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安徽省宣城市2021-2022学年高一数学下学期期末试题(Word版附解析)
安徽省宣城市2021-2022学年高一数学下学期期末试题(Word版附解析)
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宣城市2021-2022学年度第二学期期末调研测试高一数学试题考生注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.全卷满分150分,考试时间120分钟.2.答题前,考生先将自己的姓名、考号在答题卷指定位置填写清楚并将条形码粘贴在指定区域.3.考生作答时,请将答案答在答题卷上.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑;第Ⅱ卷请用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上各题的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效,在试题卷、草稿纸上作答无效.4.考试结束时,务必将答题卡交回.第Ⅰ卷选择题(共60分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的)1.在复平面内,设复数满足,则复数所对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】【分析】设出复数的代数形式,再根据复数的乘法运算以以及复数相等的充要条件求出复数,进而根据复数的几何意义确定对应点所在象限.【详解】设出复数的代数形式为,,,,解得,,复数所对应的点为,在第四象限.故选:D.2.某学校高一、高二、高三共有学生3500人,其中高三学生人数是高一学生人数的两倍,高二学生人数 比高一学生人数多300人,现在按的抽样比用分层抽样的方法抽取样本,则应抽取高一学生人数为A.8B.11C.16D.10【答案】A【解析】【详解】若设高三学生数为x,则高一学生数为,高二学生数为+300,所以有x+++300=3500,解得x=1600.故高一学生数为800,因此应抽取高一学生数为=8.故答案为:A点睛:设出高一年级的人数,根据三个年级人数之间的关系,写出高二和高三的人数,根据学校共有的人数,得到关于高一人数的方程,解方程得到高一人数,用人数乘以抽取的比例,得到结果.本题考查分层抽样,在分层抽样之前有一个小型的运算,是一个基础题,运算量不大,可以作为选择和填空出现.分层抽样主要用于个体数量较多,且个体间具有明显差异的,这时采用分层抽样合适.3.数据5,6,7,7,8,8,9,10的第75百分位数是()A.7.5B.8C.8.5D.9【答案】C【解析】【分析】根据已知条件,结合百分位数的定义,即可求解.【详解】数据从小到大排列:5,6,7,7,8,8,9,10,共个数,,该组数据的第百分位数是第项和第项的平均数,即.故选:C.4.已知某种设备在一年内需要维修的概率为0.2.用计算器产生1~5之间的随机数,当出现随机数1时,表示一年内需要维修,其概率为0.2,由于有3台设备,所以每3个随机数为一组,代表3台设备一年内需要维修的情况,现产生20组随机数如下:412451312533224344151254424142435414335132123233314232353442据此估计一年内至少有1台设备需要维修的概率为()A.0.4B.0.45C.0.55D.0.6 【答案】B【解析】【分析】找出代表事件“一年内至少有1台设备需要维修”的数组,利用古典概型的概率公式可求得结果.【详解】由题意可知,代表事件“一年内至少有1台设备需要维修”的数组有:、、、、、、、、,共组,因此,所求概率为.故选:B.5.已知空间四边形中,,分别是,的中点,若,,,则与所成的角为()A30°B.45°C.60°D.90°【答案】A【解析】【分析】设G为AD的中点,连接GF,GE,由三角形中位线定理可得,,则∠GFE即为EF与CD所成的角,结合AB=2,CD=4,EF⊥AB,在△GEF中,利用三角函数即可得到答案.【详解】解:设G为AD的中点,连接GF,GE,则GF,GE分别为△ABD,△ACD的中线.