辽宁省沈阳市东北育才学校2022-2023学年高一数学上学期期末试卷（Word版附解析）

2022～2023学年辽宁省沈阳市和平区东北育才学校高一（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1.已知集合，，则（）A.B.C.，D.【答案】D【解析】【分析】根据已知条件及交集的定义即可求解.【详解】由题意可知，解得，所以.故选：D.2.若且.则成立的一个充分非必要条件是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据充分非必要条件的定义，依次排除选项.【详解】A.当时，，则，故A错误；B.当时，不满足，故B错误；C.当时，，则，反过来，时，，推不出，所以是成立的一个充分非必要条件，故C正确；D.当时，不满足，故D错误.故选：C3.某中学举行运动会，有甲､乙､丙､丁四位同学参加100 米短跑决赛，现将四位同学随机地安排在这4个跑道上，每个跑道安排一名同学，则甲不在1跑道且乙不在4跑道的概率为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，按甲是否在道上分2种情况讨论，求出每种情况的安排方法数目，由加法原理计算可得甲不在1跑道且乙不在4跑道的总的方法数，再利用古典概型的概率求解．【详解】解：根据题意，分2种情况讨论：①若甲在道上，剩下3人任意安排在其他3个跑道上，有种排法，②若甲不在道上，甲的安排方法有2种，乙的安排方法也有2种，剩下2人任意安排在其他2个跑道上，有2种安排方法，此时有种安排方法，故共有种不同的安排方法，现将四位同学随机地安排在这4个跑道上，共有.由古典概型的概率公式得所求的概率为.故选：B．4.我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，已知，则（）A.B.C.D. 【答案】A【解析】【分析】利用平面向量的线性运算及平面向量的基本定理求解即可.【详解】由题意,即，所以故选：A.5.命题“，使得”的否定形式是（）A.，使得B.都有C.，使得D.，都有【答案】D【解析】【分析】根据全称命题的否定是特称命题，即可求解.【详解】“，使得”是全称命题，全称命题的否定是特称命题故否定形式是，都有.故选：D6.我国著名数学家华罗庚曾说过：“数无形时少直观，形无数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”.函数的部分图象大致是（）A.B.C.D. 【答案】A【解析】【分析】计算，排除BD，利用均值不等式得到时，，排除C，得到答案.【详解】，，排除BD.当时，，当时等号成立，排除C；故选：A7.已知实数和满足，．则下列关系式中正确的是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由已知条件指对数转化得到的值,再根据基本不等式得到BCD错误,A正确.【详解】由已知，，故且，，对于A,，故A成立．对于B,,故B错误.对于C,,故C错误.对于D,,故D错误故选:A. 8.已知是内一点，且，点在内（不含边界），若，则的取值范围是A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据可知O为的重心；根据点M在内，判断出当M与O重合时，最小；当M与C重合时，的值最大，因不含边界，所以取开区间即可．【详解】因为是内一点，且所以O为的重心内（不含边界），且当M与O重合时，最小，此时所以，即当M与C重合时，最大，此时所以，即因为在内且不含边界所以取开区间，即所以选B【点睛】本题考查了向量在三角形中的线性运算，特殊位置法的应用，属于难题．二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）9.已知a为实数，且，函数，则下列说法正确的是（）A.当时，函数的图像关于中心对称B.当时，函数为减函数 C.函数图像关于直线成轴对称图形D.函数图像上任意不同两点的连线与x轴有交点【答案】ACD【解析】【分析】根据函数的性质进行判断即可.