宁夏回族自治区银川一中2022-2023高三数学（理）三模试题（Word版附解析）

2023年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题卷（银川一中第三次模拟考试）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．作答时，务必将答案写在答题卡上.写在本试卷及草稿纸上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，，则中的元素个数为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据并集定义可得，由此可得元素个数.【详解】，，共个元素.故选：B.2.已知，复数是实数，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由复数运算法则和实数定义可构造方程求得结果.【详解】为实数，，解得：.故选：A.3.命题“有一个偶数是素数”的否定是（）A.任意一个奇数是素数B.任意一个偶数都不是素数C.存在一个奇数不是素数D.存在一个偶数不是素数 【答案】B【解析】【分析】根据存在量词命题，否定为，即可解得正确结果.【详解】由于存在量词命题，否定为.所以命题“有一个偶数是素数”的否定是“任意一个偶数都不是素数”.故选：B4.如图，是年在陕西宝鸡贾村出土的一口“何尊”（尊为古代的酒器，用青铜制成），尊内底铸有行、字铭文．铭文中写道“唯武王既克大邑商，则廷告于天，曰：‘余其宅兹中国，自之辟民’”，其中宅兹中国为“中国”一词最早的文字记载．“何尊”可以近似看作是圆台和圆柱组合而成，经测量，该组合体的高约为，上口的直径约为，圆柱的高和底面直径分别约为，，则“何尊”的体积大约为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用圆柱和圆台体积公式直接求解即可.【详解】由题意知：圆柱的底面半径为，高为；圆台的上下底面半径分别为和，高为，圆柱的体积；圆台的体积，“何尊”的体积大约为. 故选：A.5.已知，是第一象限角，且，则的值为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用同角三角函数关系可求得，由两角和差正切公式可求得结果.【详解】为第一象限角，，，.故选：C6.已知两条不同的直线l，m及三个不同的平面α，β，γ，下列条件中能推出的是（）A.l与α，β所成角相等B.，C.，，D.，，【答案】C【解析】【分析】ABD可举出反例；C选项，可根据平行的传递性和垂直关系进行证明.【详解】对于A，正方体中，设边长为，连接，则为与平面所成角，由勾股定理得到，故，同理可得和所成角的正弦值为，故与平面和所成角大小相等，但平面与平面不平行，故A错误； B选项，平面⊥平面，平面⊥平面，但平面与平面不平行，故B错误；对于C，由，得，又，所以，故C正确；对于D，l与m可同时平行于α与β的交线，故D错误．故选：C．7.函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（）AB.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据零点存在定理即可得，解出实数的取值范围为.【详解】由零点存在定理可知，若函数在区间上存在零点，显然函数为增函数，只需满足，即，解得，所以实数的取值范围是.故选：D8.如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，将△POA的面积表示为x的函数f（x），则y=f（x）在[﹣π，π]上的图象大致为 A.B.C.D.【答案】A【解析】【详解】试题分析：注意长度、距离为正，再根据三角形的面积公式即可得到f（x）的表达式，然后化简，分析周期和最值，结合图象正确选择解：在直角三角形OMP中，OP=0A=1，∠POA=x，∴s△POA=×1×1sinx=|sinx|，∴f（x）=|sinx|，其周期为T=π，最大值为，最小值为0，故选；A．考点：函数的图象．9.在中，，的平分线交BC于点D．若，则（）A.B.C.2D.3【答案】B【解析】【分析】设，由角平分线定理求得，然后由向量的线性运算可用表示出，从而求得，得出结论．【详解】设，因为，所以，又是的平分线，所以，， ，又，所以，所以．故选：B．10.已知双曲线的上、下焦点分别为，若存在点，使得，则实数的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据双曲线方程可得实轴长和渐近线方程，结合双曲线定义和点所在直线可确定双曲线与有交点，由此可得渐近线与直线斜率之间的关系，进而解不等式求得结果.