四川省阆中中学2023届高三理科数学全景模拟卷（一）试题（Word版附解析）

四川省阆中中学校高2020级全景模拟卷（一）理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设全集，集合，则（    ）A．B．C．D．2．若．则（    ）A．B．C．D．3．某保险公司为客户定制了A，B，C，D，E共5个险种，并对5个险种参保客户进行抽样调查，得出如下的统计图：用该样本估计总体，以下四个说法错误的是（    ）A．57周岁以上参保人数最少B．18～30周岁人群参保总费用最少C．C险种更受参保人青睐D．31周岁以上的人群约占参保人群80％4．正六棱柱的底面边长为1，侧棱长为，则这个棱柱侧面对角线与所成的角是（    ）A．B．C．D．5．记不等式组表示的平面区域为，命题；命题.给出了四个命题：①；②；③；④，这四个命题中，所有真命题的编号是（    ）A．②③B．①②C．①③D．③④6．设为抛物线的焦点，为该抛物线上三点．若，则（    ）A．9B．6C．4D．37．已知函数的部分图像如图所示，则该函数的解析式可能是（    ）13学科网（北京）股份有限公司 A．B．C．D．8．沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”.如图，是以O为圆心，为半径的圆弧，C是的中点，D在上，.“会圆术”给出后的弧长的近似值s的计算公式：，记实际弧长为.当，时，的值约为（    ）（参考数据：，）A．0.53B．0.13C．0.05D．0.019．已知函数且，若在区间上有最大值，无最小值，则的最大值为（）A．B．C．D．10．设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（    ）A．B．C．D．11．已知函数在区间内有两个极值点且，则（    ）A．  B．在区间上单调递增C．  D．12．在长方体中，，，点M为平面内一动点，且平面，则当取最小值时，三棱锥的外接球的表面积为（    ）A．B．C．D．二、填空题（20分，每小题5分）13．已知向量满足，且，则__________.14．已知集合，在集合A中可重复的依次取出三个数，则这3个数能够成为一个三角形三条边的概率是__________.15．设为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别是，若双曲线的离心率为，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，则__________．16．《蒙娜丽莎》是意大利文艺复兴时期画家列奥纳多·达·芬奇创作的油画，现收藏于法国卢浮宫博物馆．该油画规格为纵，横．油画挂在墙壁上时，其最低点处离地面（如图所示）．有一身高为的游客从正面观赏它（该游客头顶到眼睛的距离为），设该游客与墙的距离为，视角为，为使观赏视角最大，则应为________．13学科网（北京）股份有限公司 16.已知函数.若恒成立，则三、解答题（共70分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．(本小题12分)某车间生产一批零件，现从中随机抽取10个，测量其内径的数据如下（单位：）：192，192，193，197，200，202，203，204，208，209．设这10个数据的均值为，标准差为．(1)求和；(2)已知这批零件的内径（单位：）服从正态分布，若该车间又新购一台设备，安装调试后，试生产了5个零件，测量其内径（单位：）分别为：181，190，198，204，213，如果你是该车间的负责人，以原设备生产性能为标准，试根据原则判断这台设备是否需要进一步调试？并说明你的理由．参考数据：若，则：，，，．18．(本小题12分）设数列的前项之积为，且满足．(1)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；(2)记，证明：．19．(本小题12分)如图，四棱锥的底面是矩形，PA⊥底面ABCD，，，M，N分别为CD，PD的中点，K为PA上一点，.13学科网（北京）股份有限公司 (1)证明：B，M，N，K四点共面；(2)若PC与平面ABCD所成的角为，求平面BMNK与平面PAD所成的锐二面角的余弦值.20．