青海省海东市2021-2022学年高二数学（文）下学期期末试题（Word版附解析）

海东市2021~2022学年第二学期学业水平测试高二数学试卷（文科）考生注意：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.2.请将各题答案填写在答题卡上.3.本试卷主要考试内容：人教A版选修1-1，选修1-2，选修4-4.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据复数的四则运算进行展开计算即可选出选项.【详解】解:原式为.故选:A2.点的极坐标为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由直角坐标和极坐标的关系确定的极坐标.【详解】由题设，且在第四象限，所以极坐标为. 故选：B3.关于下面演绎推理：大前提：指数函数均为单调函数．小前提：是指数函数．结论：是单调函数．下列表述正确的是（）A.大前提错误导致结论错误B.小前提错误导致结论错误C.推理形式错误导致结论错误D.此推理结论正确【答案】B【解析】【分析】判断大前提和小前提的正误后能求出结果．【详解】解：是幂函数，而非指数函数，是因为小前提错误导致结论错误．故选：B．4.已知复数满足，则虚部为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由题知，进而求解虚部即可.【详解】解：因为，所以，所以的虚部为.故选：D5.执行如图所示的程序框图，则输出的（） A.B.C.3D.【答案】B【解析】【分析】根据程序框图及其执行逻辑得到周期为3，并求出前3个值，利用周期性确定输出值.【详解】由题设，且，时，，时，，时，，…所以周期为3，而当时输出.故选：B6.“”是“”的（） A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用不等式的性质及对数函数单调性即可得到二者之间的逻辑关系.【详解】由，得，则；由，得，但不能得到故“”是“”的充分不必要条件.故选：A7.给出下列类比推理命题，其中类比结论正确的是（）A.由“已知a，b为实数，若，则”类比推出“已知a，b为复数，若，则”B.由“已知a，b，c为实数，若，则”类比推出“已知，，为平面向量，若，则”C.由“在平面内，若直线a，b，c满足，，则”类比推出“在空间内，若直线a，b，c满足，，则”D.由“若圆O的半径为r，则圆O的面积为”类比推出“若球O的半径为R，则球O的表面积为”【答案】B【解析】【分析】A由复数的性质判断；B利用作差法及向量数量积运算律判断；C由线线垂直判断线线位置关系；D根据球体表面积公式判断.【详解】A：若，则，但不能比大小，错误；B：由，则，故，正确；C：空间中，，则可能异面、相交或平行，错误；D：对于半径为R的球体，其表面积为，错误.故选：B8.已知直线的参数方程为（为参数），则的倾斜角是（）A.10°B.100°C.110°D.170°【答案】B【解析】 【分析】将直线参数化为标准形式即可得出斜率，求出倾斜角.【详解】因为，所以直线的斜率为，所以的倾斜角是.故选：B.9.已知函数在上有零点，则的最小值是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由参变量分离法可知关于的方程在上有解，令，利用导数求出函数的最小值，即为实数的最小值.【详解】函数在上有零点，等价于关于的方程在上有解，即在上有解.令，则由，得；由，得.则在上单调递增，在上单调递减.因为，，所以，则， 即的最小值为.故选：D.【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.10.若复数z满足，则的最大值为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先由得到，再将的最大值转化为圆上的点到的距离的最大值，由圆心到的距离加半径求出最大值即可.【详解】设，则．因为表示以为圆心，以2为半径的圆，所以可理解为圆上的点到的距离，最大值为圆心到的距离加半径，即，故的最大值为．故选：B.11.同时转动如图所示的两个转盘，记转盘甲得到的数为，转盘乙得到的数为，构成数对，则所有数对中满足的概率为（） A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】列举出数对所有可能的结果，并确定满足的数对个数，根据古典概型概率公式可得结果.【详解】数对所有可能的结果有：，，，，，，，，，共个；其中满足的数对有：，，，共个；所求概率.故选：C.12.已知抛物线的焦点为F，准线为，过的直线与抛物线交于A，B两点，与准线交于C点，若，且，则（）A.4B.12C.4或16D.4或12【答案】A【解析】【分析】利用焦半径将线段比转化，设出直线方程，联立得两根之积，列出方程，求出的值.【详解】如图，过A，B向作垂线，垂足分别为D，E，则.设，，因为，，所以.因为，所以，.设直线的方程为， 联立方程组得，则.因为，所以或.因为，所以，故.故选：A第II卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.曲线上任意一点P到直线的距离的最大值为________．【答案】5【解析】【分析】将曲线、直线化为普通方程，利用点到直线距离求圆上点到直线距离的最大值即可.【详解】由题设，对应普通方程为，即为圆心，半径为2的圆；对应普通方程为，所以到直线的距离为，故上点到距离的最大值为.故答案为：514.若双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且，则等于 _________.【答案】10【解析】【分析】求得双曲线的，由双曲线的定义可得，代入已知条件解方程即可得到所求值．【详解】解：双曲线的，由双曲线的定义可得，由，可得，解得舍去）．故答案为：．【点睛】本题考查双曲线的定义和方程，考查定义法的运用，以及运算能力，属于基础题．15.已知某商品的广告费（万元）与销售额（万元）之间的数据如下：345675.25.96.87.18根据上表数据可得线性回归方程为,则当投入8万元广告费时,销售额约为_______万元.【答案】8.64【解析】【分析】根据线性回归方程过点,求出点的坐标,代入回归方程求出后,将代入方程即可.【详解】解:由题意可得,,则,解得,故.当时,.