安徽省蚌埠市2022-2023学年高三数学下学期四模试题（Word版附解析）

蚌埠市2023届高三年级第四次教学质量检查考试数学一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】求出集合再求即可.【详解】因为集合，则.故选：B.2.已知为虚数单位，复数满足，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据给定的条件，利用复数除法运算求出即可作答.【详解】依题意，，所以.故选：D3.已知等差数列满足，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】 【分析】利用等差中项求解即可.【详解】因为数列是等差数列，所以，即，所以，故选：A4.已知实数满足且，则下列不等关系一定正确的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由不等式的性质判断A、B，根据基本不等式可判断C、D.【详解】因为且，所以或，对A：若，则，若，则，A错误；对B：∵，，∴，B错误；对C：由或，知且，∴，C正确；对D：当时，有，从而当，则且，∴，D错误.故选：C5.将顶点在原点，始边为轴非负半轴的锐角的终边绕原点顺时针旋转后，交单位圆于点，那么（）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】根据任意角三角函数的定义，求得的正弦值与余弦值，利用正弦的和角公式，可得答案.【详解】由点单位圆上，则，解得，由锐角，即，则，故，所以.故选：D6.如图是函数图象的一部分，设函数，，则可以是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据函数的奇偶性结合定义域分析判断.【详解】因为，所以为偶函数，为奇函数.可知，为非奇非偶函数，，为奇函数， 由图可知：为奇函数，故A、C错误；由于，令，可得，故的定义域为.又因为的定义域为，所以D错误；故选：B.7.在中，已知，若，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据平面向量的线性运算利用表示可得，解出，再利用即可求解.【详解】由题意可得，解得，所以，即，所以， 故选：A8.已知双曲线的右焦点为，过点的直线分别与双曲线的渐近线平行，与渐近线的交点记为，若为等边三角形，且面积为，则（）A.B.C.3D.2【答案】C【解析】【分析】作图，分析几何关系得到四边形OABF是菱形，利用条件即可求出.【详解】由题意作上图，显然四边形是平行四边形，又是等边三角形，是菱形，由于，的AB边上的高，即，的方程为：，A在上，，；故选：C.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.某校在开展的“体育节”活动中，为了解学生对“体育节”的满意程度，组织学生给活动打分（分数为整数，满分100分），发现分数均在内.从中随机抽取一个容量为300的样本，并将这些数据分成6组并作出样本的频率分布直方图，但不小心污损了部分图形（如图所示），则下列说法中正确的是（） A.样本中分数落在的频数为60人B.样本的众数为75分C.样本的平均数为73.5分D.样本的80百分位数为85分【答案】BC【解析】【分析】利用直方图求频数，分析样本众数、平均数及80百分位数判断各项正误.【详解】由直方图，的频率为，所以分数落在的频数为人，A错；而的频率为，为各组最大，故样本的众数为75分，B对；样本平均数为，C对；由，所以80百分位数在，设为，则，可得分，D错.故选：BC10.袋中有大小相同的8个小球，其中5个红球，3个蓝球.每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回.记“第一次摸球时摸到红球”为事件，“第一次摸球时摸到蓝球”为事件；“第二次摸球时摸到红球”为事件，“第二次摸球时摸到蓝球”为事件，则下列说法正确的是（）A.B.C.D.【答案】ABCD【解析】 【分析】求出，，，，根据条件概率公式计算可得答案.【详解】因为，，事件有两种情况，①第一次摸到红球，第二次摸到红球；②第一次摸到蓝球，第二次摸到红球；，事件有两种情况，①第一次摸到红球，第二次摸到蓝球；②第一次摸到蓝球，第二次摸到蓝球；,所以，故A正确；，故B正确；，故C正确；，故D正确.故选：ABCD.11.已知正方体的棱长为6，点分别是棱的中点，是棱上的动点，则（）A.直线与所成角的正切值为B.直线平面C.平面平面D.到直线的距离为【答案】BCD【解析】【分析】把直线与所成的角，转化为直线与所成的角，在直角中，求得所成的角的正切值为，可判定A不正确；由，利用线面平行的判定定理，证得平面 ，可判定B正确；由平面，得到平面，结合面面垂直的判定定理，可判定C正确；设，证得，得到即为点到直线的距离，在直角中求得，可判定D正确.