甘肃省武威第六中学2022-2023学年高二数学下学期期中试题（Word版附解析）

武威六中2023年春学期高二年级期中考试试卷数学满分150分考试时间120分钟一、单选题1.现有3幅不同的油画，4幅不同的国画，5幅不同的水彩画，从这些画中选一幅布置房间，则不同的选法共有（）A.5种B.12种C.20种D.60种【答案】B【解析】【分析】根据分类加法计算原理即可求解.【详解】从油画中选，有3种不同的选法；从国画中选，有4种不同的选法；从水彩画中选，有5种不同的选法.根据分类加法计数原理，共有种不同的选法.故选：B.2.若双曲线的渐近线为，则双曲线的离心率为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由渐近线方程可得，再由及双曲线参数关系求离心率即可.【详解】由题设知：，即，所以.故选：B3.四位同学返校看望老师，由于时间关系，只见到语文，数学，英语三位老师，于是他们邀请老师一起照相，三位老师坐中间共有多少种排列方式（）A.90B.120C.144D.216【答案】C 【解析】【分析】根据分步乘法计数原理及排列知识先排老师，再排学生即得．【详解】根据分步乘法计数原理先排老师共种排法，再排学生共种排法，所以共有种排列方式故选：C.4.已知抛物线的焦点为F，点在该抛物线上，且P的横坐标为4，则（）A.2B.3C.4D.5【答案】D【解析】【分析】直接根据抛物线焦半径公式计算得到答案.【详解】抛物线准线方程为，因为点在抛物线上，P的横坐标为4，抛物线的焦点为F，所以等于点到直线的距离，所以，故选：D.5.二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨度克·牛顿于1664年~1665年间提出，据考证，我国至迟在11世纪，北宋数学家贾宪就已经知道了二项式系数法则．在的二项式展开式中，的系数为（）A.10B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用二项式定理展开计算即可.【详解】设的二项式展开式通项为，即：，令，则，故的系数为. 故选:B6.若，则（）A.1B.-1C.2D.-2【答案】B【解析】【分析】根据导数的定义以及给出的极限值可得答案.【详解】，所以.故选：B.7.是抛物线的焦点，点，为抛物线上一点，到直线的距离为，则的最小值是（）A.B.C.3D.【答案】C【解析】【分析】根据抛物线定义有，数形结合判断其最小值.【详解】由题设，抛物线焦点，准线为，故，如上图：，仅当共线且在两点之间时等号成立.故选：C8.已知双曲线的左顶点为，右焦点为，焦距为，点在双曲线上，且，，则（） A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由焦距可得，根据半通径长和长可构造等式求得.【详解】焦距为，即，；，，又，，，即，，解得：.故选：B.二、多选题9.已知抛物线的焦点为F，点P为C上任意一点，若点，下列结论错误的是（）A.的最小值为2B.抛物线C关于x轴对称C.过点M与抛物线C有一个公共点的直线有且只有一条D.点P到点M的距离与到焦点F距离之和的最小值为4【答案】AB【解析】【分析】根据焦半径公式结合条件判断A，由抛物线的对称性判断B，由直线与抛物线的位置关系判断C，结合抛物线的定义，把转化为到准线的距离后可求得题中距离和的最小值判断D．【详解】设，则，，又抛物线的焦点为，对A，由题可知，时，等号成立，所以的最小值是1，A错；对B，抛物线的焦点在轴上，抛物线关于轴对称，B错；对C，由题知点在抛物线的内部（含有焦点的部分），因此过与对称轴平行的直线与抛物线只有一个公共点，其他直线与抛物线都有两个公共点，C正确；对D，记抛物线的准线为，准线方程为， 过作于，过作于，则，，所以当三点共线，即与重合时，最小，最小值为．D正确．故选：AB．10.在的展开式中，下列结论正确的是（）A.第6项和第7项的二项式系数相等B.奇数项的二项式系数和为256C.常数项为84D.有理项有2项【答案】BC【解析】【分析】根据二项式展开式的特征，即可结合选项逐一求解.【详解】的展开式中共有10项，由二项式系数的性质可得展开式中的第5项和第6项的二项式系数相等，故A错误；由已知可得二项式系数之和为，且展开式中奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，所以奇数项的二项式系数和为，故B正确；展开式的通项为，令，解得．