【详解】由已知对于A：，，由函数图像的变换可知，的图像关于中心对称，故A正确.对于B：，定义域，又因为，所以，所以在和为减函数，所以函数在和为减函数，故B错误.对于C：因为，令，故在图像上，又因为，故也在图像上，所以函数图像关于直线成轴对称图形，故C正确.对于D：因为，定义域为，且时，，所以图像上任意不同两点的连线不平行于轴，所以函数图像上任意不同两点的连线与x轴有交点，故D正确.故选：ACD10.某次智力竞赛的一道多项选择题，要求是：“在每小题给出的四个选项中，全部选对的得10分，部分选对的得5分，有选错的得0分.”已知某选择题的正确答案是CD，且甲、乙、丙、丁四位同学都不会做，下列表述正确的是（）A.甲同学仅随机选一个选项，能得5分的概率是 B.乙同学仅随机选两个选项，能得10分的概率是C.丙同学随机选择选项，能得分的概率是D.丁同学随机至少选择两个选项，能得分的概率是【答案】ABC【解析】【分析】对各项中的随机事件，计算出基本事件的总数和随机事件中含有的基本事件的个数，再计算出相应的概率后可得正确的选项.【详解】甲同学仅随机选一个选项，共有4个基本事件，分别为，随机事件“若能得分”中有基本事件，故“能得分”的概率为，故A正确；乙同学仅随机选两个选项，共有6个基本事件，分别为：，随机事件“能得分”中有基本事件，故“能得分”的概率为，故B正确；丙同学随机选择选项（丙至少选择一项），由A、B中的分析可知共有基本事件种，分别为：选择一项：；选择两项：；选择三项或全选：，，随机事件“能得分”中有基本事件，故“能得分”的概率为，故C正确；丁同学随机至少选择两个选项，由C的分析可知：共有基本事件11个，随机事件“能得分”中有基本事件，故“能得分”的概率为，故D错；故选：ABC.11.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德､牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不 超过的最大整数，则称为高斯函数．例如：，．已知函数，则关于函数的叙述中正确的是（）A.是奇函数B.在上是增函数C.是偶函数D.的值域是【答案】ABD【解析】【分析】利用奇偶性的定义判断可选项A，C，由函数单调性的结论可判断选项B，由函数单调性求出的取值范围，结合定义可得的值域可判断选项D．【详解】对于A，因为函数，，所以，则函数为奇函数，故选项A正确；对于B，因为、在R上是增函数，所以在R上是增函数，故选项B正确；对于C，因为，则，，因为所以函数不是偶函数，故选项C错误；对于D，又，所以，故的值域为，故选项D正确．故选：ABD．【点睛】关键点点睛：本题考查了函数性质的综合应用，关键点是对函数性质的熟练掌握，以及对新定义的理解，考查了学生的推理能力与运算能力.12.已知函数，若方程有六个不同的解，，，， ，且，则下列说法正确的是（）．A.B.C.D.【答案】AD【解析】【分析】根据函数的解析式，作出函数图像，根据图像逐项进行判断即可求解.【详解】如图为的函数图像：由图可知当时，与存在6个交点，即方程有六个不同的解，故A正确；由图及函数解析式可知，，且，可得，所以，故B错误；由图可知，，当且仅当，即时等号成立，令，，故，故C错误；由解析式可知，即，所以，其中， 令，在上单调递减，所以，，所以，故D正确．故选：AD．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.设命题：函数的定义域是R；命题：不等式对一切正实数均成立.如果命题和有且只有一个是真命题，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】函数的定义域为R，则真数大于0对一切的R恒成立，求出的范围，命题也用恒成立问题，求出的范围，最后根据命题的真假性，求实数的范围.【详解】若命题为真，因为函数的定义域为R，所以对一切的R恒成立，所以，即，所以，故，若命题为真，令，则，因为，所以，由题知对一切正实数均成立，所以因为和有且只有一个是真命题，即与一真一假， 若真假，，无解，若假真，，所以，综上所述：实数的取值范围是故答案为：.