安徽省合肥市第七中学2022-2023学年高一数学下学期期中试题（Word版附解析）

合肥七中2022~2023学年第二学期期中考试高一年级数学试卷（考试时间：120分钟满分：150分）一､单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个正确答案）1.复平面内表示复数的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】C【解析】【分析】化简复数可得，即可根据复数的几何意义得出答案.【详解】根据复数的除法运算求解，所以，复平面内表示该复数的点为，所以，复平面内表示复数的点位于第三象限.故选：C.2.平面向量与的夹角为，若，则（）A.B.C.4D.12【答案】B【解析】【分析】确定，计算，得到答案.【详解】，则，，故.故选：B3.攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒第22页/共22页学科网（北京）股份有限公司 尖、六角攒尖等，多见于亭阁式建筑.如故宫中和殿的屋顶为四角攒尖顶，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥，设正四棱锥的侧面等腰三角形的顶角为60°，则该正四棱锥的侧面积与底面积的比为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由侧面为等边三角形，结合面积公式求解即可..【详解】设底面棱长为，正四棱锥的侧面等腰三角形的顶角为60°，则侧面为等边三角形，则该正四棱锥的侧面积与底面积的比为.故选：D4.定慧禅寺位于江苏省如皋市，是国家AAA级旅游景区．地处如皋古城东南隅，寺门正对玉带河，东临放生池，西南傍玉莲池，寺院平面布置呈"回"字形，楼堂环绕四周，宝殿坐落中央，形成"水环寺，楼抱殿"独特格局．某同学为测量寺内观音塔的高度，在观音塔的正北方向找到一座建筑物，高约为22.5，在地面上点处（，，三点共线）测得建筑物顶部A，观音塔顶部的仰角分别为30°和45°，在A处测得观音塔顶部的仰角为15°，观音塔的高度约为（）A.32B.39C.45D.55【答案】C【解析】【分析】先在中求出的长度，然后再求出中，，利用正弦定理求出，最后利用三角函数定义求出的长度.第22页/共22页学科网（北京）股份有限公司 【详解】由题意得，在中，，在中，，，.由正弦定理得，，得，在中，.故选：C.5.已知圆台的母线长为4，上底面圆和下底面圆半径的比为1：3，其侧面展开图所在扇形的圆心角为，则圆台的高为（）A.B.C.4D.【答案】B【解析】【分析】首先画出几何体，根据几何关系，求解圆台的高.【详解】如图，将圆台还原为圆锥，上底面圆的半径为，下底面圆的半径为，底面圆周长为，因为圆台的母线长为4，根据上下底面圆的半径为为1：3，所以上圆锥的母线长为2，则圆台所在圆锥的母线长为6，因为圆台展开图所在扇形的圆心角为，所以，得，如图，圆台的高故选：B6.如图所示，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线、于不同的两点、，若，，则的最小值为（）第22页/共22页学科网（北京）股份有限公司 A.2B.3C.D.5【答案】C【解析】【分析】根据向量基本定理及向量共线定理的推论得到，再利用基本不等式求出最小值.【详解】若三点共线，，则，理由如下：因为三点共线，则有，即，即，故，故，其中，、、三点共线，，，当且仅当，即时，等号成立．故选：C．7.中，已知，设D是边的中点，且的面积为，则等于()A.2B.4C.-4D.-2【答案】A【解析】【分析】根据正、余弦定理求出；根据三角形面积公式求出；再根据D是边的中点，将第22页/共22页学科网（北京）股份有限公司 ，用和表示，再根据数量积的定义，即可求出结果．【详解】∵，∴，∴，即，∴，又角是的内角，∴，又，即，∴；又D是边的中点∴.故选：A．【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，同时考查了平面向量基本定理和数量积运算，属中档题．