辽宁省沈阳市东北育才学校2022-2023学年高二数学下学期期中试卷（Word版附解析）

2022-2023学年度下学期34届期中考试数学学科一、单选题（共40分）1.已知函数在处可导，且，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据导数的定义可得，再根据极限的性质计算可得.【详解】因为函数在处可导，且，所以，所以.故选：C2.已知为等比数列，是方程的两根，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据韦达定理判断、的正负，从而求出求出的正负，并求出，根据即可求出﹒【详解】设数列的公比为，因为是方程的两根，所以，，所以，，又为等比数列，所以，，则﹒故选：A. 3.根据历年气象统计资料，某地4月份的任一天刮东风的概率为，下雨的概率为，既刮东风又下雨的概率为．则4月8日这一天，在刮东风的条件下下雨的概率为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】设事件表示吹东风，事件表示下雨，得到，，结合，即可求解．【详解】由题意，设事件表示吹东风，事件表示下雨，则，，，所以在吹东风的条件下下雨的概率为．故选：D．4.已知数列，则（）A.-48B.-50C.-52D.-49【答案】B【解析】【分析】通过计算前几项可知，进而计算可得结论．【详解】解：，，，，，，，，，，， ，，，，故选：．【点睛】本题考查数列的通项及前项和，找出规律是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．5.蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关.如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”.画法如下：在水平直线上取长度为1的线段AB，作一个等边三角形ABC，然后以点B为圆心，AB为半径逆时针画圆弧交线段CB的延长线于点D（第一段圆弧），再以点C为圆心，CD为半径逆时针画圆弧交线段AC的延长线于点E，再以点A为圆心，AE为半径逆时针画圆弧……以此类推，当得到的“蚊香”恰好有11段圆弧时，“蚊香”的长度为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】确定每段圆弧的中心角是，第段圆弧的半径为，由弧长公式求得弧长，然后由等差数列前项和公式计算．【详解】由题意每段圆弧的中心角都是，第段圆弧的半径为，弧长记为，则，所以．故选：D．6.若，则（） A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由选项AB构造函数，利用导数研究函数的性质，结合图形可知无法判断与的大小；由选项CD构造函数，利用导数讨论函数的单调性，即可求解.【详解】由选项AB可知，构造函数，则，作出函数和在上的图象，如图，由图象知函数在（0,1）上有一个零点，则当时，单调递减，当时，单调递增，而，所以无法判断与的大小，故AB错误；由选项CD可知，构造函数，得，当时，，则函数在上单调递增，有，即，所以，故D正确.故选：D．7.云计算是信息技术发展的集中体现，近年来，我国云计算市场规模持续增长.已知某科技公司2018年至2022年云计算市场规模数据，且市场规模y与年份代码x的关系可以用模型（其中e为自然对数的底数）拟合，设，得到数据统计表如下：年份2018年2019年2020年2021年2022年年份代码x12345云计算市场规模y/千万元7.4112036.666.7 22.433.64由上表可得经验回归方程，则2025年该科技公司云计算市场规模y的估计值为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据可得线性回归方程，再由回归方程求出2025年的预测值，代入即可得解.【详解】因为，所以，即经验回归方程，当时，，所以，即2025年该科技公司云计算市场规模y的估计值为，故选：B8.若在恒成立，则k的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由参数分离法，转为研究恒成立，结合二阶导数法求不等式右侧的最小值，其中最值点通过构造函数结合单调性求得.