天津市河西区2023届高三数学二模试题（Word版附解析）

河西区2022-2023学年度第二学期高三年级总复习质量调查（二）数学试卷第Ⅰ卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．2．本卷共9小题，每小题5分，共45分．参考公式：·如果事件A与事件B互斥，那么．·如果事件A与事件B相互独立，那么．·球的表面积公式，其中R表示球的半径．一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1设集合S={x|x＞﹣2}，T={x|x2+3x﹣4≤0}，则（∁RS）∪T=（　　）A.（﹣2，1]B.（﹣∞，﹣4]C.（﹣∞，1]D.[1，+∞）【答案】C【解析】【详解】∵集合S={x|x＞﹣2}，∴∁RS={x|x≤﹣2}由x2+3x﹣4≤0得：T={x|﹣4≤x≤1}，故（∁RS）∪T={x|x≤1}故选C．2.设命题：，，则为（）A.，B.，C.，D.，【答案】B【解析】【分析】根据全称命题的否定为特称命题可得结论.【详解】因为命题为，， 所以命题为，.故选：B.3.函数在的图像大致为A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由分子、分母的奇偶性，易于确定函数为奇函数，由的近似值即可得出结果．【详解】设，则，所以是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C．又排除选项D；，排除选项A，故选B．【点睛】本题通过判断函数的奇偶性，缩小考察范围，通过计算特殊函数值，最后做出选择．本题较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．4.为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，，第五组，如图是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为 A.6B.8C.12D.18【答案】C【解析】【详解】试题分析：由直方图可得分布在区间第一组与第二组共有20人，分布在区间第一组与第二组的频率分别为0．24，0．16，所以第一组有12人，第二组8人，第三组的频率为0．36，所以第三组的人数：18人，第三组中没有疗效的有6人，第三组中有疗效的有12人．考点：频率分布直方图5.已知，，，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用对数换底公式及对数运算性质变形，再利用对数函数和指数函数单调性即可作答.【详解】依题意，，，显然函数在上单调递增，而，即，又在R上单调递增，于是得，即，所以有.故选：D6.已知双曲线的一条渐近线方程是y=,它的一个焦点在抛物线的 准线上，则双曲线的方程为A.B.C.D.【答案】B【解析】【详解】试题分析：由渐近线是y=x得，抛物线y2=24x的准线为，，方程为考点：双曲线标准方程及性质点评：双曲线抛物线几何性质的综合考查7.在三棱锥中，平面，，，，则三棱锥外接球的表面积为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】三棱锥补成长方体，计算出长方体的体对角线长，即为三棱锥的外接球直径长，再利用球体表面积公式可求得结果.【详解】在三棱锥中，平面，，，，将三棱锥补成长方体，如下图所示， 所以，三棱锥的外接球直径即为长方体的体对角线长，设三棱锥的外接球直径为，则，则，因此，三棱锥外接球的表面积为.故选：C.8.已知函数，则下列结论中正确个数为（）①函数为偶函数②函数的最小正周期为③函数在区间上的最大值为1④函数的单调递增区间为A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C【解析】【分析】化简得到，根据三角函数的奇偶性，单调性和值域得到①③④正确，确定得到②错误，得到答案.【详解】， 对①：，为偶函数，正确；对②：，故是的周期，错误；对③：，则，函数的最大值为，正确；对④：取，解得，故函数的单调递增区间为，正确.故选：C9.，若有且只有两个零点，则实数m的取值范围是（）A.或B.或C.或D.或【答案】D【解析】【分析】当时，求导得到单调区间，根据平移和翻折得到函数图像，变换得到，根据函数图像得到或，解得答案.【详解】当时，，，当时，，函数单调递增；当，，函数单调递减，，当时，，其图像可以由向左平移一个单位，再向下平移个单位，再把轴上方的图像翻折到下方得到，画出函数图像，如图所示： ，当时，，无零点；当时，，即，函数有两个零点，即函数图像有两个交点，根据图像知：或，解得或.故选：D.【点睛】关键点睛：本题考查了利用导数解决函数的零点问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中画出函数图像，将零点问题转化为函数图像的交点问题是解题的关键，数形结合的思想需要熟练掌握.