四川省 2022-2023学年高三理科数学上学期一诊模拟卷1（Word版带解析）

绝密☆启封并使用完毕前高2023届四川省成都七中高三一诊数学模拟卷（一）数学（理工类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。满分150分。考试时间120分钟。考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上大题无效。考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷（选择题共50分）注意事项：必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。第Ⅰ卷共12小题。一、本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合A＝{(x，y)|(x＋y＋1)(2x－y＋1)＝0}，则集合A中元素的个数是(　　)A．0个B．1个C．2个D．无数个【解析】选D.因为(x＋y＋1)(2x－y＋1)＝0等价于x＋y＋1＝0或2x－y＋1＝0，所以集合A是直线x＋y＋1＝0和直线2x－y＋1＝0上的所有点组成的集合，所以集合A中的元素有无数个．2.若复数(4＋ai)(1＋i)(i为虚数单位，a∈R)为纯虚数，则a的值为(　　)A．－4B．3C．4D．5【解析】选C.因为(4＋ai)(1＋i)＝4＋ai＋4i＋ai2＝4－a＋(a＋4)i，所以，则a＝4.3.若过点(2，1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x－y－3＝0的距离为(　　)A．B．C．D．【解析】选B.因为已知圆与两坐标轴都相切，所以可设圆心坐标为(a>0)，则半径为a，由此圆过点(2，1)得，2＋2＝a2，解得a＝1或5，所以圆心坐标为(1，1)或(5，5)，圆心到直线2x－y－3＝0的距离都是.4．已知(x－m)(x＋2)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，其中m为常数，若a4＝30，则a0＝(　　)A．－32B．32C．64D．－64【解析】选A.由多项式乘法知，第一个因式中x乘以(x＋2)5展开式中的x3项得一个x4学科网（北京）股份有限公司 项，第一个因式中的常数－m乘以(x＋2)5展开式中的x4项得另一个x4项，两项合并同类项所得项的系数即为a4，所以a4＝C×22－m×C×2＝30，解得m＝1，再令x＝0，得a0＝－25＝－32.5．已知a＝tan(－)，b＝cos()，c＝sin(－)，则a，b，c的大小关系为(　　)A．a>b>cB．b>a>cC．b>c>aD．a>c>b【解析】选B.由已知，得a＝tan(－π－)＝－tan＝－，b＝cos(6π－)＝cos＝，c＝sin(－8π－)＝－sin＝－，因而b>a>c.6．已知A，B，C三点共线(该直线不过原点O)，且＝m＋2n(m＞0，n＞0)，则＋的最小值为(　　)A．10B．9C．8D．4【解析】选C.因为A，B，C三点共线(该直线不过原点O)，且＝m＋2n(m＞0，n＞0)，所以m＋2n＝1，所以＋＝(＋)(m＋2n)＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当＝，即m＝，n＝时等号成立．7.设函数f(x)的定义域为R，f(x＋1)为奇函数，f(x＋2)为偶函数，当x∈[1，2]时，f(x)＝ax2＋b.若f(0)＋f(3)＝6，则f＝(　　)A．－B．－C．D．【解析】选D.因为f(x＋1)为奇函数，所以f(x)关于(1，0)中心对称，所以f(1)＝0.学科网（北京）股份有限公司 因为f(x＋2)为偶函数，故f(x)关于x＝2轴对称，周期为4，所以f(0)＝－f(2)，f(3)＝f(1)，即f(1)－f(2)＝6，f(2)＝－6.，所以，故f()＝f()＝－f()＝－(－2×＋2)＝.8．已知定义在R上的函数f(x)＝2|x－m|－1为偶函数，记a＝f(log0.53)，b＝f(log25)，c＝f(2m)，则(　　)A．a<b<cB．a<c<bC．c<a<bD．c<b<a【解析】选C.函数f(x)＝2|x－m|－1为偶函数，则m＝0，故f(x)＝2|x|－1，a＝f(log0.53)＝2|log0.53|－1＝2log23－1＝2，b＝f(log25)＝2log25－1＝4，c＝f(0)＝20－1＝0.