【点睛】恒成立问题与有解问题要注意进行区别，若在恒成立，则；若在有解，则.14.为了解某企业员工对党史的学习情况，对该企业员工进行问卷调查，已知他们的得分都处在A，B，C，D四个区间内，根据调查结果得到下面的统计图.已知该企业男员工占，则下列结论中，正确结论的个数是______.①男、女员工得分在A区间的占比相同；②在各得分区间男员工的人数都多于女员工的人数；③得分在C区间的员工最多；④得分在D区间的员工占总人数的20%.【答案】【解析】【分析】先求出员工总数和男员工人数，再求出男女员工再各区间的人数，从而对四个结论逐一判断即可.【详解】根据题意，设员工总人数为个，因为女员工人数为，所以，解得，所以男员工人数为，对于①，女员工得分在A区间的占比为，男员工得分在A区间的占比为，故①正确； 对于②，女员工A区间有20人，区间有60人，区间有70人，区间有50人；男员工在A区间有人，区间有人，区间有人，区间有人；所以区间男员工少于女员工，故②错误；对于③，区间有人，区间有人，所以区间人数比区间多，故③错误；对于④，区间有人，所以得分在区间的员工占总人数的，故④错误；综上：①正确，②③④错误，故正确结论的个数是.故答案为：.15.已知，x为实数且满足，则的最大值为___________．【答案】4【解析】【分析】函数是上的增函数，而，可得，解得的范围，进而求得的最大值．【详解】，故是上的增函数而故，即，即或解得或所以当时，取最大值4．故答案为：4．16. 根据毕达哥拉斯定理，以直角三角形的三条边为边长作正方形，从斜边上作出的正方形的面积正好等于在两直角边上作出的正方形面积之和．现在对直角三角形按上述操作作图后，得如图所示的图形，若，则____________．【答案】##-0.5【解析】【分析】建立平面直角坐标系，标出各个点的坐标，利用平面向量的坐标运算即可得解.【详解】如图，以A为原点，分别以为轴建立平面直角坐标系，设正方形的边长为，则正方形的边长为，正方形边长为可知，，，则，，即又，即，即，化简得故答案为： 四、解答题（本大题共70分．解答应写出文字说明）17.在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的实数存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.问题：已知集合，是否存在实数，使得?【答案】答案见解析.【解析】【分析】求得集合，化简集合，分三种情况讨论得到集合；再分别得若选择①，若选择②，若选择③时，实数a的取值范围.【详解】，当时，；当时，；当时，；若选择①，则，当时，要使，则，所以；当时，满足题意； 当时，，不满足题意.所以选择①，则实数的取值范围是.若选择②，当时，，满足题意；当时，不满足题意；当时，，不满足题意；所以选择②，则实数的取值范围是.若选择③,当时，，而，不满足题意；当时，,而，满足题意；当时，，而，满足题意；所以选择③，则实数的取值范围是.【点睛】本题考查集合间的包含关系，集合间的运算，属于中档题.关键是对集合A的解集分类讨论，18.近两年来中国猪肉市场由于受到国内外多种因素的影响，导致猪肉的市场零售均价一直居高不下，在一个高价区域范围内上下波动.政府为监控猪肉市场零售均价行情需要了解真实情况，在2021年5月份的某一天，某市的物价主管部门派相关专业人员对全市零售猪肉的销售均价进行摸底，随机抽样调查了100家超市了解情况，得到这些超市在当天的猪肉零售均价（单位：元/公斤）x的频数分布表如下：x的分组 超市家数（1）请分别估计该市在当天的猪肉零售均价不低于54元/公斤的超市比例和零售均价小于50元/公斤的超市比例；（2）用分层抽样的方法在样本均价位于分组区间和（单位：元/公斤）的超市中抽取5家超市，再从这5家超市中任选2家超市进行市场零售均价调控约谈，问选出的2家超市的均价都在区间内的概率？【答案】（1）6％，33％（2）【解析】【分析】（1）根据频数分布表，结合频率公式得出均价不低于54元/公斤和均价小于50元/公斤的频率，进而估计该市的情况；（2）由分层抽样的性质结合列举法得出所求概率.