图像，然后再根据数形结合思想研究三角函数的性质，进而加深理解函数的性质.2.熟练应用三角函数的图像与性质，结合数形结合法的思想研究函数的性质(如:单调性、奇偶性、对称性、周期性与最值等)，进而加深理解函数的极值点、最值点、零点及有界性等概念与性质，但解答中主要角的范围的判定，防止错解.10.在三棱锥中，平面，且，当三棱锥的体积取最大值时，该三棱锥外接球的体积是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】设，根据已知条件用把三棱锥的体积表示出来，然后利用导数确定体积取最大值时的值，进而确定出三棱锥外接球的半径，从而求出体积.【详解】设，则，故三棱锥的体积. 设，则.由，得；由，得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，即三棱锥体积的最大值是，此时，即.因为平面，所以三棱锥外接球的半径，则三棱锥外接球的体积为.故选：B.11.设双曲线：的离心率为，过左焦点作倾斜角为的直线依次交的左右两支于，，则有．若，为的中点，则直线斜率的最小值是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】依题意可得，即可得到，从而表示出，再利用点差法得到，即可得到，再利用基本不等式计算可得.【详解】因为，所以，又，所以，则， 所以，设，，则，，所以，即，所以，即，所以，当且仅当，即时取等号，即直线斜率的最小值是.故选：C【点睛】关键点睛：根据解答的关键是用含的式子表示，再利用点差法得到，从而表示出，最后利用基本不等式求出最小值.12.已知函数，则下列说法中正确的是（）①函数有两个极值点；②若关于的方程恰有1个解，则； ③函数图象与直线（）有且仅有一个交点；④若，且，则无最值.A.①②B.①③④C.②③D.①③【答案】D【解析】【分析】求出分段函数的解析式以及各段导函数，得出函数的单调区间，即可得出①；作出函数图象，即可判断②；根据①求得的导函数，可推得，有恒成立，即可得出③；作图，根据图象得出与有3个交点时，的范围.然后用表示出，即可得出，构造函数，通过导函数研究函数的单调性，得出函数的最值，即可判断④.【详解】对于①，当时，，恒成立，所以在上单调递增；当时，，恒成立，所以，在上单调递减；当时，，恒成立，所以，在上单调递减.综上所述，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减.所以，在处取得极小值，在处取得极大值，故①正确；对于②，作出的图象如下图1由图1可知，若关于的方程恰有1个解，则或，故②错误； 对于③，由①知，当时，，因为，所以，所以，当且仅当；当时，；当时，，因为，所以，所以，当且仅当.综上所述，，有恒成立.又直线可化为，斜率为，所以函数的图象与直线（）有且仅有一个交点，故③正确；对于④，由图2可知，当时，函数的图象与有3个不同的交点.则有，所以，所以，.令，，则.令，则在上恒成立， 所以，在上单调递增.又，，根据零点存在定理可知，，使得，且当时，，所以，所以在上单调递减；当时，，所以，所以在上单调递增.所以，在处取得唯一极小值，也是最小值，无最大值，故④错误.综上所述，①③正确.故选：D【点睛】方法点睛：遇到条件时，常设，然后根据图象得出的范围.根据解析式，用表示出，将所求表达式表示为的函数，根据导函数研究函数的单调性、极值、最值等.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知实数x，y满足约束条件则的最大值为______．【答案】3【解析】【分析】作出可行域，通过平移直线即可求解.【详解】如图，由约束条件可得可行域为阴影部分， 由得，作出直线，由得交点坐标为，平移直线知，当直线过点时，z取得最大值，∴．故答案为：3.14.已知的二项式系数之和为64，则展开式中的系数为______（用数字作答）.【答案】60【解析】【分析】根据二项式展开式的二项式系数之和可得，解出n，结合通项公式计算即可求出的系数.【详解】由题意知，二项式系数之和，所以所以，所求的系数为.故答案为：60.15.现有7位同学（分别编号为）排成一排拍照，若其中三人互不相邻，两人也不相邻，而两人必须相邻，则不同的排法总数为________．（用数字作答）【答案】240【解析】【分析】把排列，产生4个空位，然后将看作一个整体与插入到中可求解.【详解】解：因两人必须相邻，所以把看作一个整体有种排法.