第19章四边形小结与复习课件

小结与复习第19章四边形 一、多边形的内角和与外角和多边形的内角和等于(n-2)×180°多边形的外角和等于360°正多边形每个内角的度数是正多边形每个外角的度数是 几何语言文字叙述对边平行对边相等对角相等∴AD=BC，AB=DC.∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC.∵四边形ABCD是平行四边形，二、平行四边形的性质对角线互相平分∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥DC.BCDAO两条平行线之间的距离处处相等 几何语言文字叙述两组对边相等一组对边平行且相等∴四边形ABCD是平行四边形.∵AD=BC，AB=DC，∴四边形ABCD是平行四边形.∵AB=DC，AB∥DC，三、平行四边形的判定对角线互相平分∴四边形ABCD是平行四边形.∵OA=OC，OB=OD，两组对边分别平行（定义）∴四边形ABCD是平行四边形.∵AD∥BC，AB∥DC，BCDAO 1.三角形中位线的定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.2.三角形中位线定理：三角形两边中点连线平行于第三边，并且等于第三边的一半.四、三角形的中位线用符号语言表示：∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，EABCD 对边角对角线平行且相等平行且四边相等平行且四边相等四个角都是直角对角相等邻角互补四个角都是直角互相平分且相等互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角互相垂直且平分，每一条对角线平分一组对角五、矩形、菱形、正方形的性质 条件①定义：有一个角是直角的平行四边形.②定理1：对角线相等的平行四边形.③定理2：三个角是直角的四边形.①定义：一组邻边相等的平行四边形.②定理1：四条边都相等的四边形.③定理2：对角线互相垂直的平行四边形.①定义：有一个角是直角且一组邻边相等的平行四边形.②有一组邻边相等的矩形.③有一个角是直角的菱形.六、矩形、菱形、正方形的判定方法 考点一多边形的内角和与外角和例1已知一个多边形的每个外角都是其相邻内角度数的，求这个多边形的边数.解：设此多边形的每个外角的度数为x，则每个相邻内角的度数为4x.则有x+4x=180°，解得x=36°.∴这个多边形的边数为360°÷36°=10. 1.一个正多边形的每一个内角都等于120°，则其边数是.6【解析】因为该多边形的每一个内角都等于120°，所以它的每一个外角都等于60°.所以边数是6.归纳拓展在多边形的有关求边数或内角、外角度数的问题中，要注意内角与外角之间的转化，以及定理的运用.尤其在求边数的问题中，常常利用定理列方程求解.针对训练 考点二平行四边形的性质例2如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中不一定成立的是（　　）A．∠1=∠2B．∠BAD=∠BCDC．AB=CDD．AC=BC【解析】由四边形ABCD是平行四边形，可得出A、B、C项正确，不能推得AC=BC.D本题主要考查了平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形的对边平行且相等，对角相等的性质.方法总结 针对训练2.如图，▱ABCD中，AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，分别交BC、AD于E、F．求证：AF=CE.证明：在▱ABCD中，∠B=∠D，AD=BC，AB=CD，∠BAD=∠BCD.∵AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，∴∠EAB=∠BAD，∠FCD=∠BCD，∴∠EAB=∠FCD.在△ABE和△CDF中，∴BE=DF．∴△ABE≌△CDF.又AD=BC，∴AF=CE． 例3如图，在▱ABCD中，∠ODA=90°，AC=10cm，BD=6cm，则AD的长为（　　）A．4cmB．5cmC．6cmD．8cm【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，AC=10cm，BD=6cm，∴OA=OC=AC=5cm，OB=OD=BD=3cm，∵∠ODA=90°，∴AD==4cm．A 方法总结主要考查了平行四边形的对角线互相平分的性质，解题时还要注意勾股定理的应用. 【解析】在▱ABCD中，∵AC=24cm，BD=38cm，AD=28cm，∴AO=12cm，BO=19cm，BC=AD=28cm.∴△BOC的周长是12+19+28=59(cm).针对训练3.如图，在▱ABCD中，对角线AC和BD交于点O，AC=24cm，BD=38cm，AD=28cm，则△BOC的周长是（）A.45cmB.59cmC.62cmD.90cmBBCDAO 考点三平行四边形的判定例4如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列哪组条件不能判定四边形ABCD是平行四边形（　　）A．OA=OC，OB=ODB．∠BAD=∠BCD，AB∥CDC．AD∥BC，AD=BCD．AB=CD，AO=CODBCDAO 平行四边形的判定方法：①定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②定理1：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；③定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；④定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形.方法总结 针对训练4.如图，点D、C在BF上，AC∥DE，∠A=∠E，BD=CF.（1）求证：AB=EF；证明：∵AC∥DE，∴∠ACB=∠EDF.∵BD=CF，∴BD+DC=CF+DC，即BC=DF.又∵∠A=∠E，∴△ABC≌△EFD（AAS）.∴AB=EF. （2）连接AF，BE，猜想四边形ABEF的形状，并说明理由．解：四边形ABEF为平行四边形.理由如下：由（1）知△ABC≌△EFD，∴∠ABF=∠EFB.∴AB∥EF.又∵AB=EF，∴四边形ABEF为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）. 