四川省乐山市峨眉第二中学2022-2023学年高二数学文科下学期期中试题（Word版附解析）

峨眉二中21级高二下半期考试文科数学试题一．选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1.设，是两个集合，则“”是“”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【详解】试题分析：若，对任意，则，又，则，所以，充分性得证，若，则对任意，有，从而，反之若，则，因此，必要性得证，因此应选充分必要条件．故选C．考点：充分必要条件．2.曲线在点处的导数是（）AB.C.D.【答案】D【解析】【分析】先利用公式对求导，在某点处的导数就是把该点横坐标代入导函数中，这里把代入即可.【详解】解：因为，所以，在点处的导数为.故选：.3.下面程序框图的算术思路源于《几何原本》中的“辗转相除法”（如图），若输入，则输出的为 A.B.C.D.【答案】D【解析】【详解】第1次执行循环体，，不满足退出循环的条件；第2次执行循环体，不满足退出循环的条件；第3次执行循环体，，不满足退出循环的条件；第4次执行循环体，，满足退出循环的条件；故输出的值为5．故选D．4.某班共有52人，现根据学生学号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本．已知3号、29号、42号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的学号是(　　)A.10B.11C.12D.16【答案】D【解析】【分析】由题计算出抽样的间距为13，由此得解．【详解】由题可得，系统抽样的间距为13，则在样本中．故选D【点睛】本题主要考查了系统抽样知识，属于基础题．5.命题，，的否定应该是（）A.，，B.，， C.，，D.，，【答案】C【解析】【分析】根据全称命题的否定可得答案.【详解】命题，，的否定是，，.故选:C6.函数的单调递减区间为（）A.B.C.D.，【答案】A【解析】【分析】求导，根据导函数的符号确定的减区间.【详解】，当时，单调递增，当时，单调递减；的减区间是；故选：A.7.已知，．若是的充分条件，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先解出，然后求出，，根据是的充分条件，得出关于的不等式即可求解.【详解】或，或.又因为是的充分条件，所以，解之得.故选：A 8.已知函数的导函数为，且满足，则（）A.B.C.1D.【答案】B【解析】【分析】求得函数的导数，令，即可求解.【详解】由，可得，所以，则.故选：B.9.函数在处有极值为7，则A.-3或3B.3或-9C.3D.-3【答案】C【解析】【分析】题意说明，，由此可求得【详解】，∴，解得或，时，，当时，，当时，，是极小值点；时，，不是极值点．∴．故选C．【点睛】本题考查导数与极值，对于可导函数，是为极值的必要条件，但不是充分条件，因此由求出参数值后，一般要验证是否是极值点．10.函数的定义域为，，对任意，，则的解集为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】 【分析】构造函数，利用导数判断出函数在上的单调性，将不等式转化为，利用函数的单调性即可求解.详解】依题意可设，所以.所以函数在上单调递增，又因为.所以要使，即，只需要，故选B.【点睛】本题考查利用函数的单调性解不等式，解题的关键就是利用导数不等式的结构构造新函数来解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.11.已知函数有两个极值点，求的范围（）．A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】原问题等价于导函数有2个零点，求导，参数分离，构造新函数，根据新函数的值域求解.【详解】，有2个极值点等价于有2个零点，令，有，令，则，当时，单调递减，当时，单调递增，在时，取得极大值也是最大值，当x趋于时，趋于，当x趋于时，趋于0，函数大致图像如下图：所以，a的取值范围是；故选：B. 12.已知函数.若过点可以作曲线三条切线，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】切点为，利用导数的几何意义求切线的斜率，设切线为：，可得，设，求，利用导数求的单调性和极值，切线的条数即为直线与图象交点的个数，结合图象即可得出答案.【详解】设切点为，由可得，所以在点处的切线的斜率为，所以在点处的切线为：，因为切线过点，所以，即，即这个方程有三个不等根即可，切线的条数即为直线与图象交点的个数，设，则由可得，由可得：或，所以在和上单调递减，在上单调递增，当趋近于正无穷，趋近于0，当趋近于负无穷，趋近于正无穷， 的图象如下图，且，要使与的图象有三个交点，则.则的取值范围是:.故选：A.二．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13.在命题“若m＞－n，则m2＞n2”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是________．【答案】3【解析】【分析】根据命题得否命题、逆命题，逆否命题，再判断真假,(本题举反例说明为假命题)【详解】若m＝2，n＝3，则2>－3，但22<32，所以原命题为假命题，则逆否命题也为假命题，若m＝－3，n＝－2，则(－3)2>(－2)2，但－3<2，所以逆命题是假命题，则否命题也是假命题．故假命题的个数为3.【点睛】本题考查四种命题关系及其真假，考查简单应用以及判断能力.14.为了了解高一、高二、高三年级学生的身体状况，现用分层随机抽样的方法抽取一个容量为的样本，三个年级学生人数之比依次为.已知高一年级共抽取了人，则高三年级抽取的人数为___________人.【答案】360【解析】【分析】根据高一年级学生所占的比例，求出，得到高三年级抽取的人数．【详解】由已知高一年级抽取的比例为，所以，得，故高三年级抽取的人数为．故答案为：36015.若函数有两个实根，则的取值范围是______． 【答案】【解析】【分析】参数分离，构造新函数，求解新函数的值域，运用几何解释求解.