详解】.令，则.令，设，，则，∴在单调递增，故在单调递增， 又，，∴，，则单调递减，单调递增，∴.∵，令，两式相加得，令，则在单调递增，又，∴.∴，∴，故.故选：C【点睛】方法点睛：（1）函数不等式恒成立问题一般可由参数分离法，转化为求函数的最值问题；（2）指对数复杂函数最值一般采用导数法求得，其中结合零点存在定理设出最值点，可得最值点的导函数方程，从而化简求值.二、多选题（共20分）9.已知数列，下列结论正确的有（）A.若，，则B.若，，则C.若，则数列是等比数列D.若已知为等差数列的前n项和，，则【答案】ABD【解析】 【分析】直接利用叠加法可判断选项A；利用累乘法可判断B项；利用与的关系罗列前三项即可根据等比数列定义判断C项；利用等差数列的前n项和公式的性质计算即可判断D项.【详解】选项A.由，即则，故A正确.选项B.由则，累乘可得故，故B正确；选项C.由，可得当时，当时，得，当时，得，显然，所以数列不是等比数列，故C错误.选项D.由等差数列前项和公式可得，设公差为d,则，所以，故D正确.故选：ABD10.在平面直角坐标系的第一象限内随机取一个整数点，若用随机变量表示从这个点中随机取出的一个点的横、纵坐标之和，表示，同时发生的概率，则（）A.当时，B.当时，C.当时，的均值为D.当（且）时， 【答案】ACD【解析】【分析】利用条件概率公式可判断A选项；列举出满足的点的坐标，利用古典概率公式可判断B选项；利用离散型随机变量的期望公式可判断C选项；列举出满足，的点的坐标，利用古典概型的概率公式可判断D选项.【详解】对于A选项，当时，整数点共个，则，由得，即满足，的点的坐标为，所以，，A对；对于B选项，当时，整数点共个，满足的整数点为，，则，B错；对于C选项，当时，的分布列如下表所示：的可能取值有、、、、、、，满足的点为，则，满足的点为、，则，满足的点为、、，则，满足的点为、、、，则，满足的点为、、，则，满足的点为、，则，满足的点为，则，故当时，，C对；对于D选项，满足的解为，则，D对. 故选：ACD.11.已知当时，，则（）A.B.C.D.【答案】ACD【解析】【分析】根据给定的不等式，赋值变形判断A；赋值求和判断CD；变形不等式右边，借助二项式定理及组合数的性质推理判断D作答.【详解】因为，令，，则，令，，则，A正确；因为，则，，…，，以上各式相加有，B错误；由得，，即，于是，，，…，，以上各式相加有，即，C正确；由得，，因此，设，，则，所以，D正确．故选：ACD【点睛】关键点睛：由给定信息判断命题的正确性问题，从给定的信息出发结合命题，对变量适当赋值，再综合利用相关数学知识及方法是解决问题的关键.12.已知函数，.（） A.若曲线在点处的切线方程为，且过点，则，B.当且时，函数在上单调递增C.当时，若函数有三个零点，则D.当时，若存在唯一的整数，使得，则【答案】BCD【解析】【分析】A选项，由导数几何意义结合题意可知，即可判断选项正误；B选项，利用导数知识结合可得的单调区间，即可判断选项正误；C选项，有三个零点等价于直线与函数图象有3个交点，利用函数研究单调性，极值情况，即可判断选项正误；D选项，由题可得，存在唯一整数，使图象在直线下方.，利用导数研究单调性，极值情况，可得其大致图象，后利用切线知识结合图象可确定及相关不等式，即可判断选项正误.【详解】A选项，，由题，，则，，故A错误；B选项，当时，，.因，则.或在上单调递增，则在上单调递增，故B正确；C选项，当时，令， 注意到当时，，则，则函数有三个零点，相当于直线与函数图象有三个交点.令，其中..令或在上单调递增；或或或在，上单调递减，又，则可得大致图象如下，则由图可得，当，直线与函数图象有三个交点，即此时函数有三个零点，故C正确；D选项，由题可得，， 即存在唯一整数，使图象在直线下方.则，，得在上单调递减，在上单调递增，又，过定点，可在同一坐标系下做出与图象.又设过点切线方程的切点为，则切线方程为：，因其过，则或，又注意到结合两函数图象，可知或2.当时，如图1，需满足；当时，如图2，需满足；综上：，故D正确.故选：BCD【点睛】关键点睛：对于选填题，为便于快速找到答案，常使用数形结合思想，用直观的图象解决函数零点与函数不等式成立问题，而做出图象的关键就是利用导数知识研究函数的单调性，极值.