辽宁省沈阳市东北育才学校2022-2023学年高三数学下学期适应性测试（三）（三模）（Word版附答案）

绝密★使用前东北育才学校2022-2023学年度高考适应性测试（三）高三数学考生注意：1.本试卷共150分,考试时间120分钟。分四大题，22小题，共5页2.请将各题答案填写在答题卡上。3.本试卷主要考试内容：高考全部内容一、单选题（每题只有一个选项是正确答案，每题5分，共40分）1．已知集合，，若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为（    ）A．B．C．D．2．《易经》中的“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦”充分体现了中国古典哲学与现代数学的关系，从直角坐标系中的原点，到数轴中的两个半轴（正半轴和负半轴），进而到平面直角坐标系中的四个象限和空间直角坐标系中的八个卦限，是由简单到繁复的变化过程.现将平面向量的运算推广到维向量，用有序数组表示维向量，已知维向量，，则（    ）A．B．C．D．存在使得3．将函数（）的图像向左平移个单位，得到函数的图像，若函数）的一个极值点是，且在上单调递增，则ω的值为（    ）A．B．C．D．4．法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”.他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆的蒙日圆为，过上的动点作的两条切线，分别与交于，两点，直线交于，两点，则椭圆的离心率为（    ）A．B．C．D．5．数列满足，，现求得的通项公式为，，若表示不超过的最大整数，则的值为（    ） A．43B．44C．45D．466．若集合，，则中元素的个数为（    ）A．0B．1C．2D．47．在三棱锥A－BCD中，，∠ADC＝∠ABC＝90°，平面ABC⊥平面ACD，三棱锥A－BCD的所有顶点都在球O的球面上，E，F分别在线段OB，CD上运动（端点除外），．当三棱锥E－ACF的体积最大时，过点F作球O的截面，则截面面积的最小值为（    ）A．πB．C．D．2π8．已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ）A．B．C．D．二、多选题（每题至少有一个选项为正确答案，少选且正确得3分，每题5分，共20分）9．如图是一块高尔顿板示意图，在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为，用表示小球落入格子的号码，则（    ）A．B．C．D．10．“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．如图，已知圆O的半径为2，点P是圆O内的定点，且，弦AC，BD均过点P，则下列说法正确的是（    ）A．为定值B．的取值范围是C．当时，为定值D．时，的最大值为1211．如图1，在中，，，，DE是的中位线，沿DE将进行翻折，连接AB，AC得到四棱锥（如图2），点F为AB的中点，在翻折过程中下列结论正确的是（    ） A．当点A与点C重合时，三角形ADE翻折旋转所得的几何体的表面积为B．四棱锥的体积的最大值为C．若三角形ACE为正三角形，则点F到平面ACD的距离为D．若异面直线AC与BD所成角的余弦值为，则A、C两点间的距离为12．直线、为曲线与的两条公切线.从左往右依次交与于A点、B点；从左往右依次交与于C点、D点，且A点位于C点左侧，D点位于B点左侧.设坐标原点为O，与交于点P.则下列说法中正确的有（    ）.A．B．C．D．三、填空题（每题5分，共20分）13．已知数列，令为，，…，中的最大值，则称数列为的“控制数列”，中不同数的个数称为“控制数列”的“阶数”.例如：为1，3，5，4，2，则“控制数列”为1，3，5，5，5，其“阶数”为3，若由1，2，3，4，5任意顺序构成，则使“控制数列”的“阶数”为2的所有的个数为______.14．如图，函数的图象与坐标轴交于点，，，直线交的图象于点，坐标原点为的重心三条边中线的交点，其中，则__________．15．已知双曲线的左，右焦点分别为，，过右焦点且倾斜角为直线l与该双曲线交于M，N两点（点M位于第一象限），的内切圆半径为，的内切圆半径为，则为___________. 16．函数f（x），g（x）的定义域都是D，直线x=x0（x0∈D），与y=f（x），y=g（x）的图象分别交于A，B两点，若|AB|的值是不等于0的常数，则称曲线y=f（x），y=g（x）为“平行曲线”，设f（x）=ex-alnx+c（a>0，c≠0），且y=f（x），y=g（x）为区间（0，+）的“平行曲线”，g（1）=e，g（x）在区间（2，3）上的零点唯一，则a的取值范围是_________.四、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分）17．已知数列的前项和为，，数列为等比数列，且，分别为数列第二项和第三项．(1)求数列与数列的通项公式；(2)若数列，求数列的前项和；(3)求证：．18．在中，，.(1)求；(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上高线的长.条件①：；条件②：；条件③：.注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个要求的条件分别解答，按第一个解答计分.19．三年多的“新冠之战”在全国人民的共同努力下刚刚取得完胜，这给我们的个人卫生和公共卫生都提出更高的要求。