考点四三角形的中位线例5如图，AD是△ABC的中线，E是AD的中点，F是BE的延长线与AC的交点.求证：.证明：过点D作DH∥BF，交AC于点H.∵AD是△ABC的中线，∴D是BC的中点.∴CH=HF=CF.∵E是AD的中点，EF∥DH，∴AF=FH.∴AF=FC.ABCDEFH 针对训练5.若三角形的三条中位线之比为6:5:4，三角形的周长为60cm，那么该三角形中最长边的边长为＿＿＿.解析：设三条中位线的长分别为6xcm，5xcm，4xcm，则三角形的三条边长分别为12xcm，10xcm，8xcm，依题意有12x＋10x＋8x=60，解得x=2.所以最长边长为12x=24(cm).24cm 例6如图，在矩形ABCD中，两条对角线相交于点O，∠AOD=120°，AB=2.5，求矩形对角线的长.解：∵四边形ABCD是矩形.∴AC=BD(矩形的对角线相等)，OA=OC=AC，OB=OD=BD(矩形对角线相互平分).∴OA=OD.ABCDO考点五矩形的性质和判定 ∵∠AOD=120°，∴∠ODA=∠OAD=(180°-120°)=30°.又∵∠DAB=90°(矩形的四个角都是直角)，∴BD=2AB=2×2.5=5.ABCDO 6.如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，△ABO是等边三角形，AB=4，求□ABCD的面积.解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD.又∵△ABO是等边三角形，∴OA=OB=AB=4，∠BAC=60°.∴AC=BD=2OA=2×4=8.ABCDO针对训练 ∴□ABCD是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形).∴∠ABC=90°(矩形的四个角都是直角).在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB2+BC2=AC2，∴BC=.∴S□ABCD=AB·BC=4×=.ABCDO 7.如图，O是菱形ABCD对角线的交点，作BE∥AC，CE∥BD，BE，CE交于点E，四边形CEBO是矩形吗？说出你的理由.解：四边形CEBO是矩形.理由如下：∵BE∥AC，CE∥BD，∴四边形CEBO是平行四边形.在菱形ABCD中，AC⊥BD，∴∠BOC=90°.∴四边形CEBO是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形).DABCEO 例7如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠BAD=60°，BD=6，求AB和AC的长.解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD(菱形的边长相等)，AC⊥BD，OB=OD=BD=×6=3(菱形的对角线互相垂直平分).又∵∠BAD=60°，∴△ABD是等边三角形.∴AB=BD=6，ABCOD考点六菱形的性质和判定 证明：在△AOB中，∵AB=，OA=2，OB=1.∴AB2=AO2+OB2.∴△AOB是直角三角形，∠AOB是直角.∴AC⊥BD.∴□ABCD是菱形(对角线垂直的平行四边形是菱形).8.如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=，OA=2，OB=1.求证：□ABCD是菱形.针对训练ABCOD 9.如图，两张等宽的矩形纸条交叉重叠在一起，猜想重叠部分的四边形ABCD是什么形状？说说你的理由.ABCDEF解：四边形ABCD是菱形.理由如下：过点C作CE⊥AB于点E，CF⊥AD于点F.由AB∥CD，AD∥BC知四边形ABCD是平行四边形.则S□ABCD=AD·CF=AB·CE.由题意知CF=CE，∴AD=AB.∴四边形ABCD是菱形. 例8如图，在正方形ABCD中，E为CD上一点，F为BC边延长线上一点，且CE=CF.BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由.解：BE=DF，且BE⊥DF.理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴BC=DC，∠BCE=90°（正方形的四条边都相等，四个角都是直角）.∴∠DCF=180°-∠BCE=180°-90°=90°.ABDCFE考点七正方形的性质和判定 ∴∠BCE=∠DCF.又∵CE=CF，∴△BCE≌△DCF(SAS).∴BE=DF，∠CBE=∠CDF.延长BE交DE于点M.∵∠CDF+∠F=90°，∴∠CBE+∠F=90°.∴∠BMF=90°，即BE⊥DF.综上可知，BE=DF，且BE⊥DF.MABDCFE 10.如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE.求证：四边形BECF是正方形.解析：先由两组平行线得出四边形BECF是平行四边形；再由邻边相等，得出平行四边形BECF是菱形；最后由一个角是直角可得菱形BECF是正方形.针对训练FABECD 证明：∵BF∥CE，CF∥BE，∴四边形BECF是平行四边形.∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠DCB=90°.∵BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，∴∠EBC=∠ECB=45°.∴EB=EC.∴□BECF是菱形.又∠BEC=90°，∴菱形BECF是正方形(有一个角是直角的菱形是正方形).FABECD45°45° 多边形的内角和与外角和内角和计算公式(n-2)×180°(n≥3且取整数)外角和多边形的外角和等于360°特别注意：与边数无关正多边形内角=，外角= 平行四边形性质①对边平行且相等②对角相等，邻角互补③对角线互相平分判定①两组对边分别平行的②两组对边分别相等的③一组对边平行且相等的④对角线互相平分的四边形平行四边形三角形的中位线定理：三角形两边中点连线平行于第三边，并且等于第三边的一半. 特殊四边形之间的转化有一个角是90°（或对角线相等）有一对邻边相等（或对角线互相垂直）平行四边形矩形菱形正方形一组邻边相等且一个内角为直角（或对角线互相垂直且相等）有一个角是90°（或对角线相等）有一对邻边相等（或对角线互相垂直） 见教材章末复习题