三、填空题（共20分） 13.已知两个离散型随机变量，满足的分布列如下：012a当时，______________________.【答案】5【解析】【分析】根据分步列中概率之和为1以及期望的公式即可求解，由方差的公式以及性质即可求解.【详解】由题意可知：，且，解得，所以，所以,故答案为：514.某附属中学有四个学院：步青学院，家祯学院，希德学院，望道学院；共474人，这四个学院的学生人数依次分别为，若构成公差为12的等差数列，构成等比数列，则步青学院的人数为______.【答案】96【解析】【分析】利用等差数列和等比数列的定义和性质列方程组求解即可.【详解】由构成公差为12的等差数列可得，由构成等比数列可得①，又因为②，联立①②解得或（舍去）.故答案为：9615.课外活动期间，几名篮球爱好者在体育老师指导下进行定点投篮训练，约定每人最多投篮10次，若某同学第n次投篮进球为首次连续进球，则该同学得分且停止投篮.例如：某同学前两次均投篮进球，则得10分，且停止投篮.已知同学甲每次投篮进球的概率 均为，则甲在第2次投篮恰好进球，且得5分时停止投篮的概率为___________.【答案】【解析】【分析】确定甲第6次与第7次为首次连续进球，且第1次未进球，第3次未进球，第5次未进球，第4次可以进球也可以不进球，计算得到概率.【详解】甲在第2次投篮恰好进球，且得5分时停止投篮，则第6次与第7次为首次连续进球，且第1次未进球，第3次未进球，第5次未进球，第4次可以进球也可以不进球，所以所求概率为.故答案为：16.已知是函数的导函数，在定义域内满足，且，若，则实数的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】由，得，利用，可求得，利用导数证明在上递增，等价于，由单调性可得结果.【详解】由，得，，令， ，，，令，当时，，当时，在上递减，在上递增，，在上递增，，，可得，解得，即实数的取值范围是.故答案为:.【点睛】利用导数研究抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造.构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造，构造，构造，构造等.四、解答题（共70分） 17.设正项数列的前n项和为，且，当时，．（1）求数列的通项公式；（2）设数列满足，且，求数列的通项公式．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据结合题意可得是以为首项，1为公差的等差数列，进而可得的通项公式；（2）根据累加法与错位相减法求解即可.【小问1详解】由，得，因为，所以，所以是以为首项，1为公差的等差数列，所以，所以，当时，，当时，也满足上式，所以数列的通项公式为．【小问2详解】由知：当时，，①，则②，由得：，化简得：，当时，也满足上式，所以数列的通项公式为． 18.在数列中，，且.（1）求的通项公式；（2）设，数列的前项和为，若，求正整数的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由已知得，所以数列是等差数列，且公差．又得，从而，即可得；（2）由题可知，用裂项相消法求得，结合即可得解.【小问1详解】由，得，即，所以数列是等差数列，且公差．又因为，所以，解得，所以，即．【小问2详解】由题可知， ．由，得，解得．19.根据交管部门有关规定，驾驶电动自行车必须佩戴头盔，保护自身安全，某市去年上半年对此不断进行安全教育.下表是该市某主干路口去年连续5个月监控设备抓拍到的电动自行车驾驶员不戴头盔的统计数据：月份12345不戴头盔人数120100907565（1）请利用所给数据求不戴头盔人数与月份之间的回归直线方程；（2）交管部门统计连续5年来通过该路口的电动车出事故的100人，分析不戴头盔行为与事故是否伤亡的关系，得到下表，能否有95%的把握认为不戴头盔行为与事故伤亡有关？不戴头盔戴头盔伤亡1510不伤亡2550参考数据和公式：，【答案】（1）；（2）有95%的把握认为不戴头盔行为与事故伤亡有关【解析】【分析】（1）先求得，进而求得不戴头盔人数与月份之间的回归直线方程；（2）求得的值并与进行大小比较进而得到是否有95%的把握认为不戴头盔行为与事故伤亡有关. 