浙江省七彩阳光联盟2022-2023学年高一数学下学期期中试题（Word版附解析）

2022学年第二学期浙江七彩阳光联盟期中联考高一数学试题考生须知：1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟.2．答题前，在答题卷指定区城填写班级处名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数学3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.4．考试结束后，只需上交答题纸.选择题部分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.1.已知集合，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】求得集合A，根据集合的交集运算即可求得答案.【详解】由于，，故，故选：C2.若，则（）A.32B.16C.4D.2【答案】B【解析】【分析】设复数，且，根据复数的运算即可求解.【详解】设复数，且，则，故选：B.3.在中，“”是“”的（）条件 A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要【答案】A【解析】【分析】判断“”是“”的逻辑推理关系，即得答案.【详解】由题意可知在中，时，一定有，反之，时，也可能，不一定推出，故“”是“”的充分不必要条件，故选：A4.如图所示，F为平行四边形对角线BD上一点，，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据向量的线性运算，即可求得答案.【详解】由题意知，故,故选：A5.已知，则的值等于（） A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】通过构角，再利用诱导公式即可求出结果.【详解】因为，又，所以，故选：B.6.已知向量，向量在方向上的投影向量为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据投影向量的定义即可求解.【详解】由题意知，的单位向量为，所以向量在方向上的投影向量为，故选：D.7.如图扇形，圆心角，D为半径中点，把扇形分成三部分，这三部分绕AC旋转一周，所得三部分旋转体的体积之比是（）AB.C.D.【答案】D 【解析】【分析】根据旋转体的概念结合圆锥以及球的体积公式，分别求得的值，即可得答案.【详解】由题意，不妨设扇形的半径为2，则，，，故，故选：D8.已知平面向量，且的最小值与的最小值乘积为2（为实数），则的最小值为（）A.1B.C.2D.【答案】C【解析】【分析】由图可知，，要使模最小，只需和，此时得到，再由图可知，由基本不等式即可得到最小值.【详解】如图，设，过分别做垂足分别为.由向量减法的几何意义，,当，即在处时，的模最小，此时， 当，即在处时，的模最小，,所以的最小值与的最小值乘积为，,当且仅当时取等号.所以的最小值为.故选：C二．选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．9.已知函数，则下列判断错误的是（）A.是奇函数B.的图像与直线有两个交点C.的值域是D.在区间上是减函数【答案】AB【解析】【分析】根据分段函数的解析式及基本初等函数的图象与性质逐一分析即可.【详解】如图所示，作出函数图象，显然图象不关于原点中心对称，故A不正确；函数图象与直线有一个交点，故B错误；函数的值域为，且在区间上是减函数，即C、D正确；故选：AB10.已知函数的部分图像如图所示，则下列关于函数的说法正确的是（） A.B.函数的绝对值最小的零点为C.直线是函数的一条对称轴D.函数在上单调递增【答案】ABC【解析】【分析】根据函数部分图象求出的解析式，利用函数的零点及余弦函数的性质及逐项判断即可求解.【详解】由图可知，,所以，由图可知图象经过点，所以，解得，即，又，当时，，故A正确；所以的解析式为，令则，解得，即，当时，，当时，，函数的绝对值最小的零点为，故B正确； 由，得直线是函数的一条对称轴，故C正确；因为，所以，令，则在上不单调，所以函数在上不单调，故D错误.故选：ABC.11.如图在棱长为6的正方体中，分别是中点，P在侧面上（包括边界），且满足三棱锥的体积等于9，则的长度可以是（）A.B.C.10D.【答案】AB【解析】【分析】先利用等体积法，求出到的距离，从而得出点在线段上，进而得到，再利用，即可求出结果.【详解】因为正方体的边长为6，分别是中点，所以，设到的距离为，因为，得到，如图，连接，，设与，分别交于，易得，所以点在线段上，连接，因为面，又面，所以，所以，又易知，所以 故选：AB.12.无字证明来源于《几何原本》第二卷的几何代数法（用几何方法研究代数问题），很多代数的公式或定理都能仅通过图形得以证明、如图，在中，为BC边上异于端点的两点，，且是边长为b的正三角形，则下列不等式一定成立的是（）A.B.C.D.【答案】BC【解析】【分析】AD选项可以通过取特殊值进行排除；通过余弦定理的计算，三角形三边关系可知B正确，由可对C进行判断.