所以c<a<b.9.考拉兹猜想又名3n＋1猜想，是指对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2，如此循环，最终都能得到1，阅读如图所示的程序框图，运行相应程序，输出的结果i＝(　　)A．6B．7C．8D．9【解析】选C.当a＝3时，不满足退出循环的条件，进入循环后，由于a值满足“a是奇数”，故a＝10，i＝2；学科网（北京）股份有限公司 当a＝10时，不满足退出循环的条件，进入循环后，由于a值不满足“a是奇数”，故a＝5，i＝3；当a＝5时，不满足退出循环的条件，进入循环后，由于a值满足“a是奇数”，故a＝16，i＝4；当a＝16时，不满足退出循环的条件，进入循环后，由于a值不满足“a是奇数”，故a＝8，i＝5；当a＝8时，不满足退出循环的条件，进入循环后，由于a值不满足“a是奇数”，故a＝4，i＝6；当a＝4时，不满足退出循环的条件，进入循环后，由于a值不满足“a是奇数”，故a＝2，i＝7；当a＝2时，不满足退出循环的条件，进入循环后，由于a值不满足“a是奇数”，故a＝1，i＝8；满足退出循环的条件，故输出结果为：i＝8.10.如图为一个组合体，底座为一个长方体，凸起部分由一小长方体和一个半圆柱组成，一只小蚂蚁从A点出发，沿几何体表面爬行，首先到达C点，然后沿凸起部分的表面到达B点，则小蚂蚁走过的最短距离为(　　)A．4＋2B．4＋22＋10πC．4＋42D．122＋10π【解析】选A.将A点所在的侧面沿交线展开，如图所示，则A到C的最短距离为＝4，学科网（北京）股份有限公司 故从A点到C点的最短距离为4，C点到B点的最短距离为BC＝＝2，故小蚂蚁走过的最短距离为4＋2.11．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)和点M(，0).若存在过点M的直线交C于P，Q两点，满足＝λ(0＜λ＜)，则椭圆C的离心率取值范围是(　　)A．(0，)B．(，)C．(，1)D．(，1)【解析】选C.设T(x，y)是椭圆上任意一点，则|TM|2＝(x－)2＋y2＝x2－x＋＋b2，对称轴为x＝a，所以|TM|2在x∈[－a，a]上单调递减，设A1(－a，0)，A2(a，0)，由题意可知，只要＜即可，则＜可得＜，即a2＜3c2，所以＜e＜1.12.已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足xf′(x)－f(x)<0，且f(2)＝2，则f(ex)－ex>0的解集是(　　)A．(－∞，ln2)B．(ln2，＋∞)C．(0，e2)D．(e2，＋∞)【解析】选A.令g(x)＝，g′(x)＝<0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递减，且g(2)＝＝1，故f(ex)－ex>0等价于>，即g(ex)>g(2)，故ex<2，解得x<ln2，故f(ex)－ex>0的解集为(－∞，ln2).学科网（北京）股份有限公司 第Ⅱ卷（非选择题共100分）注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答。作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚。答在试题卷、草稿纸上无效。第Ⅱ卷共11小题。二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知Sn是等比数列的前n项和，若存在m∈N*，满足＝9，＝，则数列的公比为_______________【解析】.设数列的公比为q，若q＝1，则＝2，与题中条件矛盾，故q≠1.因为＝＝qm＋1＝9，所以qm＝8.又因为＝＝qm＝8＝，所以m＝3，所以q3＝8，所以q＝2.14.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA＝，cosC＝，a＝1，则b＝________．【解析】在△ABC中，因为cosA＝，cosC＝，学科网（北京）股份有限公司 所以sinA＝，sinC＝，所以sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝×＋×＝.又因为＝，所以b＝＝＝.答案：15.已知球O是正四面体SABC的外接球，E为线段BC的中点，过点E的平面α与球O形成的截面面积的最小值为6π，则正四面体SABC的体积为_____【解析】如图所示：易知EO⊥平面α时，截面面积最小．