【详解】，原问题等价于直线与曲线有2个交点，，当时，单调递增，当时，单调递减，在处，取得极小值也是最小值，，当时，，，当时，，当趋于时，趋于；函数的大致图像如下：所以，k的取值范围是；故答案为：.16.若函数，则下列结论正确的有______．①是周期函数②在有4个零点③在上是增函数④的最小值为．【答案】②③【解析】【分析】根据函数的对称性，单调性和周期性逐项分析.【详解】对于①,不存在实数T，使得，不是周期函数，错误；对于②，，是偶函数，区间关于原点对称，当时， ，令，当时，解得，由对称性知：在内有4个零点，正确；对于③，当时，，当时，是增函数，正确；对于④，时，，令，当时，取得最小值，错误；故答案为：②③.三．解答题（共6小题，第17题10分，第18~22题每小题12分，共70分）17.某高级中学共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表：高一年级高二年级高三年级女生373男生377370已知在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率是0.19．（1）求的值；（2）现用分层抽样在全校抽取48名学生，则高三年级抽取多少名？【答案】（1）380；（2）12.【解析】【分析】（1）根据已知条件，根据分层抽样是等比抽样，即可求得；（2）根据（1）中所求，求得高三年级人数，再根据抽样比即可求得结果.【详解】（1）∵，∴．（2）高三年级人数为：，现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，应在高三年级抽取的人数为：人．18.已知：存在，，：任意，．（1）若为假命题，求实数的取值范围； （2）若为真，为假，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）先求出、为真命题时的取值范围，为假命题，则、都为假命题，列不等式组求解即可.（2）为真，为假，则、一真一假，分类讨论列不等组求解.【小问1详解】解：真：恒过，显然不成立，开口向下，真：，解得为假，则假假【小问2详解】，一真一假假真则有，真假则有综上：或19.已知函数f（x）＝x3＋（1－a）x2－a（a＋2）x＋b（a，b∈R）．（Ⅰ）若函数f（x）的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值；（Ⅱ）若曲线y＝f（x）存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围．【答案】（I）；（II）.【解析】【详解】试题分析：（I）由函数的图象过原点可求得，由在原点处的切线斜率为可得进而可求得；（II）由曲线存在两条垂直于轴的切线得有两个不同的根，即，可解得的取值范围.试题解析：． （Ⅰ）由题意得，解得．（Ⅱ）∵曲线存在两条垂直于轴的切线，∴关于的方程有两个不相等的实数根，∴即∴∴a的取值范围是考点：导数的几何意义.20.如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝AB＝BC＝1，CD＝2，E为CD的中点，将△ADE沿AE折到△APE的位置．（1）证明：AE⊥PB；（2）当四棱锥PABCE的体积最大时，求点C到平面PAB的距离．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）在等腰梯形ABCD中连接BD，结合已知条件可证BD⊥AE，由△ADE翻折后，根据线面垂直判定证AE⊥面POB，再由线面垂直的性质可证AE⊥PB；（2）由，点C到平面PAB的距离为以面为底的高，而即可求出C到平面PAB的距离.【详解】（1）证明：在等腰梯形ABCD中，连接BD，交AE于点O，∵AB∥CE，AB＝CE，∴四边形ABCE为平行四边形，∴AE＝BC＝AD＝DE，∴△ADE为等边三角形， ∴在等腰梯形ABCD中，∠C＝∠ADE＝，BD⊥BC，∴BD⊥AE.如图，翻折后可得，OP⊥AE，OB⊥AE，又OP⊂平面POB，OB⊂平面POB，OP∩OB＝O，∴AE⊥平面POB，∵PB⊂平面POB，∴AE⊥PB.（2）当四棱锥PABCE的体积最大时，有平面PAE⊥平面ABCE；又面PAE∩面ABCE＝AE，PO⊂面PAE，PO⊥AE，∴OP⊥平面ABCE.∵OP＝OB＝，∴PB＝，∵AP＝AB＝1，∴，连接AC，则，设点C到平面PAB的距离为d，∵，∴.【点睛】本题考查了利用线面垂直的性质证明异面直线垂直，应用等体积法求点面距，属于基础题.21.已知函数．（1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值．【答案】（1）；（2）函数的增区间为、，单调递减区间为，最大值为，最小值为.【解析】【分析】（1）求出、的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；（2）由可求得实数的值，然后利用导数分析函数的单调性与极值，由此可得出结果.【详解】（1）当时，，则，，，此时，曲线在点处的切线方程为，即；（2）因为，则，由题意可得，解得，故，，列表如下：增极大值减极小值增所以，函数的增区间为、，单调递减区间为.当时，；当时，.所以，，.22.已知函数，.（1）讨论函数的单调性； （2）证明：时，．【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）先对求导，再对分类讨论即可得出函数的单调性；（2）时，将所证不等式转化为，令，，分别根据导数求出的最小值和的最大值即可证明不等式.【详解】解：（1），，.当时，，函数在上单调递减；时，由，得，由，得，此时函数在上单调递减，在上单调递增.（2）证明：时，要证，即要证：，，令，则，当时，，此时函数单调递减；当时，，此时函数单调递增.可得时，函数取得最小值，.令，，当时，，此时为增函数，当时，，此时为减函数，所以时，函数取得最大值，.与不同时取得，因此，即，.故原不等式成立. 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性与最值、分类讨论方法、等价转化方法，考查了利用导数证明不等式，属于中档题.