故常数项为，故C正确；有理项中x的指数为整数，故，2，4，6，8，故有理项有5项，故D错误．故选：BC11.已知，且，则a的值为（）A.-3B.-1C.D.【答案】AB 【解析】【分析】对复合函数求导，代入,即可求解.【详解】，则，解得或.故选:AB.12.已知，下列命题中，正确的有（）A.展开式中所有项的二项式系数的和为B.展开式中所有项的系数和为C.展开式中所有奇数项系数的和为D.【答案】ABC【解析】【分析】根据二项式系数的和即可判断A；分别令，即可判断B、C；令即可判断D．【详解】对于A，二项式展开式中所有项的二项式系数的和为，故A正确；对于B，令，，故B正确；对于C，令，则，两式相加得展开式中所有奇数项系数的和为，故C正确；对于D，令，则，令，则，所以，故D错误．故选：ABC．三、填空题13.曲线在点处的切线方程是______.【答案】【解析】 【分析】利用导数的几何意义求解即可.【详解】由可得，所以曲线在点处斜率，所以曲线在点处的切线方程为，整理得，故答案为：14.2位教师和4名学生站成一排，要求2位教师站在中间，学生甲不站在两边，则不同排法的种数为_________【答案】【解析】【分析】先考虑两位教师的排法，再考虑甲的排法，最后考虑余下三位同学的排法，结合分步乘法计数原理求总排法数即可.【详解】先考虑将两位老师排在中间，有种排法，再考虑排甲同学，有种排法，最后考虑余下三位同学的排法，有种排法，由分步乘法计数原理可得共有种排法.故答案为：.15.已知函数的导函数为，且，则______．【答案】【解析】【分析】根据题意，求导得，然后令，即可得到结果.【详解】因为，则，令，则，即.故答案为：16.为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整 改，设企业的污水排放量与时间的关系为，用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示．给出下列四个结论：①在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②在时刻，甲企业的污水治理能力与乙企业相同；③在时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；④甲企业在，，这三段时间中，在的污水治理能力最强．其中所有正确结论的序号是__________．【答案】①③【解析】【分析】在这段时间内，，故①正确，在时刻的切线的斜率小于在时刻的切线的斜率，故②错误，在时刻，甲，乙两企业的污水排放都小于污水达标排放量，故③正确，在的污水治理能力最强，故④错误，得到答案.【详解】设甲企业的污水排放量与时间的关系为，乙企业的污水排放量与时间的关系为.对于①：在这段时间内，甲企业的污水治理能力为，乙企业的污水治理能力为，由图可知，，故，即甲企业的污水治理能力比乙企业强，故①正确；对于②：由图可知，在时刻的切线的斜率小于在时刻的切线的斜率，但两切线斜率均为负值，故在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强，故②错误； 对于③：在时刻，甲，乙两企业的污水排放都小于污水达标排放量，故在时刻，甲，乙两企业的污水排放都已达标，故③正确；对于④：由图可知，甲企业在，，这三段时间中，在的污水治理能力最强，故④错误.故答案为：①③四、解答题17.已知函数.（1）求函数在点处的切线方程；（2）求函数在的最大值和最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义求出函数在的导数值，即切线斜率，代入直线的点斜式方程即可；（2）利用导数判断出函数在上的单调性，求出极小值，再分别求出端点处的函数值比较即可得出其最大值和最小值．【小问1详解】易知，函数的定义域为；所以，则切点为，又，则在点处的切线斜率，所以切线方程为，整理可得，即，即函数在点处的切线方程为.【小问2详解】由（1）可知，，又，所以令得，令得，所以在上单调递减， 令得，所以在上单调递增，所以函数有极小值为，也是函数的最小值，又，，所以函数的最大值为，综上可得，函数在上的最大值为，最小值为.18.