(本小题12分)已知函数.(1)若恒成立，求a的值；(2)求证：对任意正整数，都有（其中e为自然对数的底数）.21．已知函数，其中．(1)若有两个零点，求的取值范围；(2)若，求的取值范围．21．(本小题12分)已知动圆经过定点，且与圆：内切.(1)求动圆圆心的轨迹的方程；(2)设轨迹与轴从左到右的交点为点，点为轨迹上异于的动点，设交直线于点，连结交轨迹于点.直线､的斜率分别为､.（i）求证：为定值；（ii）证明直线经过轴上的定点，并求出该定点的坐标.选做题（22-23题任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分）22．(本小题10分)有一种灯泡截面类似“梨形”曲线，如图所示，它是由圆弧、圆弧和线段四部分组成，在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半13学科网（北京）股份有限公司 轴为极轴，建立极坐标系．已知，弧、弧所在圆的圆心分别是、，曲线是弧，曲线是弧．(1)分别写出的极坐标方程；(2)直线的参数方程为（为参数），若与曲线有且仅有两个公共点，求的取值范围．23．(本小题10分)已知，函数.（1）若，，求不等式的解集﹔（2）设函数，求的最小值，并求出取得最值时的值．阆中中学校高2020级全景模拟卷（一）理科数学参考答案123456789101112ADBBCBBCDADA1．A；2．D；3．B【详解】A选项，57周岁以上参保人数所占比例是，是最少的，A选项正确.B选项，“18～30周岁人群参保平均费用”比“57周岁以上人群参保平均费用”的一半还多，而18～30周岁人群参保人数所占比例是57周岁以上参保人数所占比例的两倍，所以57周岁以上参保人群参保总费用最少，B选项错误.C选项，C险种参保比例，是最多的，所以C选项正确.D选项，31周岁以上的人群约占参保人群，D选项正确.故选：B4．B【详解】连接，则，故为与所成的角．13学科网（北京）股份有限公司 在中，，，，在和中，得，是等边三角形，．故选：B．5．C【详解】如图，平面区域D为阴影部分，由得即A（2，4），直线与直线均过区域D，则p真q假，有假真，所以①③真②④假．故选C．6．B【详解】解：设点的坐标分别为．又，则，，．由抛物线的定义可得：，，故选：B7．B【详解】观察函数图象可得该函数图象关于原点对称，所以函数为奇函数，由图象可得，对于函数，因为，所以函数为偶函数，A错，对于函数，，所以函数为奇函数，又，与图象不符，故C错误，对于函数，，13学科网（北京）股份有限公司 所以函数为奇函数，又，与图象不符，故D错误，对于函数，因为，所以函数为奇函数，且，与图象基本相符，B正确，故选：B.8．C【详解】因为，所以，因为是的中点，在上，，所以延长可得在上，，所以，，所以.故选：C9．D【详解】函数且，直线为的图像的一条对称轴，，.，.又，且在区间上有最大值，无最小值，，，，当时，为最大值.故选：D10．A【详解】为奇函数，，所以关于对称，所以①，且，又为偶函数，，则关于对称，所以②，由①②可得，即，所以，于是可得，所以的周期，则，所以为偶函数则，所以，所以所以，解得，所以当时，所以.故选：A.11．D13学科网（北京）股份有限公司 【详解】由题意函数在区间内有两个极值点，则,即，故，当时，，当时，，当时，，即为在内的极大值点，为在内的极小值点，所以，A错误；由时，，故，所以在区间上单调递减，B错误；又，由于时R上的增函数，故，所以，C错误；，因为，故，故，D正确，故选：D．12．A【详解】根据题意易知，，且平面，平面，所以平面，同理可得平面；又，平面，所以平面平面；又因为点M在平面内且平面，所以点M在平面与平面的交线上，易知，所以当取最小值时，为线段的中点，如下图所示：取的中点为，交于点，连接；则，所以，而，所以即为三棱锥的外接球球心，半径，则表面积.故选：A13．【详解】由得，所以，13学科网（北京）股份有限公司 故答案为：14．或0.625【详解】集合，在中可重复的依次取出三个数，，，基本事件有共有8个，“以，，为边长恰好构成三角形”包含的基本事件个数，分别为：所以“以，，为边长恰好构成三角形”的概率：．15．【详解】双曲线的离心率，，，双曲线渐近线为：，不妨设在上，如下图所示，，，则，在中，，在中，由余弦定理得：，，.16．