【详解】由双曲线方程知：实轴长，渐近线方程为；由双曲线定义知：在双曲线上半支任取一点，则；直线上，若存在点，使得，则双曲线与有交点，，解得：（舍）或，实数的取值范围为.故选：C.11.英国数学家泰勒1712年提出了泰勒公式，这个公式是高等数学中非常重要的内容之一.其正弦展开的形式如下：，（其中，），则的值约为（1弧度）（）A.B.C.D. 【答案】B【解析】【分析】利用已知公式，将公式两边分别求导，结合诱导公式，即可得到，求解即可．【详解】因为，又，则，当时，则有，又，则．故选：B．12.已知关于的不等式对任意恒成立，则的最大值为（）A.B.1C.D.【答案】C【解析】【分析】讨论的取值范围，利用函数图象，结合导数求出，构造函数，利用导数求出函数的最值，进而得解.【详解】设，，若，对任意恒成立，则，对任意恒成立，当时，在同一坐标系中作出函数的图象， 显然，由图可知，对任意不恒成立；当时，在同一坐标系中作出函数的图象，由图可知，临界条件是直线与曲线的图象相切时，由，求导，设，解得，且，∴当的切线斜率为1时，切点坐标为，故，所以即两边同除以，，令求导令，得，即当，，函数单调递增，当，，函数单调递减，所以当，函数取到最大值，且 故的最大值为故选：C.【点睛】思路点睛：本题考查不等式恒成立求参数取值范围问题，需要结合图象分类讨论，构造函数将问题转化，考查数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想和运算求解能力，是难题.二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知展开式中，第三项和第四项的二项式系数相等，则_____.【答案】5【解析】【分析】根据二项式系数的概念以及组合数的性质可求出结果.【详解】依题意可得，得，即.故答案为：.14.若函数在区间上不单调，则实数的取值范围为________．【答案】【解析】【分析】根据函数解析式，利用导数判断出函数单调区间，根据题意可得,即可得实数的取值范围为【详解】由可知，其定义域为，则，易知当时，；当时，；即函数在单调递减，在上单调递增；若函数在区间上不单调，则需满足， 解得；所以实数的取值范围为.故答案为：15.已知直线l：被圆C：所截得的弦长为整数，则满足条件的直线l有______条.【答案】9【解析】【分析】根据题意可知直线l恒过定点，分别求得直线被圆截得弦长的最大值和最小值，利用对称性即可求得满足条件的直线l共有9条.【详解】将直线l的方程整理可得，易知直线恒过定点；圆心，半径；所以当直线过圆心时弦长取最大值，此时弦长为直径；易知，当圆心与的连线与直线l垂直时，弦长最小，如下图所示；此时弦长为，所以截得的弦长为整数可取；由对称性可知，当弦长为时，各对应两条，共8条，当弦长为8时，只有直径1条，所以满足条件的直线l共有9条.故答案为：916.已知的三边分别为，，，所对的角分别为，，，且满足，且的外接圆的面积为，则 的最大值的取值范围为__________．【答案】【解析】【详解】由的三边分别为，，可得：，可知：，，，可知可知当时， 则的最大值的取值范围为点睛：本题主要考查了三角函数与解三角形综合题目，需要学生有一定计算能力，并能熟练运用公式进行化简求值，在解答此类题目时往往将边的范围转化为求角的范围问题，利用辅助角公式进行化简，本题还是有一定难度．三、共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17.已知公差不为零的等差数列的首项为1，且是一个等比数列的前三项，记数列的前项和为．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前20项的和．【答案】（1），（2）210【解析】【分析】（1）根据等差数列与等比数列的性质计算即可；（2）利用分组求和法求和即可.【小问1详解】设等差数列的公差为，又，所以．因为是一个等比数列的前三项，所以．即又，所以所以数列的通项公式为，【小问2详解】由（1）知数列的前项和所以，数列的前20项的和为18.如图所示，在四棱锥中，平面ABCD，，，且 ，.（1）求证：平面；（2）若E为PC的中点，求与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）先证，，由此即可证得平面；（2）建立空间直角坐标系，求出,平面的一个法向量为，然后利用公式，即可求得本题答案.【小问1详解】作，垂足为，易证，四边形为正方形.所以，.又，因为，所以.因平面，平面，所以.又，平面，平面，所以平面.【小问2详解】以点为坐标原点，以所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，.则，，.设平面的法向量为，由，得，令，可得平面的一个法向量为.设与平面所成角为，则.19.