∴,且,,且,则EF与CD所成角的度数等于EF与GE所成角的度数,又EF⊥AB,,∴EF⊥GF,则△GEF为直角三角形,GF=1,GE=2,∠GFE=90°,∴在直角△GEF中,,∴∠GEF=30°.故选:A.6.中,点为上的点,且,若,则()A.B.C.D. 【答案】B【解析】【分析】选定基向量,根据向量的加减法,用基底表示出向量,结合条件即可求得,可得答案.【详解】由题意可得,又,故,故,故选:B7.内角A、B、C所对边分别为a、b、c,且,则的值为()A.1B.3C.4D.5【答案】D【解析】【分析】由正弦定理将条件展开,,从而求得的值.【详解】由正弦定理知,,即,故,故故选:D8.如图,某沙漏由上、下两个圆锥组成,圆锥底面直径和高均为16,当细沙全部在上面的圆锥内时,其高度为圆锥高度的(中间衔接的细管长度忽略不计).当细沙全部漏入下部后,恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆,则此沙堆的侧面积为() A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】首先求得细沙在上部容器时小圆锥的底面半径为4,进而求出小棱锥的体积,接着求出流入下部后的圆锥形沙堆的高,最后求出沙堆的侧面积.【详解】细沙在上部容器时的体积,流入下部后的圆锥形沙堆底面半径为8,设高为,则,所以,下部圆锥形沙堆的母线长,故此沙堆的侧面积.故选:D.【点睛】圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面,计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算,而表面积是侧面积与底面圆的面积之和.二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)9.设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,下列说法正确的是()A.若m⊥α,n⊥α,则mnB.若α⊥β,m⊥β,mα,则mαC.若α⊥β,m⊂α,则D.若m⊂α,n⊂α,mβ,nβ,则αβ【答案】AB【解析】【分析】选项A.由线面垂直的性质可判断;选项B.由面面垂直的性质和线面垂直的性质判断;选项C.由面面垂直的性质和线面垂直的性质判断;选项D.没有直线m,n相交的条件,所以α,β可能平行,也可能相 交.【详解】选项A.由m⊥α,n⊥α,则mn,故A正确.选项B.由α⊥β,m⊥β,可得,或,由条件mα,所以,故B正确.选项C.α⊥β,m⊂α,设,若不垂直于,则与平面也不垂直,故选项C不正确.选项D.m⊂α,n⊂α,mβ,nβ,则α,β可能平行,也可能相交.故D不正确.故选:AB10.下列命题正确的是()A.若向量、满足,则或B.若向量,的夹角为钝角,则C.已知,,则向量在向量方向上的投影向量的长度为4D.设,是同一平面内两个不共线的向量,若,,则,可作为该平面的一个基底【答案】BCD【解析】【分析】当都不为零向量满足时,,判断A;根据数量积的定义可判断B;计算出量在向量方向上的投影向量的长度即可判断C;根据,不共线可推出,不共线,即可判断D.【详解】对于A,当都不为零向量且满足时,,故A错误;对于B,因为,当向量,的夹角为钝角时,,故,故B正确;对于C,,,则向量在向量方向上的投影向量的长度为,故C正确;对于D,由于,不共线,故,不共线,故,可作为该平面的一个基底,D正确;故选:BCD11.甲罐中有四个相同的小球,标号为1,2,3,4;乙罐中有五个相同的小球,标号为1,2,3,5,6.现 从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球,记事件A:抽取的两个小球标号之和大于5,事件:抽取的两个小球标号之积大于8,则()A.事件A与事件是对立事件B.事件与事件是互斥事件C.事件发生的概率为D.事件发生的概率为【答案】BC【解析】【分析】求得从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球,共包含个基本事件;再写出事件A,B包含的基本事件,即可判断A,B;写出事件以及包含的事件,即可以求得其概率,判断C,D.