【详解】对于A中，在正方体中，可得，所以异面直线与所成的角，即为直线与所成的角，设，取的中点，连接和，在直角中，，即异面直线与所成的角的正切值为，所以A不正确；对于B中，因为点分别是棱的中点，可得，又因为平面，平面，所以直线平面，所以B正确；对于C中，在正方体中，可得平面，因为，所以平面，又因为平面，所以平面平面，所以C正确；对于D中，设，因为平面，且平面，可得，所以即为点到直线的距离，在直角中，，所以，即到直线的距离为，所以D正确.故选：BCD. 12.设定义在R上的函数与的导数分别为与，已知，，且的图象关于直线对称，则下列结论一定成立的是（）A.函数的图象关于点对称B.函数的图象关于直线对称C.函数的一个周期为8D.函数为奇函数【答案】AC【解析】【分析】由，可得，由的图象关于直线对称，则，据此可判断各选项正误.【详解】因，两边求导可得.的图象关于直线对称，则.A选项，由可得，由可得，则，即函数的图象关于点对称，故A正确；B选项，若函数的图象关于直线对称，则.又，，则.即是常函数，但不一定是常函数，故B错误；C选项，由可得.由可得，又，则，则函数的一个周期为8，故C正确； D选项，若函数为奇函数，则.由可得.又，则，得的一个周期为4，但题目条件不足以说明的周期情况，故D错误.故选：AC三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量，则在上的投影向量为___________.（用坐标表示）【答案】【解析】【分析】根据给定条件，结合投影向量的意义求解作答.【详解】因为，则有，所以在上的投影向量为故答案为：14.如今中国被誉为“基建狂魔”，可谓逢山开路，遇水架桥.公路里程､高铁里程双双都是世界第一.建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊､平衡盾构机等国之重器更是世界领先.如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切.若，则该模型中最小小球的半径为___________.【答案】##【解析】【分析】设E为底面的中心，F为CD的中点，O为大球的球心，大正四面体的棱长为a，高为h，利用 ，求得正四面体内切球的半径为正四面体的高为四分之一求解.【详解】解：如图所示：设O为大球的球心，大正四面体的底面中心为E，CD的中点为F，棱长为a，高为h，连接OA，OB，OC，OD，则，大球所对应的正四面体的高为，因为，所以，所以，因为大正四面体的棱长为12，所以，，，，，，故答案为：15.已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，点在上，若三点共线，且的外接圆交于点的外接圆交于点，则___________. 【答案】1【解析】【分析】根据，得到为外接圆的直径，为外接圆的直径，，从而有，再结合抛物线得到求解.【详解】解：如图所示：因为，所以为外接圆的直径，为外接圆的直径，所以，由抛物线的定义得，则，所以，所以，则，所以，故答案为：116.函数的部分图象如图所示，若，且，则___________，___________. 【答案】①.##②.##【解析】【分析】根据函数图象求得，由关于函数图象中y轴右侧第一个零点对称确定，再，应用平方关系、诱导公式即倍角余弦公式求值即可.【详解】由题设，又，则，，则，故，由且是y轴左侧第一个零点，故，即，则，由图知：关于函数图象中y轴右侧第一个零点对称，即对称，所以，由，且，所以，而，则.故答案为：，四､解答题：本题共6个小题，共70分.解答应写出说明文字､演算式､证明步骤.17.已知的内角，，所对的边分别为，且满足. （1）求角；（2）若的面积为，点在边上，是的角平分线，且，求的周长.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题中等式和二倍角公式，正弦定理，余弦定理整理可得.（2）利用三角形面积公式，先求，再利用余弦定理求即可.【小问1详解】，，由正弦定理得，，又，.【小问2详解】，，，由题意知，，， ，，，故.的周长为.18.已知数列和，，，.（1）求数列和的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）通过题中关系，可构造出数列为等比数列，进而求和.（2），可利用分组求和和错位相减求和法解题.【小问1详解】由，，得，整理得，而，所以数列是以为首项，公比为的等比数列，所以， ，.【小问2详解】，设，则，两式相减得，从而.19.某省高考改革新方案，不分文理科，高考成绩实行“”的构成模式，第一个“3”是语文､数学､外语，每门满分150分，第二个“3”由考生在思想政治､历史､地理､物理､化学､生物6个科目中自主选择其中3个科目参加等级性考试，每门满分100分，高考录取成绩卷面总分满分750分.