为保障全民阅读权利，培养全民阅读习惯，提高全民阅读能力，推动文明城市和文化强市建设某高校为了解全校学生的阅读情况，随机调查了200名学生的每周阅读时间x(单位：小时)并绘制如图所示的频率分布直方图：（1）求这200名学生每周阅读时间的样本平均数和样本方差(同一组的数据用该组区间中点值代表)；（2）由直方图可以看出，目前该校学生每周的阅读时间x大致服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差. ①一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若，令，则，且利用直方图得到的正态分布，求；②从该高校的学生中随机抽取20名，记Z表示这20名学生中每周阅读时间超过10小时的人数，求Z的均值.参考数据：，若，则.【答案】（1），；（2）①；②.【解析】【分析】(1)利用频率分布直方图计算平均数和方差的方法直接计算作答.(2)①利用给定公式直接计算；②利用①的结论结合二项分布的期望公式计算作答.【小问1详解】根据频率分布直方图知，阅读时间在区间内的频率分别为，，，所以样本平均数和样本方差分别为9，1.78.【小问2详解】①由题意知，，则有，，，②由①知，可得，所以Z的均值. 20.已知椭圆的右焦点为，点，在椭圆上运动，且的最小值为；当点不在轴上时点与椭圆的左、右顶点连线的斜率之积为.（1）求椭圆的方程；（2）已知直线与椭圆在第一象限交于点，若的内角平分线的斜率不存在.探究：直线的斜率是否为定值，若是，求出该定值；若不是.请说明理由.【答案】（1）（2）直线的斜率为定值，理由见解析【解析】【分析】（1）设，椭圆的左、右顶点坐标分别为，，即可得到，再根据及求出、，即可得解；（2）首先求出点坐标，设直线的斜率为，则直线的斜率为，，，表示出的方程，联立求出，把换为得，即可求出、，从而求出直线的斜率，即可得解.【小问1详解】设，椭圆的左、右顶点坐标分别为，，故，即，则，又，即，解得，所以，即椭圆的方程为.【小问2详解】联立，解得或，又在第一象限，所以， 由题意知的内角平分线的斜率不存在，即该角平分线与轴垂直，设直线的斜率为，则直线的斜率为，设，，直线的方程为，即，由消去得，因为、为直线与椭圆的交点，所以，即，把换为得，所以，所以，所以直线的斜率，即直线的斜率为定值.21.已知函数在处的切线方程为．（1）求a，b的值；（2）若方程有两个实数根，①证明：；②当时，是否成立？如果成立，请简要说明理由． 【答案】（1），（2）①证明见解析，②成立，理由见解析【解析】【分析】（1）求出导函数，再根据导数的几何意义及切点即在切线上又再曲线上，解出方程，解之即可；（2）①，由（1）求得函数的解析式及导数，利用导数求出函数的单调区间，从而可求得函数的最值，再根据方程有两个实数根，可得函数的最值的关系，即可得证；②，分别求出当直线过，时和直线过，时割线方程，从而得结合①即可得出结论.【小问1详解】解：，因为函数在处的切线方程为，所以，，∴，或，（舍），所以，；【小问2详解】①证明：由（1）可知，，令，则，令，得，所以函数在上递减，在上递增，所以，即，又，，，，且，， ∴，使得，即，即，当时，，当时，，所以函数在上递减，在上递增，所以，∵，∴，令，则，所以函数在上递增，故，所以，即，∴；②解：成立，理由如下：当直线过，时割线方程为，得，当直线过，时割线方程为， 得，∴.【点睛】本题考查了导数得几何意义，考查了利用导数解决方程的根的问题，考查了不等式的证明问题，，考查了数据分析和处理能力，考查了转化思想，计算量比较大，属于难题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4－4：坐标系与参数方程]22.下图所示形如花瓣的曲线称为四叶玫瑰线，并在极坐标系中，其极坐标方程为．（1）若射线：与相交于异于极点的点，与极轴的交点为，求；（2）若，为上的两点，且，求面积的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据已知得到、两点的极坐标，代入距离公式即可；（2）设，，根据极坐标方程求出、，将三角形面积表示为的三角函数，根据三角恒等变换求三角函数的最大值.【小问1详解】将代入方程， 得，，则的极坐标为.又与极轴的交点为的极坐标为.则.【小问2详解】不妨设，，则，所以，的面积所以，当，即时，.所以，面积最大值为.[选修4-5：不等式选讲]23.设函数．（1）解不等式；（2）令的最小值为，正数，，满足，证明：．【答案】（1） （2）证明见解析【解析】【分析】（1）将函数写成分段函数，再分类讨论，分别求出不等式的解集，从而得解；（2）由（1）可得函数图象，即可求出函数的最小值，再利用基本不等式证明即可.【小问1详解】解：因为，所以不等式，即或或，解得或或，综上可得原不等式的解集为.【小问2详解】解：由（1）可得函数的图象如下所示：所以，即，所以， 又，，，所以，当且仅当时取等号，所以.