对于二项式：（1）若展开式的第4项与第8项的二项式系数相等，求展开式中的系数；（2）若展开式的前三项的系数成等差数列，求展开式的中间项.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据第4项与第8项二项式系数相等，列出等式，求出n，再通过二项式展开通项，取的指数为2，求出项数，代入通项中，求出系数即可；（2）写出通项，求出前三项的系数，根据等差中项的概念列出等式，解出n，进而求得展开式的中间项即可.【小问1详解】解：因为展开式第4项与第8项的二项式系数相等，所以，解得，则展开式通项为，令，解得，代入通项有：，所以的系数为；【小问2详解】 二项式通项为：，所以第一项的系数为：，第二项的系数为：，第三项的系数为：，由于前三项的系数成等差数列，所以，解得，或，因为至少有前三项，所以（舍），故，所以展开式有9项，中间一项为.19.已知双曲线的实轴长为2，右焦点为.（1）求双曲线的方程；（2）已知直线与双曲线交于不同的两点，，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据实轴长可求，根据焦点坐标可求，然后可得方程；（2）联立直线与双曲线的方程，利用韦达定理和弦长公式可求答案.【小问1详解】由已知，，又，则，所以双曲线方程为.【小问2详解】 由，得，则，设，，则，，所以.20.已知抛物线的焦点为F，点B为抛物线准线上一点，点A为抛物线上一点，O为坐标原点．（1）若AB垂直于准线，且是斜边为4的等腰直角三角形，求抛物线的标准方程；（2）若，且OA为∠FOB的角平分线，求【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由等腰直角三角形斜边长，得，得抛物线的方程；（2）由OA为∠FOB的角平分线，得直线OA的方程，与抛物线方程联立，解出A点坐标，得的值.【小问1详解】如图所示，因为AB与准线垂直，，，所以，即，故抛物线的标准方程为．【小问2详解】设抛物线准线与x轴的交点为C，则， 所以∠BOC＝60°，故∠FOB＝120°，如图所示，因为OA为∠FOB的角平分线，所以直线OA的倾斜角为60°，斜率，故直线OA的方程为．由点B在抛物线准线上，结合点B坐标可知，故抛物线方程为，联立，得，解得，代入直线OA方程可得，故，又，故．21.已知函数．（1）求函数的单调区间和极值：（2）若，讨论函数的零点个数．【答案】（1）单调递减区间，单调递增区间为；极小值为，无极大值（2）答案见解析【解析】【分析】（1）求导后，根据正负可得单调区间；根据极值点定义可求得极值；（2）将问题转化为与的交点个数问题，结合（1）中结论作出函数图象分析可得结果．【小问1详解】∵定义域为，，又恒成立，∴当时，；当时，； 的单调递减区间为，单调递增区间为；所以极小值为，无极大值．【小问2详解】当时，，当时，，结合（1）中结论作出函数图象如图：的零点个数等价于与的交点个数；当时，与有且仅有一个交点；当时，与有两个不同交点；当时，与有且仅有一个交点；当时，与无交点；综上所述：当时，有唯一零点；当时，有两个不同零点；当时，无零点．22.设函数，，，记.（1）求曲线在处的切线方程；（2）求函数的单调区间；（3）若函数的图象恒在的图象的下方，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）答案见解析（3）【解析】【分析】（1）利用导数几何意义可求得切线斜率，结合可得切线方程；（2）求导后，分别在和的情况下，根据正负得到单调区间； （3）将问题转化为恒成立的问题，采用参变分离的方式，构造函数，利用导数可求得，由此可得的范围.【小问1详解】，，又，在处的切线方程为，即.【小问2详解】由题意知：，则定义域为，，当时，，恒成立，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，若，则；若，则；的单调递增区间为，单调递减区间为；综上所述：当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.【小问3详解】由题意知：当时，恒成立，；令，则，当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减，，，即实数的取值范围为.