【小问1详解】根据各超市的猪肉零售均价的频数分布表，得所调查的100家超市在当天的猪肉零售均价不低于54元/公斤的超市频率为；零售均价小于50元/公斤的超市频率为；用样本频率分布估计总体分布，得该市在当天的猪肉零售均价不低于54元/公斤的超市比例为6％，零售均价小于50元/公斤的超市比例为33％.【小问2详解】由题知，抽取的5家超市中，有三家均价在区间，即为a，b，c，有两家均价在区间，即为A，B，则从中任取两家，共有ab，ac，aA，aB，bc，bA，bB，cA，cB，AB共有10种，其中均价都在区间内有ab，ac，bc共3种，故所求的概率为.19.上海市某地铁项目正在紧张建设中，通车后将给更多市民出行带来便利，已知该线路通车 后，地铁的发车时间间隔t（单位：分钟）满足，，经测算，在某一时段，地铁载客量与发车时间间隔t相关，当时地铁可达到满载状态，载客量为1200人，当时，载客量会减少，减少的人数与的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时载客量为560人，记地铁载客量为.（1）求的解析式；（2）若该时段这条线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该时段这条线路每分钟的净收益最大？【答案】（1）；（2）分钟.【解析】【分析】(1)时，求出正比例系数k，写出函数式即可得解；(2)求出每一段上的最大值，再比较大小即可得解.【详解】（1）由题意知，（k为常数），因，则，所以；（2）由得，即，①当时，，当且仅当等号成立；②当时，在[10，20]上递减，当时Q取最大值24， 由①②可知，当发车时间间隔为分钟时，该时段这条线路每分钟的净收益最大，最大为120元.20.如图，平行四边形中，，为线段的中点，为线段上的点且.（1）若，求的值；（2）延长、交于点，在线段上（包含端点），若，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由题意可得，，进而可得结果.（2）设，则，则，，由，即可得出结果.【详解】（1）∵∴∴由已知∴，∴，∴ （2）∵，N为的中点，易证与全等，则，设，则∵∵∴∴21.已知函数，在上有最大值1和最小值0.设.（其中为自然对数的底数）（1）求，值；（2）若不等式在有解，求实数的取值范围；（3）若方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）通过二次函数的性质分析在上取得最大、最小值的点，然后求解的值；（2）当在上有解时，可得在有解，只需使函数的最大值满足条件即可求解；（3）由得 ，然后利用换元法、结合二次方程根的分布问题求解.【详解】解：（1）由题意可知，对称轴为，当时，函数在上递增，则，解得；当时，函数在上递减，则，解得；又，故.（2），所以在上有解时，则在有解，令，则只需成立即可.当时，，则，故，得.（3）若，则令，，则，若方程有三个不同的实数解，则有两个解，或， 即在和上有各有一根，令则或解得：所以，实数的取值范围是【点睛】本题考查二次函数的最值问题、与对数不等式有关的不等式有解问题及根据函数零点求参数的取值范围问题，难度较大.解答时注意参变分离思想、分类讨论思想、数形结合等的运用.22.对于函数，如果对于定义域D中任意给定的实数x，存在非负实数a，使得恒成立，称函数具有性质．（1）判别函数和是否具有性质，请说明理由；（2）函数，若函数具有性质，求a满足的条件；（3）若函数的定义域为一切实数，的值域为，存在常数且具有性质，判别是否具有性质，请说明理由．【答案】（1）不具有性质P（2）；具有性质P（2）（2）a＝0（3）具有性质，理由见解析 【解析】【分析】（1）由性质的定义，结合作差法判断函数是否具有性质即可；（2）根据已知条件有对任意恒成立，讨论判断不等式是否恒成立，即可得参数范围；（3）由的性质可得，再根据对数函数的单调性及性质定义判断是否具有性质．【小问1详解】∵,所以，则，故不具有性质；∵，∴恒成立，故具有性质．【小问2详解】由，则，对任意恒成立，显然时，上式不等式成立；时，，若则，故不是对任意成立，舍去；综上，．【小问3详解】因为具有性质，所以，因为函数的值域为，所以，， 则∴，∴．∵∴，所以，即具有性质．