8.在锐角中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据已知条件，利用余弦定理和面积公式，结合倍角公式求得,进而求得A的各个三角函数值，再利用正弦定理边化角求得关于C的函数表达式，根据锐角三角形的条件得到，利用三角函数的性质求得取值范围即可．第22页/共22页学科网（北京）股份有限公司 【详解】解：△ABC中，，由，得，∴；即，∵，∴，∴，∴，∴，∵△ABC为锐角三角形，∴,∴，∴，∴,∴，故选：D．二､多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，每小题有多项符合题目要求）9.下列说法中正确的是（）A.平面向量的一个基底中，，一定都是非零向量.B.在平面向量基本定理中，若，则.C.若单位向量､的夹角为，则在方向上的投影向量是.D.表示同一平面内所有向量的基底是唯一的.【答案】ABC【解析】【分析】由平面向量基本定理，依次判定即可【详解】选项A：作为基底的两个向量一定不共线，零向量与任意向量共线，因此，一定都是非零向量，故A正确；选项B：，由在同一基底下向量分解的唯一性，有，故B第22页/共22页学科网（北京）股份有限公司 正确；选项C：在方向上的投影向量为：，故C正确；选项D：平面内任何两个不共线的向量都可作为基底，因此基底不是唯一的，故D错误故选：ABC10.已知为虚数单位，则下面命题正确的是（）A.若复数，则.B.复数满足，在复平面内对应的点为，则.C.若复数，满足，则.D.复数的虚部是1.【答案】ABC【解析】【分析】对于A，直接利用复数的除法运算求解，对于B，利用复数的模求解，对于C，直接复数的乘法运算求解判断，对于D，利用虚部的定义判断【详解】对于A，因为，所以，所以A正确，对于B，因为在复平面内对应点为，所以，因为，所以，所以B正确，对于C，令，因为，所以，所以，所以C正确，对于D，复数的虚部为，所以D错误，故选：ABC11.对于，有如下命题，其中正确的有（）.A.若，则是等腰三角形B.若是锐角三角形，则不等式恒成立C.若，则为钝角三角形D.若..，则的面积为【答案】BC【解析】第22页/共22页学科网（北京）股份有限公司 【分析】A选项，由正弦值相等，得到或，故A错误；B选项，由锐角三角形和正弦函数在上的单调性进行求解；C选项，先由正弦定理得到，再使用余弦定理即可求出为钝角；D选项，先用余弦定理得到，进而利用面积公式进行求解.【详解】在，，A选项，∵，∴或，∴或，则是等腰三角形或直角三角形，A错误，B选项，∵是锐角三角形，则，又在内单调递增，∴即恒成立，B选项正确，C选项，∵，∴，由正弦定理可得，∴，∴为钝角，则为钝角三角形，C对，D选项，∵..，设，由余弦定理可得，化为，解得或，经检验，均符合要求，则或，D错误，故选：BC.12.棱长为1的正方体中，为底面的中心，是棱上一点，且，，为线段的中点，下列命题中正确的是（）A.三棱锥的体积与的取值无关第22页/共22页学科网（北京）股份有限公司 B.当时，点Q到直线AC的距离是C.当时，D.当时，过三点平面截正方体所得截面的周长为【答案】ABD【解析】【分析】根据锥体体积计算、点线距离、线线垂直、正方体的截面等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】对选项A：由，因为到平面的距离为定值，且的面积为定值，所以三棱锥的体积跟的取值无关，所以A正确；对选项B：当时，是的中点，，，所以为锐角，所以,所以点Q到直线AC的距离是，所以B正确.对选项C：当时，，可得，，取的中点分别为，连接，则，第22页/共22页学科网（北京）股份有限公司 在直角三角形中，，则，所以不成立，所以C不正确．对选项D：当时，取，连接，则，又，所以，所以共面，即过三点的正方体的截面为，由，则是等腰梯形，且，所以平面截正方体所得截面的周长为，所以D正确；故选：ABD三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.