又三人互不相邻，两人也不相邻，所以把排列，有种排法，产生了4个空位，再用插空法.（1）当分别插入到中间的两个空位时，有种排法，再把整体插入到此时产生的6个空位中，有6种排法. （2）当分别插入到中间的两个空位其中一个和两端空位其中一个时，有种排法，此时必须排在中间的两个空位的另一个空位，有1种排法.所以共有.【点睛】方法点睛：在排列组合中“相邻问题”用捆绑法策略处理；“不相邻问题”用插空法策略处理.16.如图，棱长为2的正方体中，P，Q为四边形内的点（包括边界），且点P到AB的距离等于到平面的距离，点Q到的距离等于到平面ABCD的距离，则的最小值为______.【答案】【解析】【分析】根据抛物线的定义得到P，Q的轨迹，结合图像，即可求解.【详解】当P，Q在线段上时，由P到AB的距离等于到平面的距离知，P到点B的距离等于到的距离，故点P在以B为焦点，为准线的抛物线上；同理，点Q在以为焦点，BC为准线的抛物线上.设这两条抛物线与的交点即分别为点，（如图1）.则P，Q的轨迹分别为四边形内过点，且平行于AB的线段（如图2）.则的最小值即为.如图3所示，建立平面直角坐标系，则的坐标为，，所在的抛物线方程为，，联立方程且，得，，，即的最小值为.故答案为：. 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17.在△ABC中，．（1）求B的值；（2）给出以下三个条件：①；②，；③，若这三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件并回答下面问题：（i）求的值；（ii）求∠ABC的角平分线BD的长．【答案】（1）（2）正确条件为①③，（i），（ii）【解析】【分析】（1）利用和角正弦公式可得，结合三角形内角和性质即可求B的值；（2）根据条件组合判断出正确条件为①③，（i）应用余弦定理、三角形面积公式求各边长，最后由正弦定理求；（ii）由角平分线性质求得，再根据三角形内角和定理及两角和的正弦公式求出，再根据正弦定理求BD的长．【小问1详解】由题设， 而，所以，故；【小问2详解】若①②正确，则，得或，所以①②有一个错误条件，则③是正确条件，若②③正确，则，可得，即②为错误条件，综上，正确条件为①③，（i）由，则，即，又，可得，所以，可得，则，故；（ii）因为且，得，由平分得，在中，，在中，由，得．18.如图，在三棱柱中，． （1）证明：；（2）若，且，求二面角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）取中点，连接，，证明平面，得到，再根据证明即可；（2）建立空间直角坐标系，得到各点坐标，计算两个平面的法向量，根据向量的夹角公式计算得到答案.【小问1详解】取中点，连接，，因为，，所以，，又，平面，所以平面，又平面，所以，又，所以.【小问2详解】由条件，可得，所以，同理，又，平面，所以平面， 以为坐标原点，过作的垂线为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，令，则，所以，设平面的一个法向量为，则，即，取，则，所以，设平面的一个法向量为，则，即，取，则，所以，故，又，所以二面角的正弦值为.19.鱼饼是许多浙南人心目中的白月光，作为伴手礼也是首选.某市的鱼饼原材料严选新鲜东海野生鮸鱼，在传统手工技艺上结合现代技术研发，每道工序都十分的考究.从原材料鮸鱼的筛选､鱼骨的剔除､独家配料的调制､古法工艺的制作至大厨精心烹制，经十余道工序匠心制作而成，新鲜出锅的鱼饼色净白，鱼香浓，味鲜柔，口感细腻，弹柔相济，属纯正温州地方美味.（1）某市质量技术检测科学研究院对某一批次的鱼饼进行检测，检测项目分别为菌落总数､氯霉素､铝的残留量，而且这三个检测项目互不影响，鱼饼需要经过这三个项目检测，只要有一项检测不合格就不允 许上架售卖.已知这批次鱼饼菌落总数检测不合格的概率为，氯霉素检测不合格的概率为，铝的残留量检测不合格的概率为.（i）求检测过程中，这批鱼饼不合格的概率；（ii）求在已经通过菌落总数和氯霉素的检测项目的情况下，仍不允许上架售卖的概率；（2）随着鱼饼市场的不断扩大.某市现针对鱼饼口感的满意度进行用户回访.统计了200名用户的数据，如下表：年龄满意程度合计满意不满意成人8020100儿童4060100合计12080200依据小概率值的独立性检验，能否认为年龄与满意程度有关联？