北京市西城区2023届高三数学二模试题（Word版附答案）

2023北京西城高三二模数学2023.5本试卷共 6 页， 150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共 40 分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）复数的虚部为（A）（B）（C）（D）（2）已知集合，，则（A）（B）（C）（D）（3）已知抛物线与抛物线关于轴对称，则的准线方程是（A）（B）（C）（D）（4）在中，，则（A）（B）（C）（D）（5）设，，，则（A）（B）（C）（D）（6）将边长为的正方形沿对角线折起，折起后点记为．若，则四面体的体积为（A）（B）（C）（D）（7）已知数轴上两点的坐标为，现两点在数轴上同时相向运动．点的运动规律为第一秒运动个单位长度，以后每秒比前一秒多运动个单位长度；点的运动规律为每秒运动个单位长度．则点相遇时在数轴上的坐标为 （A）（B）（C）（D）（8）已知函数．则“”是“为偶函数”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（9）某放射性物质的质量每年比前一年衰减，其初始质量为，年后的质量为，则下列各数中与最接近的是（A）（B）（C）（D）（10）在坐标平面内，横、纵坐标均为整数的点称为整点．点从原点出发，在坐标平面内跳跃行进，每次跳跃的长度都是且落在整点处．则点到达点所跳跃次数的最小值是（A）（B）（C）（D）第二部分（非选择题共 110 分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。（11）函数的定义域为____．（12）设等比数列的前项和为，，，则____；使成立的的最小值为____．（13）在中，若，，，则____．（14）已知两点．点满足，则的面积是____；的一个取值为____．（15）已知直线和曲线，给出下列四个结论：①存在实数和，使直线和曲线没有交点；②存在实数，对任意实数，直线和曲线恰有个交点；③存在实数，对任意实数，直线和曲线不会恰有个交点；④对任意实数和，直线和曲线不会恰有个交点．其中所有正确结论的序号是____． 三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（16）（本小题13分）如图，在直三棱柱中，分别为的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若，求直线与平面所成角的正弦值．（17）（本小题14分）已知函数，其中．再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，使存在，并完成下列两个问题．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）当时，若曲线与直线恰有一个公共点，求的取值范围．条件①：；条件②：是的一个零点；条件③：．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．（18）（本小题13分）体重指数（，简称）是国际上衡量人体胖瘦程度的一项常用指标．已知，其中表示体重（单位：），表示身高（单位：）．对成人，若，则身体处于肥胖状态．某企业为了解员工的身体状况，从全体员工中随机抽取人，测量他们的体重（单位：）和身高（单位：），得到如下散点图（图中曲线表示时体重和身高的关系）． 假设用频率估计概率．（Ⅰ）该企业员工总数为人，试估计该企业员工身体处于肥胖状态的人数；（Ⅱ）从该企业身体处于肥胖状态的员工中随机抽取人，设其中体重在以上的人数为，估计的分布列和数学期望；（Ⅲ）从样本中身高大于或等于的员工中随机抽取人，若其身体处于肥胖状态的概率小于，写出的所有可能取值．（结论不要求证明）（19）（本小题15分）已知椭圆的短轴长为，一个焦点为．（Ⅰ）求椭圆的方程和离心率；（Ⅱ）设直线与椭圆交于两点，点在线段上，点关于点的对称点为．当四边形的面积最大时，求的值．（20）（本小题15分）已知函数．（Ⅰ）求在区间上的最大值和最小值；（Ⅱ）若恒成立，求实数的值．（21）（本小题15分）给定奇数，设是的数阵．表示数阵第行第列的数，且．定义变换为“将数阵中第行和第列的数都乘以”，其中．设．将经过变换得到，经过变换得到，，经过变换得到．记数阵中的个数为．（Ⅰ）当时，设，，写出，并求；（Ⅱ）当时，对给定的数阵，证明：是的倍数； （Ⅲ）证明：对给定的数阵，总存在，使得． 参考答案一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）（ 1 ）A（ 2 ）D（ 3 ）D（ 4 ）B（ 5 ）A（ 6 ）A（ 7 ）B（ 8 ）C（ 9 ）C（10）B二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（11）（12）（13）（14）（答案不唯一）（15）①②③（注：选对1个给2分，选对2个给3分，全对给5分；错选0分）三、解答题（共6小题，共85分）（16）（共13分）解：（Ⅰ）连接．因为分别为的中点，所以．在三棱柱中，．所以，四点共面．………1分因为，，分别为的中点，所以，．所以四边形为平行四边形．………4分所以．………5分因为平面，平面，所以平面．………6分（Ⅱ）由题设平面，所以，．因为，所以两两垂直．如图建立空间直角坐标系．………7分所以．，，．设平面的法向量为，则即令，则，．于是．………10分设直线与平面所成角为，则．………13分 （17）（共14分）解：选条件②．（Ⅰ）由题设．………1分所以．………2分因为，所以．………3分所以．………4分所以．………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）………7分．………8分因为，所以．………9分于是，当且仅当，即时，取得最大值；………11分当且仅当，即时，取得最小值．………12分又，即时，．………13分所以的取值范围是．………14分选条件③．（Ⅰ）由题设．………1分整理得．………2分以下同选条件②．（18）（共13分）解：（Ⅰ）因为样本中身体处于肥胖状态的员工共人，………2分所以估计该企业员工身体处于肥胖状态的人数为．………4分（Ⅱ）因为样本中身体处于肥胖状态的员工共人，且其中恰有人体重在以上，所以从该企业身体处于肥胖状态的员工中随机抽取人，估计其体重在以上的概率为．………5分由题设，；的所有可能取值为． 估计为；估计为；估计为；估计为．……9分所以的分布列为估计的数学期望．………11分（Ⅲ）或．………13分（19）（共15分）解：（Ⅰ）由题设………3分解得所以椭圆的方程为．………4分的离心率为．………5分（Ⅱ）设椭圆的另一个焦点为，则直线过点．………6分由得．………7分设，则，．………9分由题设，点为线段的中点，所以点和点到直线的距离相等．所以四边形的面积为面积的倍．………10分又，所以．………12分所以．………13分设，则．所以．………14分 当且仅当，即时，．所以四边形的面积最大时，．………15分（20）（共15分）解：（Ⅰ）因为，………2分所以在区间上单调递增．………3分所以的最小值为；的最大值为．……5分（Ⅱ）的定义域为．由（Ⅰ）知，且在上单调递增，所以当时，；当时，．………7分设．若恒成立，则当时，；当时，．所以，即，解得．………9分下面证明：当时，恒成立．此时，，．当时，．所以在上单调递增，．………11分当时，设．因为，所以在上单调递增．又，，所以存在唯一的，使得．………13分所以在上单调递减，在上单调递增．因为，且，所以当时，恒成立．综上，．………15分（21）（共15分）解：（Ⅰ）由题设，．………2分 所以，．………4分（Ⅱ）设数阵中第行和第列中的个数均为，的个数均为．经过变换，的第行和第列均有个变为，有个变为．所以．即是的倍数．………9分（Ⅲ）数阵经过变换得到数阵，设第行和第列中1的个数均为．由（Ⅱ）可知，．………10分设当时，取得最小值，其中．记每行中的个数为，则必有．否则，若存在使得，则令，有，与为最小值矛盾．…11分在中，①若等于的个数不超过，则．………12分②若等于的个数大于，则必存在满足，且．否则，不妨设，则共有个满足，且，所以中至多有个等于，矛盾．故存在满足，且．………13分取，因为，所以．由变换为时，从变为，故数阵第行中的个数为．故，这与为最小值矛盾．综上，对给定的数阵，总存在，使得．………15分