设外接球的半径为R，截面面积最小时截面圆的半径为r，AB＝a，△ABC外接圆的圆心为O′，则R2＝O′O2＋O′B2，OE2＝O′O2＋O′E2，所以r2＝R2－OE2＝O′B2－O′E2.由πr2＝6π，解得r＝，则6＝－，解得a＝2.又正四面体的高h＝＝a，所以正四面体SABC的体积V＝×a2×a＝a3＝×(2)3＝8.16．已知函数f(x)＝＋x＋a－1的图象是以点(－1，－1)为中心的中心对称图形，g(x)＝学科网（北京）股份有限公司 ex＋ax2＋bx，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与曲线y＝g(x)在点(0，g(0))处的切线互相垂直，则a＋b＝________．【解析】由f(0)＋f(－2)＝－2，得1＋a－1－1－2＋a－1＝2a－4＝－2，解得a＝1，所以f(x)＝＋x.又f′(x)＝－＋1，所以f′(1)＝.因为g(x)＝ex＋x2＋bx，g′(x)＝ex＋2x＋b，g′(0)＝1＋b，由(1＋b)＝－1，得1＋b＝－，即a＋b＝－.答案：－三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.若数列{an}的前n项和为Sn，点(an，Sn)在y＝－x的图象上(x∈N*).(1)求数列{an}的通项公式；(2)若c1＝0，且对任意正整数n都有cn＋1－cn＝logan，求证：对任意正整数n≥2，总有≤＋＋＋…＋<.【解析】(1)因为点(an，Sn)在y＝－x的图象上(n∈N*)，所以Sn＝－an，当n≥2时，Sn－1＝－an－1，所以an＝an－1－an，化为an＝an－1，当n＝1时，a1＝S1＝－a1，解得a1＝.所以an＝×＝×()n＝()2n＋1.学科网（北京）股份有限公司 (2)对任意正整数n都有cn＋1－cn＝logan＝2n＋1，所以cn＝(cn－cn－1)＋(cn－1－cn－2)＋…＋(c2－c1)＋c1＝(2n－1)＋(2n－3)＋…＋3＝＝(n＋1)(n－1).所以当n≥2时，＝＝(－)，所以＋＋…＋＝[(1－)＋(－)＋…＋(－)]＝(1＋－－)＜(1＋)＝，又＋＋…＋≥＝.所以≤＋＋＋…＋＜.18.某校高一200名学生的期中考试语文成绩服从正态分布N(70，7.52)，数学成绩的频数分布直方图如下：(1)计算这次考试的数学平均分，并比较语文和数学哪科的平均分较高(假设数学成绩在频率分布直方图中各段是均匀分布的)；(2)如果成绩大于85分的学生为优秀，这200名学生中本次考试语文、数学优秀的人数大约各多少人？(3)如果语文和数学两科都优秀的共有4人，从(2)中的这些同学中随机抽取3人，设三人中两科都优秀的有X人，求X的分布列和数学期望.附参考公式：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X<μ＋σ)≈0.68，P(μ－2σ<X<μ＋2σ)≈0.96.解　(1)数学成绩的平均分为(0.012×45＋0.020×55＋0.025×65＋0.035×75＋0.006×85＋0.002×95)×10＝65.9，根据语文成绩的正态分布知语文平均分为70分，所以语文平均分高些.学科网（北京）股份有限公司 (2)语文成绩优秀的概率为p1＝P(X≥85)＝(1－0.96)×＝0.02，数学成绩优秀的概率为p2＝×10＝0.05，语文成绩优秀人数为200×0.02＝4，数学成绩优秀人数为200×0.05＝10.(3)语文数学两科都优秀的4人，单科优秀的有6人，X所有可能的取值为0，1，2，3.P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝.X的分布列为X0123P数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.19.如图，在三棱锥ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB＝AD，O是BD的中点．(1)证明：OA⊥CD；(2)若△OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE＝2EA，且二面角EBCD的大小为45°，求三棱锥ABCD的体积．【规范解答】(1)因为AB＝AD，O为BD中点，所以AO⊥BD，…………2分因为AO⊂平面ABD，平面ABD⊥平面BCD且平面ABD∩平面BCD＝BD，所以AO⊥平面BCD，又CD⊂平面BCD，所以AO⊥CD.