【详解】由题意知:从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球,共包含个基本事件;事件包含的基本事件有:,,,,,,,,,,,共11个基本事件;事件包含的基本事件有:,,,,,,,,共8个基本事件,可以看出,事件是事件的子事件,故错;事件包括:,,,,,,,,共9个事件,每个事件中两小球标号之积都小于8,故与事件是互斥事件,故正确;事件包含的基本事件为:,,,,,,,,,,,共11个,所以事件发生的概率为,故正确;事件包含的基本事件有:,,,,,,,,,,,共12个,所以事件包含的基本事件为:,,,共3个基本事件,所以事件发生的概率为,故不正确,故选:.12.已知正四面体的外接球、内切球的球面上各有一动点、,若线段的最小值为,则 ()A.正四面体的棱长为6B.正四面体的内切球的表面积为C.正四面体的外接球的体积为D.线段的最大值为【答案】ABD【解析】【分析】设这个四面体的棱长为,利用分割补形法求出其外接球的半径,由等体积法求其内切球半径,再由已知列式求解,然后逐个分析判断即可【详解】设这个四面体的棱长为,则此四面体可看作棱长为的正方体截得的,所以四面体的外接球即为正方体的外接球,外接球直径为正方体的对角线长,设外接球的半径为,内切球的半径为,则,所以,四面体的高为,则等体积法可得,所以,由题意得,所以,解得所以A正确,所以,所以外接球的体积为,所以C错误,因为内切球半径为,所以内切球的表面积为,所以B正确,线段的最大值为,所以D正确,故选:ABD第Ⅱ卷(非选择题共90分) 三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知向量,,若,则______.【答案】【解析】【分析】由向量垂直的坐标表示列出等式求解即可.【详解】,,解得.故答案为:.14.已知样本数据1,2,3,4,的平均数是3,则数据2,4,6,8,的方差是______.【答案】8【解析】【分析】先由平均数公式列方程求出,再求新数据的方差【详解】因为样本数据1,2,3,4,的平均数是3,所以,解得,所以数据2,4,6,8,10的平均数为,所以方差为,故答案为:815.某圆锥的侧面展开图是面积为,圆心角为的扇形,则该圆锥的轴截面的面积是______.【答案】【解析】【分析】由题意先计算出母线长,再可求出底面半径,从而可求出圆锥的高,进而可求出轴截面的面积【详解】设圆锥的底面半径为,母线长为,因为圆锥的侧面展开图是面积为,圆心角为的扇形,所以,解得,因为, 所以,得,所以圆锥的高为,所以圆锥的轴截面的面积是,故答案为:16.在锐角中,角,,所对的边分别为,,.若,则的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】由正弦定理,三角函数恒等变换的应用化简可得,由,为锐角,可得,解得的范围,可得求,,化简所求即可得解.【详解】,由正弦定理可得:,,可得:,即:,,为锐角,可得:,可得:,,又,可得:,综上,可得,可得:,,,故答案为:.四、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.在复平面内,复数,.(1)当为纯虚数时,求复数;(2)当时,复数对应的点记为点A,将点A绕着原点顺时针旋转到达点,求 所对应的共轭复数.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)根据纯虚数的概念列出方程组,求得,即得,计算可得答案;(2)由题意求得,,继而求得,根据复数的几何意义以及共轭复数的概念可得答案.【小问1详解】由题意得,解得,所以,则.【小问2详解】当时,,则,则,所以,所对应的复数,所以其共轭复数.18.2021年5月31日,中共中央政治局召开会议,会议指出,进一步优化生育政策,实施一对夫妻可以生育三个子女政策及配套支持措施,有利于改善我国人口结构、落实积极应对人口老龄化国家战略、保持我国人力资源禀赋优势.某地一家庭有甲、乙、丙三位小孩,他们是否需要照顾相互之间没有影响.已知在某一小时内,甲、乙都需要照顾的概率为,甲、丙都需要照顾的概率为,乙、丙都需要照顾的概率为.(1)求甲、乙、丙三位小孩在这一小时内需要照顾的概率;(2)求这一小时内恰有一位小孩需要照顾的概率.【答案】(1),,;(2).【解析】【分析】(1)设甲、乙、丙三位小孩在这一小时内需要照顾的概率分别是,,,根据已知条件以及事件的相互独立性列出方程组求解即可; (2)这一小时内恰有一位小孩需要照顾,即是甲、乙、丙三位小孩中的一位需要照顾,其余两位不需要照顾,结合互斥事件以及对立事件的概率公式进行求解即可.