第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题纸上．2．本卷共11小题，共105分．二．填空题；本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对一个给的3分，全部答对的给5分．10.若复数满足，则的虚部为______.【答案】.【解析】【分析】根据复数的除法与模长公式求解再得出虚部即可.【详解】由题.故虚部为.故答案为：【点睛】本题主要考查了复数除法与模长的计算和虚部的概念等.属于基础题型.11.若的展开式中的系数为7，则实数______. 【答案】【解析】【分析】利用二项式展开式的通项公式，根据系数，即可求得参数值.【详解】的通项公式，令，解得.故可得，解得.故答案为：.【点睛】本题考查利用二项式展开式的通项公式由项的系数求参数值，属简单题.12.写出过点且被圆截得的弦长为的一条直线的方程___________.【答案】（只需填其中的一个即可）【解析】【分析】将圆方程化为标准方程，求出圆心、半径.根据弦长，得出圆心到直线的距离.先判断斜率不存在时是否满足，然后设出斜率，得出直线方程，表示出圆心到直线的距离，得出方程，即可解出的值.【详解】圆的方程可化为，圆心为，半径，由弦长为可得，圆心到直线的距离.当直线斜率不存在时，直线方程为，此时圆心在直线上，弦长为，不满足题意，所以直线的斜率存在.设直线的斜率为，则直线的方程为，即，此时圆心到直线的距离，解得.所以，直线的方程为或. 故答案为：.13.已知，，，则的最小值为_____．【答案】4【解析】【分析】首先分析题目由已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，求x+2y的最小值，猜想到基本不等式的用法，利用a+b≥2代入已知条件，转化为解不等式求最值．【详解】∵2xy＝x·(2y)≤2，∴8＝x＋2y＋2xy≤x＋2y＋2，即(x＋2y)2＋4(x＋2y)－32≥0.∵x＞0，y＞0，∴x＋2y≥4，当且仅当x＝2，y＝1时取等号，即x＋2y的最小值是4.【点睛】此题主要考查基本不等式的用法，对于不等式a+b≥2在求最大值、最小值的问题中应用非常广泛，需要同学们多加注意．14.设甲､乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为.假定甲､乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.用表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，则随机变量的数学期望为___________；设为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，则事件发生的概率为___________.【答案】①.2②.【解析】【分析】由题设知，根据二项分布的期望公式求期望，应用独立事件乘法公式及互斥事件的加法公式求为事件的概率.【详解】由题意知：，且服从，∴.甲同学在7：30之前到校天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2的基本事件有{甲3天乙1 天，甲2天乙0天}，又，，，，∴.故答案为：2，.【点睛】关键点点睛：由题设确定服从的二项分布，进而求期望，求各可能值的概率，结合独立事件乘法公式及互斥事件的加法公式求概率.15.窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图l是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图2，正八边形ABCDEFGH中，若，则的值为______；若正八边形ABCDEFGH的边长为2，P是正八边形ABCDEFGH八条边上的动点，则的取值范围是______．【答案】①.②.【解析】【分析】以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立平面直角坐标系，由，列出方程组，求得，从而得到；设，则，由线性规划可求得的取值范围. 【详解】，以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立平面直角坐标系，正八边形内角和为，则，所以，,,因为，则，所以，解得，所以；设，则，则，令，即，由线性规划知平行移动直线，当此直线经过时有最小值,当此直线经过时有最大值,所以，取值范围.故答案为：，.【点睛】方法点睛：在解决向量数量积、向量的模、向量的夹角等有关问题，以及在求有关最大、最小值问题时，常常会碰到某些难以突破的几何关系.在题目所给出的几何条件、几何关系或所隐藏的几何关系相对较难寻找的情况下，运用数量积的定义、向量的几何意义难以完成解题思路时，可建立直角坐标系、运用坐标法解决问题的意识、运用向量的坐标运算、寻找出变量与变量之间的关系、运用函数与方程求最值的方法、基本不等式等解决问题的方法是一种非常好的思想方法.