…………4分(2)以O为坐标原点，OD为y轴，OA为z轴，垂直OD且过O的直线为x轴，设C(，，0)，D(0，1，0)，B(0，－1，0)，学科网（北京）股份有限公司 A(0，0，m)，E(0，，m)，…………5分因为＝，＝(，，0)，设n1＝(x1，y1，z1)为平面EBC法向量，所以，所以，令y1＝1，所以z1＝－，x1＝－，所以n1＝，…………7分平面BCD法向量为＝(0，0，m)，cos〈n1，〉＝＝，解得m＝1，…………9分所以OA＝1，所以S△ABD＝×BD×OA＝×2×1＝1，VABCD＝·S△ABD·|xC|＝.…………12分20．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的短轴长为2，且椭圆C的离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)过椭圆C的上焦点作相互垂直的弦AB，CD，求证：＋为定值．【解析】(1)由题意可知2b＝2，b＝1，又椭圆离心率为，则a＝，故椭圆C的方程为＋x2＝1.(2)当直线AB的斜率不存在或为零时，＋＝，当直线AB的斜率存在且不为零时，设直线AB的方程为y＝kx＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消y得(k2＋2)x2学科网（北京）股份有限公司 ＋2kx－1＝0，所以x1＋x2＝－，x1x2＝－，所以|AB|＝＝，同理可得|CD|＝，所以＋＝＋＝＝.21.已知函数f(x)＝(2x－1)lnx＋x－1.(1)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)求证：f(x)>－1.【解析】(1)由f(x)＝(2x－1)lnx＋x－1，得f′(x)＝2lnx－＋3，所以f′(1)＝2，f(1)＝0，则切线方程为y＝2x－2.(2)f′(x)＝2lnx－＋3，x∈(0，＋∞)，令h(x)＝2lnx－＋3，x∈(0，＋∞)，所以h′(x)＝＋＝>0，故h(x)在(0，＋∞)上单调递增．又h(1)＝2>0，h＝1－ln4＝ln<0，又h(x)在(0，＋∞)上连续，所以存在x0∈使得h(x0)＝0，即f′(x0)＝0，所以2lnx0－＋3＝0.(*)f′(x)，f(x)随x的变化情况如下：x(0，x0)x0(x0，＋∞)f′(x)－0＋f(x)↘极小值↗所以f(x)min＝f(x0)＝(2x0－1)lnx0＋x0－1.由(*)式得lnx0＝－，代入上式得学科网（北京）股份有限公司 f(x)min＝f(x0)＝(2x0－1)＋x0－1＝－2x0－＋.令t(x)＝－2x－＋，x∈，t′(x)＝－2＝<0，故t(x)在上单调递减．所以t(x)>t(1)，又t(1)＝－1，即f(x0)>－1，所以f(x)>－1.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：(φ为参数)，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin＝4.(1)求曲线C2的直角坐标方程；(2)若点P是曲线C1上的点，点Q是曲线C2上的点，求|PQ|的最小值．【解析】(1)由ρsin＝4得：ρsinθ＋ρcosθ＝4，将，代入得曲线C2，得直角坐标方程为：x＋y＝4.(2)由题意，可设P(cosφ，sinφ)，由点到直线的距离公式可得：点P到直线x＋y＝4的距离为：d＝由题意可得：|PQ|≥d，即|PQ|≥＝≥2，所以，|PQ|的最小值为2.学科网（北京）股份有限公司 23．选修4-5：不等式选讲已知函数f(x)＝|2x＋2|－|x－2|.(1)解不等式f(x)≥6；(2)已知a>0，b>0，g(x)＝f(x)－|x＋1|的最大值为m，＋＝m，求a2＋b2的最小值．【解析】(1)函数f(x)＝|2x＋2|－|x－2|＝，当x>2时，不等式f(x)≥6即为x＋4≥6，解得x≥2，所以x>2；当－1≤x≤2时，不等式f(x)≥6即为3x≥6，解得x≥2，所以x＝2；当x<－1时，不等式f(x)≥6即为－x－4≥6，解得x≤－10，所以x≤－10.综上所述，不等式f(x)≥6的解集为{x|x≤－10或x≥2}；(2)g(x)＝f(x)－|x＋1|＝|x＋1|－|x－2|≤|(x＋1)－(x－2)|＝3，所以g(x)的最大值为m＝3，则＋＝3，故a2＋b2＝(a2＋b2)·＝≥＝，当且仅当＝且＝，即a＝b＝时取等号，故a2＋b2的最小值为.学科网（北京）股份有限公司