一水平位置的平面图形的斜二测直观图是一个底平行于轴，底角为，两腰和上底长均为2的等腰梯形，则这个平面图形的面积是__________．【答案】##【解析】【分析】根据斜二测画法规则画出原平面图形，即可求出其面积【详解】由已知斜二测直观图根据斜二测化法规则画出原平面图形，如图所示：第22页/共22页学科网（北京）股份有限公司 这个平面图形的面积：．故答案为：．14.已知锐角三角形内接于单位圆，且，则面积的最大值是___________.【答案】【解析】【分析】由题意可知，由圆的性质可知，在中，使用余弦定理和基本不等式，可得，再根据三角形面积公式，即可求出结果.【详解】如图，设圆的半径为1，因为，所以是直角三角形，即，所以角，由余弦定理可知由基本不等式可知，当且仅当时，取等第22页/共22页学科网（北京）股份有限公司 号；所以，又.所以的面积的最大值为.15.根据祖暅原理，界于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．如图1所示，一个容器是半径为R的半球，另一个容器是底面半径和高均为R的圆柱内嵌一个底面半径和高均为R的圆锥，这两个容器的容积相等．若将这两容器置于同一平面，注入等体积的水，则其水面高度也相同．如图2，一个圆柱形容器的底面半径为，高为，里面注入高为的水，将一个半径为的实心球缓慢放入容器内，当球沉到容器底端时，水面的高度为______．（注：）【答案】【解析】【分析】根据祖暅原理，建立体积等量关系，代入体积运算公式求解即可.【详解】设铁球沉到容器底端时，水面的高度为h，由图2知，容器内水的体积加上球在水面下的部分体积等于圆柱的体积，由图1知相应圆台的体积加上球在水面下的部分体积也等于圆柱的体积，故容器内水的体积等于相应圆台的体积，因为容器内水的体积为，相应圆台的体积为，所以，解得，故答案：16.已知一个圆台内部的球与圆台的上、下底面以及每条母线均相切，设球与圆台的表面第22页/共22页学科网（北京）股份有限公司 积分别为，，体积分别为，，若，则______．【答案】【解析】【分析】找到球半径与圆台上、下底面半径之间的关系，用，表示出圆台和球的表面积，由条件求出，之间的关系，结合球的体积公式求.【详解】第一步：找到球半径与圆台上、下底面半径之间的关系设圆台的母线长为，高为，上、下底面圆心分别为，，半径分别为，，球的球心为，半径为，作出该组合体的轴截面如图所示，连接，易知点为的中点，则．设为球与圆台侧面的一个切点，连接，根据切线长定理可得，（切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等）所以（勾股定理的应用）所以，第二步：用，表示出圆台和球的表面积则，，（圆台的表面积公式）第三步：根据得到，之间的关系故，第四步：求出第22页/共22页学科网（北京）股份有限公司 所以．故答案：.三､解答题（本大题共5小题，共70分）17.已知复数，复数，其中是虚数单位，为实数．（1）若，为纯虚数，求值；（2）若，求的值．【答案】(1)(2)m=0,n=-1【解析】【分析】（1）利用复数的运算法则，结合纯虚数的概念，根据模的计算公式即可得出；（2）利用复数的运算法则、复数相等即实部与虚部分别相等可得出最终结果．【详解】（1）因为为纯虚数，所以．又，所以，，从而．因此．（2）因为，所以，即．又，为实数，所以解得【点睛】本题主要考查了复数的运算法则、模的计算公式、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.18.已知向量.（1）若向量，且，求的坐标；（2）若向量与互相垂直，求实数的值.【答案】（1）或（2）第22页/共22页学科网（北京）股份有限公司 【解析】【分析】（1）因为，所以可以设求出坐标，根据模长，可以得到参数的方程.（2）由于已知条件可以计算出与坐标（含有参数）而两向量垂直，可以得到关于的方程，完成本题.【详解】（1）法一:设，则，所以解得所以或法二:设，因为，，所以，因为，所以解得或，所以或（2）因为向量与互相垂直所以，即而，，所以，因此，解得【点睛】考查了向量的线性表示，引入参数，只要我们能建立起引入参数的方程，则就能计算出所求参数值，从而完成本题.19.