【小问1详解】设甲、乙、丙三位小孩在这一小时内需要照顾的概率分别是,,,则由题意得,解得.即甲、乙、丙三位小孩在这一小时内需要照顾的概率分别是,,.【小问2详解】设事件:这一小时内恰有一位小孩需要照顾,则,即这一小时内恰有一位小孩需要照顾的概率为是.19.在中,内角,,所对的边分别为,,,向量,,且.(1)求角;(2)若,______,求的周长.从①,②这两个条件中任选一个,补充在上面的横线上,并解答该问题.注:如果按照两个条件分别解答,则按第一个解答计分.【答案】(1);(2)条件选择见解析,.【解析】【分析】(1)根据两向量平行的坐标表示以及正弦定理得出,进而求出,即得角; (2)若选择①:已知角和边,利用正弦定理以及余弦定理分别求出边,进而求出周长;若选择②:首先利用同角三角函数的基本关系式求出,然后利用正弦定理求出边,进而求出周长.【小问1详解】,,由正弦定理得,∵为三角形的内角,∴,则,,又,∴.【小问2详解】若选择①:中,由正弦定理得,,又由余弦定理得,,则周长为.若选择②:,在中,由正弦定理得,,,.则周长为.20.已知某校高一年级全体学生的期末数学成绩全部介于65分到145分之间(满分150 分),为了解该年级学生的数学成绩情况,现从该年级的1000名学生中随机抽取50名学生的数学成绩,并分成八组:第一组,第二组,……第八组,得到如图所示的频率分布直方图.(1)求第七组的频率,并补全频率分布直方图;(2)求这50名学生数学成绩的平均分;(3)记数学成绩在120分以上为“优秀”,试估计该年级数学成绩为“优秀”的学生的人数.【答案】(1)0.08,直方图见解析(2)102分(3)150人【解析】【分析】(1)由频率分布直方图中各矩形面积之和为1,求得第七组的频率,即可补全分布图;(2)根据平均数的计算公式可求得这50名学生数学成绩的平均分;(3)求出数学成绩在120分以上为“优秀”的概率,即可求得答案.【小问1详解】由题意得,,所以第七组的频率是0.08.补全图形得如图:【小问2详解】, 所以这50名学生的数学成绩的平均分为102.【小问3详解】由频率分布直方图可知数学成绩为“优秀”的频率为,由样本估计总体:,所以得该年级“优秀”的学生大约有150人.21.如图,在中,,,,点在边的延长线上.(1)求的面积;(2)若,为线段上靠近的三等分点,求的长.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)在中利用正弦定理求出,再利用两角和的正弦公式求出,然后利用三角形的面积公式可求得结果,(2)方法1:由题意可得,代值计算即可,方法2:在中利用余弦定理求出,则可求得,再在利用正弦定理求出,从而可求出,然后在中利用余弦定理可求得【小问1详解】中,,因为,,所以因为, 所以.【小问2详解】方法1:因为为线段上靠近的三等分点,所以,所以,所以,则.方法2:在中,由余弦定理得,因为为线段上靠近的三等分点,所以,因为,所以,因为为锐角,所以,在中,由余弦定理得,,所以.22.如图,正方形与直角梯形所在平面互相垂直,,, .(1)求证:平面;(2)求四面体的体积;(3)求平面与平面的夹角的正切值.【答案】(1)证明见解析(2)(3)【解析】【分析】(1)先证明线线垂直,根据线面垂直的判定定理即可证明平面;(2)根据三棱锥的体积公式即可求得答案.(3)作辅助线,根据面面角的定义找到平面与平面的二面角的平面角,解直角三角形即可求得答案.【小问1详解】证明:由题意,可得,,平面,平面平面,所以平面,又平面,则,在正方形中,,又,则平面.【小问2详解】因为平面,平面平面,平面,又, 故,.【小问3详解】记交于,连接,过作,交于,连接,由题意知,,O为BD中点,故,∵平面,∴,则,则平面,则为平面与平面的夹角.∵,∴平面,则,四边形AOGF为平行四边形,故,由于,故平面BDE,故平面BDE,平面BDE,故,中,,,,则在中,,故平面与平面夹角的正切值为.
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高中 - 数学
发布时间:2023-06-25 23:30:02
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