参考公式：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1）（i）；（ii）（2）认为年龄与满意程度之间有关联【解析】【分析】（1）对于（i），根据相互独立事件的概率计算公式算出可以售卖的概率，然后可得答案，对于（ii），算出在已经通过菌落总数和氯霉素的检测项目的情况下，可以上架售卖的概率，然后可得答案；（2）根据列联表算出的值，然后可得答案.【小问1详解】设表示鱼饼可以上架售卖，表示分别通过菌落总数､氯霉素､铝的残留量的检测.（i）因为这三个检测是相互独立的，所以这批鱼饼允许上架售卖的概率为 因此这批鱼饼不合格的概率为.（ii）在通过菌落总数和氯霉素的检测项目后允许上架售卖的概率为：因此，通过菌落总数和氯霉素的检测项目但是仍不允许上架售卖的概率.【小问2详解】零假设为：变量与相互独立，即年龄与满意程度之间无关联.根据列联表中的数据，得：依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为年龄与满意程度之间有关联.20.已知椭圆：的左、右顶点分别为，，M是椭圆R上异于A，B的一点，且直线MA与直线MB的斜率之积满足.（1）求椭圆R的标准方程；（2）过点的直线交椭圆于C，D两点，且直线AC，BD交于点Q，求点Q的横坐标.【答案】（1）（2）4【解析】【分析】（1）根据已知条件可得a的值，设出M坐标，由点M坐标适合椭圆方程及可求得值，进而求得椭圆方程.（2）联立直线CD方程与椭圆方程，联立直线AC方程与直线BD方程并运用韦达定理代换可求得交点Q的横坐标.【小问1详解】 由题意知，，设，则，所以，解得：，所以椭圆方程为.【小问2详解】如图所示，设直线CD的方程为，设，，，则，，所以，因为直线AC方程为①，直线BD方程为②，所以联立①②得，所以Q点横坐标为4.21.已知．（） （1）讨论的单调性；（2）若，且存在，使得，求的取值范围．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）分和讨论即可；（2）代入值，分离参数得，，设，利用导数和隐零点法即可得到答案.【小问1详解】因为,所以,若时,单调递减,时,,单调递增；若,由得或,设,则,时,单调递减,时,单调递增,所以，所以,所以时,单调递减,，时,,单调递增.综上得,当时,在上单调递减,在上单调递增,当时,在上单调递减,在，上单调递增.【小问2详解】当时,,存在,使得成立,即成立,即成立， 设,则,设,，则在上单调递增，且,所以存在,使得,所以令，，在上单调递增,得,所以,时,单调递减,时,,单调递增，所以,所以,即的取值范围是.【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是利用分离参数法得到，然后设，利用导数求解最小值，其中用到了经典的隐零点法，是导数大题中的难点.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4极坐标与参数方程]22.已知曲线参数方程为（为参数），直线过点．（1）求曲线的普通方程；（2）若直线与曲线交于，两点，且，求直线的倾斜角．【答案】（1）. （2）或.【解析】【分析】（1）利用参数方程转普通方程即可求解.（2）写出直线的参数方程，参数方程代入，设，两点所对的参数为，利用韦达定理代入中，化简即可求解.【小问1详解】由曲线的参数方程为（为参数），得，，，即（为焦点在轴上的椭圆）.【小问2详解】设直线的倾斜角为，直线过点直线的参数方程为（为参数），将直线的参数方程代入，可得，，设，两点所对的参数为，，曲线与轴交于两点，在曲线的内部，一正一负，，而，， ，，，解得，为直线的倾斜角，，，，或，直线的倾斜角为或.[选修4-5不等式选讲]23.已知关于x的不等式有解.（1）求实数t的取值范围；（2）若a，b，c均为正数，m为t的最大值，且.求证:.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】(1)令，求出的最大值，由不等式有解可知，从而得到关于t的不等式，即可解出t的取值范围；(2)由柯西不等式得即可证明结论.【小问1详解】令，所以当时，取得最大值为3，关于x的不等式有解等价于，即当时，上述不等式转化为，解得，当时，上述不等式转化为，解得，综上所述t的取值范围为， 故实数t的取值范.【小问2详解】根据（1）可得a，b，c均为正实数，且满足，所以由柯西不等式可得，当且仅当，，时取等号，