如图，一个圆锥的底面半径，高，在其内部有一个高为的内接圆柱（圆柱的下底面在圆锥的底面上，上底面圆周上的点都在圆锥的侧面上）．第22页/共22页学科网（北京）股份有限公司 （1）求圆锥的侧面积；（2）当x为何值时，圆柱的侧面积最大？求出最大值．【答案】（1）（2）当时，圆柱的侧面积最大，最大面积为【解析】【分析】(1)由条件求圆锥的母线长，再根据圆锥的侧面积公式求解；(2)由圆柱的侧面积公式求圆柱的侧面积的表达式，再根据二次函数性质求其最值.【小问1详解】圆锥的母线长为，所以圆锥的侧面积为．【小问2详解】设圆柱的底面半径为r，如图可得，即，得．所以圆柱的侧面积．所以当时，S取得最大值．即当时，圆柱的侧面积最大，最大面积为．第22页/共22页学科网（北京）股份有限公司 20.在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且_________．（1）求角C的大小；（2）若，，求的面积．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据所选条件，应用正弦定理边角关系、和角正弦公式、三角形内角性质化简条件得到关于角C的三角函数值，即可得结果；（2）由已知及正弦定理可得，再由余弦定理有，进而求得，最后应用三角形面积公式求面积.【小问1详解】选①：由正弦定理得：，而，所以，整理得：，又，可得，而，则.选②：由正弦定理得：，而，所以，第22页/共22页学科网（北京）股份有限公司 则，而，可得，而，则.选③：由正弦定理得：，而且，则，又，所以，则，即.【小问2详解】由，则，故，而，则，可得，又，整理得，则，可得，所以的面积为.21.如图，某小区准备将闲置的一直角三角形地块开发成公共绿地，图中.设计时要求绿地部分（如图中阴影部分所示）有公共绿地走道，且两边是两个关于走道对称的三角形（和）.现考虑方便和绿地最大化原则，要求点与点均不重合，落在边上且不与端点重合，设.（1）若，求此时公共绿地的面积；（2）为方便小区居民的行走，设计时要求的长度最短，求此时绿地公共走道第22页/共22页学科网（北京）股份有限公司 的长度.【答案】(1)；(2).【解析】【详解】分析：（1）由题意可得，，则；（2）由题意可得，由正弦定理有，记，结合三角函数的性质可得时，取最大，最短，则此时.详解：（1）由图得：∴，又∴∴，∴；（2）由图得：且，∴，在中，由正弦定理可得:，∴，记，第22页/共22页学科网（北京）股份有限公司 又，∴，∴时，取最大，最短，则此时.点睛：解三角形应用题的一般步骤(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.22.在平面直角坐标系中，已知．（1）若为轴上的一动点，点．①当三点共线时，求点的坐标；②求的最小值﹔（2）若，且与的夹角，求的取值范围．【答案】（1）①；②5；（2）．【解析】【分析】（1）①设，根据题意，可得坐标，根据三点共线，可得与共线，根据向量共线的坐标运算，即可求得答案；②因为关于轴的对称点为，所以当三点共线时，取得最小值，代入两点间距离公式，即可得答案.（2）根据题意，求得坐标，根据题意可得恒成立，根据数量积公式，化简整理，可得恒成立，令，利用换元法，可得，恒成立，结合对勾函数的性质，即可得答案.【详解】解：（1）①设，则，所以，第22页/共22页学科网（北京）股份有限公司 因为与共线所以，解得，所以当三点共线时，点的坐标为②因为关于轴的对称点为所以，所以当三点共线时，取得最小值，最小值即为所以取得最小值.（2）因为，所以，所以，因为与的夹角，所以恒成立，所以，又因为，所以，所以，即恒成立，又因为，所以恒成立，令，则，换元可得，，因为，当且仅当时等号成立，第22页/共22页学科网（北京）股份有限公司 所以当时，有最小值，所以的取值范围是：【点睛】解题的关键是熟练掌握向量共线、数量积公式、对勾函数等知识，并灵活应用，易错点为，在应用换元法时，应写出新元的范围，再根据自变量范围，结合对勾函数的性质求解，属中档题第22页/共22页学科网（北京）股份有限公司