cm【详解】如图，作垂直于的延长线，垂足为D,则，设,则,,即，解得，因为当且仅当即时取等号，所以，此时观赏视角最大，此时cm,17．【详解】（1）,……………3分13学科网（北京）股份有限公司 ，故；………………6分（2）由题意得：，………………………………………………7分，即，………………9分所以五个零件的内径中恰有1个不在的概率为，………………………………………………11分又试产的5个零件中内径出现了1个不在内，所以小概率事件出现了，根据原则，这台设备需要进一步调试.………………………………………………12分18．【详解】（1）方法一：当，得，当时，①②……………………………1分两式相除可得：即，又，故，变形为：，……………………………4分因为，所以是以为首项，1为公差的等比数列．………………5分所以化简可得………………………………………………6分法二：因为，，所以…………1分即令，则，所以以3为首项，以2为公差的等差数列，……………………………3分所以，即，所以．又因为满足上式，所以，………………………………4分所以，故，故数列是等差数列．所以化简可得………………………………………………6分（2）…………………………………………7分…………………………………………9分…………11分因为，所以…………………………………………12分19．【详解】（1）证明：连接AC交BM于E，连接KE，13学科网（北京）股份有限公司 ∵四边形ABCD是矩形，M为CD的中点，且，，…………………………………………2分，，，，…………………………4分∵M，N分别是CD，PD的中点，，，K，E，M，N四点共面，，B，M，N，K四点共面.…………………6分（2），，∴，平面ABCD，∴PC与平面ABCD所成的角为，在中，，∴，…………………………………………8分以AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴建立空间直角坐标系，如图，，，，，，设平面BMNK的一个法向量为，则，令，得平面BMNK的一个法向量为，………………………………10分又平面PAD的一个法向量为，设平面BMNK与平面PAD所成的锐二面角的大小为，，平面BMNK与平面PAD所成的锐二面角的余弦值为.…………………………12分20．【详解】（1）由，得对恒成立.记，，……………………………………1分1°若，则恒成立，在上单调递减，当时，，不符合题意.…………………………………………2分2°若，令，得，当时，；当时，，∴在上单调递增，在上单调递减，∴.…………………………………………4分13学科网（北京）股份有限公司 记，.令得，当时，；当时，，∴在上单调递减，在上单调递增.∴，即（当且仅当时取等号），∴.又因为，故.…………………………………………6分（2）由（1）可知：，（当且仅当时等号成立）.令，则，（，3，4…，n）.…………8分∴，即，……………………………10分也即，所以，故对任意正整数，都有.……………12分21．【详解】（1）设动圆的半径为，由题意得圆的圆心为，半径；所以，，则.………………………3分所以动点的轨迹是以，为焦点，长轴长为4的椭圆.因此轨迹方程为.…………………………………………4分（2）（i）设，，.由题可知，，如下图所示：则，，而，于是，所以，………………………………6分又，则，因此为定值.……………8分（ii）设直线的方程为，，.13学科网（北京）股份有限公司 由，得，所以.……………9分由（i）可知，，即，………10分化简得，解得或（舍去），……………11分所以直线的方程为，因此直线经过定点.……………12分22．【详解】（1）由题意知，弧、弧所在的圆的直角坐标方程分别为，………………………………………………………2分所以弧、弧所在的圆的极坐标方程分别为，，…………………3分所以；…………………5分（2）依题意直线恒过定点，且斜率为．…………………………6分因为平面直角标系下，所以．………………8分因为直线与曲线有且仅有两个公共点，由图知，所以，即，所以的取值范围为.…………………10分23．【解析】（1）由，可得，则即…2分所以或，解得：或，故不等式的解集为或．………4分（2）因为，………6分因为，所以，所以，………………7分所以，……………………8分当且仅当即，时，等号成立，…………………………9分所以当，时，函数取得最小值4.…………………………10分13学科网（北京）股份有限公司