故答案为:8.6416.小张、小明、小红三人去选报课外社团活动，每人选报的活动不是篮球就是围棋，且每人只能选报其中一种．①如果小张选报的是篮球，那么小明选报的是围棋．②小张或小红选报的是篮球，但是不会两人都选报篮球． ③小明和小红不会两人都选报围棋．同时满足上述三个条件的不同选报方案有________种．【答案】【解析】【分析】利用假设法，假设小张选报的是篮球，推出矛盾，即可得到小张选报的是围棋，同时得到小红选报的一定是篮球，从而得解；【详解】解：根据题意，如果小张选报的是篮球，由①可得小明选报的是围棋，由于③，则小红选报的是篮球，此时小张和小红选报的都是篮球，与②矛盾，即小张不能选报篮球，故小张选报的是围棋，故符合题意的选报有小张报围棋，由②知小红选报的一定是篮球，小明选报篮球或围棋均可，故同时满足①②③三个条件的不同选报方案有2种；故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.“双十一”发展至今,已经从一个单纯的网络促销活动变成社会经济重大现象级事件.为了了解市民“双十一”期间网购情况,某统计小组从网购的消费者中,随机抽取了当天100名消费者,其中男女各半.若消费者当天消费金额不低于1000元,则称其为网购达人.已知抽取的100名消费者中,网购达人中女性消费者人数是男性消费者人数的2倍,且女性消费者中,网购达人占.（1）请完成答题卡上的列联表；（2）能否有99%的把握认为是否为网购达人与性别有关？参考公式：,其中参考数据：0.100.050.01000012.7063.8416.63510.828【答案】（1）表格见解析（2）有99%的把握认为是否为网购达人与性别有关联.【解析】【分析】(1)根据比例和总人数得出网购达人中男性和女性消费者各多少人,再求出女性消费者中, 网购达人的数目,因为消费者中男女各半,补全联表中其他数据即可;(2)根据(1)中表格数据,计算的值,对应表中的数据,判断是否有99%的把握认为是否为网购达人与性别有关联即可.【小问1详解】解:由题意可得女性消费者中,网购达人有人,非网购达人有人,则男性消费者中,网购达人有人,非网购达人有人,故得列联表如下：性别网购达人非网购达人合计男性153550女性302050合计4555100【小问2详解】由(1)可得,则有99%的把握认为是否为网购达人与性别有关联.18.在平面直角坐标系中，曲线参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程是（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线交于，两点，点，求的值.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）消去参数得曲线的普通方程，利用极坐标与直角坐标的互化公式得直线的直角坐标方程. （2）求出直线的参数方程，再利用参数的几何意义求解作答.【小问1详解】由消去参数，得，把代入，得，所以曲线的普通方程为，直线的直角坐标方程为.【小问2详解】依题意，点在直线上，其参数方程为（为参数），将直线的参数方程代入曲线的普通方程并整理得，设，对应的参数分别是，，则，，所以.19.随着人们生活水平的提高，私家车占比越来越大，汽车使用石油造成的空气污染也日益严重．新能源汽车不仅降低了对石油进口的依赖，也减少了对整个地球环境的污染．某新能源车2016〜2021年销量统计表如下：年份201620172018201920202021年份编号x123456销量y/万辆2.73.33.644.65.2通过数据分析得到年份编号x与对应的新能源车销量y（单位：万辆）具有线性相关关系．（1）求该新能源车销量y（单位：万辆）关于年份编号x的线性回归方程；（2）根据（1）中的线性回归方程预测2025年和2026年该新能源车销量的平均值．参考公式：，．【答案】（1） （2）万辆【解析】【分析】（1）根据表中数据及参考公式，求出，，进而求得回归直线方程；（2）将和代入上式的线性回归方程中及平均数的定义即可求解.【小问1详解】由题意可得，．，，则，从而，故该新能源车销量y关于年份编号x的线性回归方程为．【小问2详解】当时，；当时，．则2025年和2026年该新能源车销量的平均值为万辆．20.在各边长均不相等的中，内角的对边分别为，且满足．（1）用分析法证明；（2）用反证法证明为锐角．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）将所证不等式转化为证明，对已知等式应用基本不等式即可得到结论；（2）假设，可知；利用余弦定理和基本不等式可得 ，由此可知假设错误，得到结论.【小问1详解】要证，只需证：，为三边，只需证，即证，即证，又（当且仅当时取等号），互不相等，成立，.【小问2详解】假设，则；由余弦定理得：，（当且仅当时取等号），互不相等，，，与矛盾，假设不成立，为锐角.21.已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为，，过的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为45°，到直线l的距离为．（1）求椭圆C的焦距；（2）若，求椭圆C的方程．【答案】（1）2（2）【解析】分析】（1）设出直线方程，利用点到直线距离公式得到，求出椭圆焦距；（2）联立直线方程和椭圆方程，得到两根之和，两根之积，根据向量的线性关系得到，代入两根之和，两根之积，求出，求出椭圆方程.【小问1详解】由题意知直线l的方程为． 因为到直线l的距离为，所以，解得：，所以椭圆C的焦距为2．【小问2详解】由（1）知直线l的方程为，设，，联立方程组消去x得，所以，．因为，所以，所以，，消去得，解得：，从而，所以椭圆C的方程为．22.已知函数（1）当时，求的最大值；（2）若对任意的恒成立，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）当时，利用导数分析函数的单调性，可求得函数的最大值；（2）由参变量分离法可得对任意的恒成立，利用导数求出函数的最大值，即可得出实数的取值范围.【小问1详解】 解：当时，，该函数的定义域为，则，由，得；由，得.则在上单调递增，在上单调递减，故的最大值为.【小问2详解】解：对任意的恒成立，等价于对任意的恒成立.设，其中，则，由，得；由，得.则在上单调递增，在上单调递减.从而，故，即的取值范围是.