【详解】由题知，在中根据余弦定理，，类似的在中由余弦定理，，根据三角形三边关系：可知，B选项正确；由，对上述不等式用代替可得，C选项正确；取，可知A选项错误； 取，，而，D选项错误.故选：BC非选择题部分三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.函数的零点是_______________【答案】##【解析】【分析】令，解方程即可求解.【详解】令，则，解得，故答案：.14.已知复数（i为虚数单位），则z的虚部为___________.【答案】##【解析】【详解】因为，所以z的虚部为.故答案为：.15.平面直角坐标系xOy中线段OA的长为，与x轴所成的夹角为，且，在斜二测画法下，其直观图为线段，则线段的长度为___________．【答案】【解析】【分析】利用条件和平面直观图的性质，求出和，再利用余弦定理即可求出结 果.【详解】如图1，过点分别作轴与轴的平行线，交轴与轴于两点，则轴，在中，，，所以，又，所以得到，故,如图2，过分别作轴与轴的平行线，交轴与轴于两点，则四边形为平行四边形，所以，由平面直观图的性质知，，，所以，又因为，所以，在中，由余弦定理得，，以，故答案为：.16.已知的三个角所对的边为，若，D为边BC上一点，且，则的值为_____________．【答案】【解析】【分析】设，则，利用面积关系可以得到，从而求得tan；再利用面积关系可以得到，【详解】设，则， ∵AD=2，BD：DC=4c：b，∴，即，化简得，即，故，又，所以，即，故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（1）已知，求的值；（2）计算：．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据同角三角函数关系，弦化切计算即可；（2）应用指数及对数运算可得结果.【详解】（1）； （2）18.已知复数（i为虚数单位）和是关于x的方程两根，（1）求p和；（2）若对应复平面内的点A，且是以A为直角顶点的等腰直角三角形，求点B对应的复数．【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）利用韦达定理计算即可；（2）数形结合，利用复数的几何意义计算即可.【小问1详解】由题意可得【小问2详解】由上知，设，结合图形可得，， 即，故点B对应有两个或，故或.19.如图，为了测量两山顶间的距离，飞机沿水平方向在两点进行测量，在同一个铅垂平面内，在A点测得的俯角分别为，在B点测得的俯角分别为，同时测得．（1）求BN和AM的长度；（2）求之间的距离．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）在中，利用正弦定理即可求解出，再利用条件得到；（2）在中，利用条件和（1）中的结果，求出，在中，再利用余弦定理即可求解.【小问1详解】在中，由题知,，所以，由正弦定理得，所以，在中，又因为，得到， 所以.【小问2详解】在，由（1），，，所以，在中，，，，由余弦定理得，所以.20.如图，在三棱推中，高（底面），．（1）求三棱锥的体积；（2）求三棱锥外接球的表面积．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据棱锥的体积公式即可求得答案；（2）确定三棱锥外接球心的位置，进而求得外接球半径，即可求得答案.【小问1详解】由题意知，底面，故, 故；【小问2详解】由，可得，设的外接圆半径为r，则，设的外接圆圆心为，过点作平面的垂线，则，设的中点为D，过点D作的垂线交于O，则四边形为矩形，O即为三棱锥外接球的球心，设外接球半径为R，则,故三棱锥外接球的表面积为.21.设内角的对边分别为，已知．（1）判断的形状（锐角、直角、钝角三角形），并给出证明；（2）求的最小值．【答案】（1）钝角三角形，证明见解析（2）【解析】【分析】（1）利用二倍角的正弦余弦公式及两角和的正弦公式，结合诱导公式及三角方程即可求解；（2）根据（1）的结论及诱导公式，利用正弦定理的边角化及二倍角的余弦公式，结合同角三角函数的平方关系及基本不等式即可求解.【小问1详解】是钝角三角形. 由题意可知，，得，所以,于是有，得或，即或，又，，所以是钝角三角形.【小问2详解】由（1）知，,,有，所以当且仅当，即（为锐角），等号成立，所以的最小值为22.如图，中，AD为BC边上的中线，点E，F分别为边上的动点，线段EF交AD于G，且线段AE与线段AF的长度乘积为1．（1）已知，请用表示；（2）求的取值范围． 【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）结合题意设，然后根据共线求出，进而求解；（2）令，，根据题意得，设，利用共线设，得到，利用平面向量基本定理得到，然后代入数量积，进行等量代换，最后利用函数的单调性即可求解.【小问1详解】因为且，所以，设，又因为共线，所以，解得，所以.【小问2详解】令，，即，设，又因为共线，设，则，所以，解得， ，又因为，所以，又因为，所以，因为，所以，令，所以时，函数单调递减，当时，函数取最大值；当时，函数取最小值；所以.