三．解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足．（1）求角A的值； （2）若，，（ⅰ）求值；（ⅱ）求的值．【答案】（1）（2）；【解析】【分析】（1）由正弦定理化简已知式可得，由余弦定理即可求出；（2）（ⅰ）由正弦定理可求出的值；（ⅱ）由同角三角函数的基本关系可求出，再由二倍角的正弦和余弦公式求出，最后由两角差的余弦公式求出的值．【小问1详解】由正弦定理得：，化简得：，由余弦定理得：，又，所以.【小问2详解】（ⅰ）由（1）知，，又，，由正弦定理可得：；（ⅱ）因为，所以，所以，，所以.17.如图，在直三棱柱中，M为棱的中点，，． （1）求证：平面AMC；（2）求异面直线AM与所成角的余弦值；（3）求平面AMC与平面的夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）（3）【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，得到各点坐标，确定，，得到证明.（2）确定，，根据向量的夹角公式计算得到答案.（3）确定平面的法向量和平面的法向量，根据向量的夹角公式计算得到答案.【小问1详解】如图所示：以为轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，则，，，则，；，.，平面，故平面. 【小问2详解】，，则.故异面直线AM与所成角的余弦值为.【小问3详解】设平面的法向量为，则，取得到；设平面的法向量为，则，取得到；平面AMC与平面的夹角的余弦值为.18.已知椭圆过点，且离心率为（1）求椭圆E的标准方程；（2）若直线l与椭圆E相切，过点作直线l的垂线，垂足为N，O为坐标原点，证明：为定值.【答案】（1）（2）【解析】 【分析】（1）利用椭圆过点，得到，再由椭圆的离心率为，求出的值，从而求到椭圆的标准方程；（2）对直线的斜率为0、斜率不存在及斜率存在且不为0三种情况讨论，从而求出，得到结论.【小问1详解】因为椭圆过点，所以，又，，所以，得到，所以椭圆的标准方程为.【小问2详解】当直线斜率存在且不为0时，设直线的方程为，联立直线和椭圆的方程得，消去并整理，得，因为直线与椭圆有且只有一个公共点，所以方程有两个相等的根，，化简整理得因为直线与垂直，所以直线的方程为，联立得，解得，，所以把代入上式得，，所以，为定值；当直线斜率为0时，直线，过点作直线的垂线，则垂线方程为， 此时或，，为定值；当直线斜率不存在时，直线，过点作直线的垂线，则垂线方程为，此时或，，为定值；综上所述，，为定值.19.已知数列是等差数列，数列是等比数列，且满足，，．（1）求数列和的通项公式；（2）记为的前n项和，求证：；（3）记，数列的前项和为，求证：．【答案】（1），；（2）见解析（3）见解析【解析】【分析】（1）题意可得出，解方程求出，再由等差和等比数列的通项公式求解即可；（2）由（1）可得：，证明即可；（3）求出，设的前项和，奇数项和为，偶数项和为，由裂项相消法求出，可证得，对放缩可得，再由错位相减法可证得，即可证明.【小问1详解】设数列的公差为，数列的公比为， 由，，可得：，解得：或（舍去），则，所以，；【小问2详解】由（1）可得：，，即；【小问3详解】由（1）知，，，所以，设的前项和，奇数项和为，偶数项和为，，，当为奇数时，，，当为偶数时，，，设，， 所以，，所以.20.已知函数，．（1）若，求函数的最小值及取得最小值时的值；（2）求证：；（3）若函数对恒成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）时，；（2）证明见解析；（3）【解析】【分析】（1）根据导数研究函数单调性求解函数最值即可；（2）结合（1）将问题转化为证明，进而构造函数证明即可；（3）由题知对恒成立，进而构造函数，结合函数性质，分当，，时三种情况讨论求解即可.【小问1详解】解：当时，，定义域为，所以，令得，所以，当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以，函数在处取得最小值，.【小问2详解】 解：由（1）知，当时，，即，所以，要证成立，只需证，令，则，所以，当时，恒成立，所以，函数为单调递增函数，所以，，即，所以，所以成立【小问3详解】解：因为函数对恒成立所以对恒成立，令，则，当时，，在上单调递增，所以，由可得，即满足对恒成立；当时，则，，在上单调递增，因为当趋近于时，趋近于负无穷，不成立，故不满足题意；当时，令得令，恒成立，故在上单调递增，因为当趋近于正无穷时，趋近于正无穷，当趋近于时，趋近于负无穷，所以，使得，， 所以，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，只需即可；所以，，，因为，所以，所以，解得，所以，，综上，实数a的取值范围为【点睛】关键点点睛：本题第三问解题的关键在于讨论当时，结合函数的性质得，使得，，进而转化为解.