【小问1详解】由题意知，，，，所以，回归直线方程为【小问2详解】故有95%的把握认为不戴头盔行为与事故伤亡有关20.某精密仪器生产厂家计划对本厂工人进行技能考核，方案如下：每名工人连续生产出10件产品，若经检验后有不低于9件的合格产品，则将该工人技能考核评为合格等次，考核结束；否则，将不合格产品交回该工人，调试后经再次检验，若全部合格，则将该工人技能考核评为合格，考核结束，否则，将该工人技能考核评为不合格，需脱产进行培训．设工人甲生产或调试每件产品合格的概率均为，且生产或调试每件产品是否合格互不影响．（1）求工人甲只生产10件产品即结束考核的概率；（2）若X表示工人甲生产和调试的产品件数之和，求随机变量X的数学期望．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意可得，结合二项分步分析运算；（2）根据期望公式结合与之间关系分析运算.【小问1详解】设甲生产10件产品中合格品件数为，则，则，所以甲只生产10件产品即结束考核的概率.【小问2详解】由（1）可知：，， 可得随机变量的期望，故，由题意可得：，或，则，故随机变量X的数学期望.21.已知函数，是上的奇函数，当时，取得极值．（1）求函数的单调区间和极大值；（2）若对任意，都有成立，求实数的取值范围；（3）若对任意，，都有成立，求实数的取值范围．【答案】（1）的单调减区间为，单调增区间为和；极大值为2（2）（3）【解析】【分析】（1）由是上的奇函数求出，当时，取得极值，求出，利用导数求的单调区间和极大值；（2）对任意，都有成立，等价于在时恒成立，构造新函数，利用导数求区间内最大值即可；（3）依题意有在区间上的最大值都小于或等于的最小值，利用函数单调性和二次函数的性质，分别求在区间上的最大值和在区间上的最小值即可.【小问1详解】是上的奇函数， ，即，得恒成立，可得，即，又当时，取得极值，，解得，故函数，导函数，令解得，当或时，，当时，，单调增区间为和，单调减区间为，故当时，取到极大值【小问2详解】，对任意，都有成立，只需在时恒成立，构造函数，，则有，令可得或，当时，，单调递减当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，取到极大值，又，故的最大值为8，故实数的取值范围为：；【小问3详解】若对任意，，都有成立，即在区间上的最大值都小于或等于的最小值，由（1）可知：当时，单调递减，当时，单调递增，故当时，函数取到极小值，也是该区间的最小值，而为开口向上的抛物线，对称轴为，故当时取最大值 ，由，解得故实数的取值范围为：22.已知函数，.（1）当时，讨论方程解的个数；（2）当时，有两个极值点，，且，若，证明：（i）；（ii）.【答案】（1）答案见解析；（2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析.【解析】【分析】（1）方法1，由，可得，后令，利用导数知识可得其值域即可知解的情况；方法2，，利用导数知识可知时，的单调性与零点情况，又利用可知当时，，即可得解的情况；（2）（i）由题可得，由结合单调性可得，后通过构造可证；（ii）由（i）可知，后说明，即可证明结论.【小问1详解】方法一：，. 设，则.设，则，单调递减.，当时，，，单调递增；当时，，，单调递减.，当时，方程有一解，当时，方程无解；方法二：设，则.设，则.单调递增当时，，当时，，单调递减；当时，，单调递增.，方程有一解.当时，.令,令，则在上单调递增，又，则在上单调递减，在上单调递增，则.即，无解，即方程无解.综上，当时，方程有一解，当时，方程无解．【小问2详解】（i）当时，，则，，是方程的两根. 设，则，令，解得，在上单调递减，在上单调递增.，，当时，，，.由.令，，，.等价于.设，，则，单调递增，，，即，，综上，；（ii）由（i）知，，.由（i）知，，设，，则.单调递减，，即.. 设，，则.单调递增，又，当时，.，，即命题得证.【点睛】关键点睛：本题涉及讨论函数零点及极值点偏移问题.对于零点问题，常利用分离参数法和研究函数单调性解决，还可以利用数形结合思想转化为函数图象与直线的交点问题；对于极值点偏移问题，关键是将多变量转变为单变量，常利用引入参数或不等关系构造新函数证明结论.