某机构欲组建一个有关“垃圾分类”相关事宜的项目组，对各个地区“垃圾分类”的处理模式进行相关报道，该机构从600名员工中进行筛选，筛选方法如下：每位员工测试A，B，C三项工作，3项测试中至少2项测试“不合格”的员工，将被认定为“暂定”，有且只有一项测试“不合格”的员工将再测试A，B两项，如果这两项中有1项以上（含1项）测试“不合格”，将也被认定为“暂定”，每位员工测试A，B，C三项工作相互独立，每一项测试“不合格”的概率均为．(1)记每位员工被认定为“暂定”的概率为，求；(2)每位员工不需要重新测试的费用为90元，需要重新测试的前后两轮测试的总费用为150元，所有员工除测试费用外，其他费用总计为1万元，若该机构的预算为8万元，且600 名员工全部参与测试，试估计上述方案是否会超出预算，并说明理由．20．已知顶点为S的圆锥面（以下简称圆锥S）与不经过顶点S的平面α相交，记交线为C，圆锥S的轴线l与平面α所成角θ是圆锥S顶角（圆S轴截面上两条母线所成角θ的一半，为探究曲线C的形状，我们构建球T，使球T与圆锥S和平面α都相切，记球T与平面α的切点为F，直线l与平面α交点为A，直线AF与圆锥S交点为O，圆锥S的母线OS与球T的切点为M，，．(1)求证：平面SOA⊥平面α，并指出a，b，关系式；(2)求证：曲线C是抛物线．21．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作一条渐近线的垂线交C于点P，垂足为Q，，，M、N为双曲线左右顶点．(1)求双曲线C的方程；(2)设过点的动直线l交双曲线C右支于A，B两点（A在第一象限），若直线AM，BN的斜率分别为，．（i）试探究与的比值是否为定值．若是定值，求出这个定值：若不是定值，请说明理由；（ii）求的取值范围．22．已知函数，．(1)当时，求在点处的切线方程； (2)当时，对于在中的任意一个常数，是否存在正数，使得，请说明理由；(3)设，是的极小值点，且，证明：．东北育才学校2022-2023学年度高考适应性测试（三）数学参考答案一、单选题（每题只有一个选项是正确答案，每题5分，共40分）12345678CCADDACC二、多选题（每题至少有一个选项为正确答案，少选且正确得3分，每题5分，共20分）9101112ADACDABDCD三、填空题（每题5分，共20分）13．5014．15．16．（，）四、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分）17．【详解】（1）因为数列的前项和为，且，当时，；当时，，当时也满足；所以；又因为数列为等比数列，且，分别为数列第二项和第三项，所以，则，则.（2）由（1）可得，，令①所以②②可得，所以令， 即，令，则则（3）设，则，则18．【详解】（1）因为，所以由正弦定理可得，又，所以，即，因为，所以.（2）若选条件①：，由正弦定理知,可得，故满足所选条件的三角形不存在，不满足题意；若选条件②：，由余弦定理可得，，即，所以满足条件的三角形唯一.设边上的高为，由等面积法可知,即，解得，故边上高线的长为.若选条件③：，由正弦定理可得，即， 所以，可得或，有两解，不符合题意.综上，应该选②，边上高线的长为.19．【详解】（1）由题意知，每位员工首轮测试被认定为“暂定”的概率为，每位员工再次测试被认定为“暂定”的概率为，综上可知，每位员工被认定为“暂定”的概率为．（2）设每位员工测试的费用为X元，则X的可能取值为90，150，由题意知，，，所以随机变量X的数学期望为（元），，令，，则，所以当时，；当时，；所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以，即（元）.所以此方案的最高费用为（万元），综上可知，若以此方案实施估计不会超过预算．20．【详解】（1）∵平面AOS截球T的截面圆与直线AO相切于F，∴，记P是平面内不在直线OA上的点，平面TFP截球T的截面圆与直线FP相切于点F，∴，∵平面内直线AO，FP相交于点F，∴TF⊥平面，∵直线TF平面AOS，∴平面AOS⊥平面，∴．连TO，TM，∴，，∴球T的半径且，∴. （2）在平面AOS内圆锥的另一条母线与球T的切点记为N点∵，∴以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，过O与TF平行的直线为z轴建立空间直角坐标系，如图.∵OM，OF与球T相切，∴，∴，，设交线C上任意点，记圆锥S的母线SP与球T相切于E．∵PF与球T相切于点F，∴，，∴，即（1），两边平方整理得：（2），两边平方整理得：（3），易知：（3）（2）（1），∴交线C在坐标平面xOy中方程为，∴交线C是以F为焦点，O为顶点的抛物线.21．【详解】（1）因为，所以，由题意可得，所以，所以双曲线C的方程为.（2）（i）设，直线AB的方程为，由，消元得． 则，且，（法一）∴；（法二）由韦达定理可得，即，∴，即与的比为定值．（ii）设直线：，代入双曲线方程并整理得，由于点M为双曲线的左顶点，所以此方程有一根为，由韦达定理得：，解得．因为点A在双曲线的右支上，所以，又点A在第一象限，所以，同理可得，由（i）中结论可知，得，所以，故，故的取值范围为.22．【详解】（1）当时，，求导得：，，而，则，所以在点处的切线方程是.（2）当时，，对于在中的任意一个常数，假定存在正数，使得 成立，显然有，令，求导得：，当时，，当时，，即在上递减，在上递增，则当时，，令，求导得：，即在上单调递增，，即，所以存在正数，使得.（3）依题意，，求导得：，令，，即在上单调递增，因，当时，，即，函数在上单调递增，不存在极值，当时，，，从而存在，使得，即，当时，，，当时，，，因此，是函数的极小值点，满足，，则，因函数在上单调递减，而当时，，则由得，令，求导得，当在上单调递减，，，当且仅当时取“=”,即，，于是得，，，因此，，所以.