为了调查学生对物理､化学､生物的选考情况，将“某市某一届学生在物理､化学､生物三个科目中至少选考一科的学生”记作学生群体，从学生群体中随机抽取100名学生进行调查，他们选考物理，化学，生物的科目数及人数统计如表：选考物理､化学､生物的科目数123人数104050（1）从这100名学生中任选2名，求他们选考物理､化学､生物科目数量相等的概率；（2）从这100名学生中任选2名，记表示这2名学生选考物理､化学､生物的科目数量之差的绝对值，求随机变量的数学期望；（3）用频率估计概率，现从学生群体中随机抽取4名学生，将其中恰好选考物理､化学､生物中的两科目的学生数记作，求事件“”的概率. 【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由题，可知总情况数为，2人选考科目数量分别为1，2，3的情况数，据此可得答案；（2）由题意可知的可能取值分别为，分别求得时概率即可得答案；（3）由题可得随机抽取1人，选考科目数为2的概率为，又，即4人中有2人，3人，4人选考科目数为2，即可得答案.【小问1详解】记“所选取的2名学生选考物理､化学､生物科目数量相等”为事件A，则两人选考物理､化学､生物科目数量（以下用科目数或选考科目数指代）为1的情况数为，数目为2的为，数目为3的有，则.；【小问2详解】由题意可知的可能取值分别为.为0时对应概率为（1）中所求概率：；为1时，1人选考科目数为1，另一人为2或1人为2，1人为3：；为2时，1人为1，1人为3：.则分布列如图所示：012 故的期望为；【小问3详解】所调查的100名学生中物理､化学､生物选考两科目的学生有40名，相应的频率为，则4人中随机1人选考2科的概率为.又，当时，相应概率为；当时，相应概率为；，相应概率为.则20.已知三棱柱中，侧面是正方形，底面是等腰直角三角形，且为线段中点，.（1）求证：平面平面；（2）在线段上是否存在点，使得平面与平面夹角为，且满足？若不存在，请说明理由；若存在，求出的长度.【答案】（1）证明见解析（2）存在，【解析】【分析】（1）由，证得平面，得到，再由，证得平面，进而证得平面平面.（2）假设存在点满足题意，取中点，以方向分别为轴，轴， 轴正方向建立空间直角坐标系，，分别求得平面和的一个法向量和，结合向量的夹角公式，即可求解.【小问1详解】证明：因为侧面是正方形，底面是等腰直角三角形，所以，又因为，且平面，所以平面，因为平面，所以，由平行四边形，且，可得四边形为菱形，且，可得是等边三角形，因为为中点，可得，又因为，且平面，所以平面，因为平面，所以平面平面.【小问2详解】解：假设存在点满足题意，则由（1）知平面，取中点，以方向分别为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示，则，可得，设，则，设平面法向量为，则，取，可得，设平面的法向量为，则取取，可得.则， 整理得，解得或（舍去）.故存在满足题意.21.已知椭圆的离心率为分别为椭圆的上､下顶点，且.（1）求椭圆方程；（2）若直线与椭圆交于两点（异于点），且的面积为，过点A作直线，交椭圆于点，求证：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据条件列出关于的方程，求得它们的值，即得答案.（2）联立直线和椭圆方程，设，可得到根与系数的关系式，根据三角形面积可得到，继而计算以及，推出，即可证明结论.【小问1详解】由题意得：,解得,故椭圆的方程为. 【小问2详解】证明：直线的方程为，代入，得，需满足，设，则，则，点O到直线l的距离为，所以，即，得，满足，所以设，则，即，得，因为，所以，即.【点睛】难点点睛：有关直线和圆锥曲线的位置关系的题目，解题的思路一般并不难想到，即要联立直线和圆锥曲线方程，化简得到根与系数的关系式，结合条件进行化简，但难点在于计算的复杂性，计算量较大，且基本上都是相关参数的运算，因此要求计算十分细心才可. 22.已知函数.（1）证明：；（2）证明：函数在上有唯一零点，且.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据给定条件，构造函数，利用导数探讨单调性，求出最小值作答.（2）利用导数结合零点存在性定理推理判断唯一零点，再借助单调性把不等式转化为证，然后构造函数推理作答.【小问1详解】令，求导得，令，则，即函数在R上单调递增，而，由得，由得，因此函数在上单调递增，在上单调递减，有，所以.【小问2详解】由，求导得，令，于是，即函数在上单调递减，又，由零点存在性定理知，存在唯一实数，使得，则当单调递增，单调递减，而，则 ，且在恒成立，又，因此存唯一，使得，下面证明，由知，即，则只需证，即证，由（1）知：，只需证：，令，而，故只需证，其中，令，则，函数在上单调递增，因此，即时，，所以.【点睛】思路点睛：函数不等式证明问题，将所证不等式等价转化，构造新函数，再借助函数的单调性、极(最)值问题处理.