安徽省淮南市2023届高三数学二模试题（Word版附解析）

淮南市2023届高三第二次模拟考试数学试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.已知全集，集合，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，求出函数的定义域化简集合，再利用补集的定义求解作答.【详解】函数有意义，则，解得，因此，所以.故选：A2.已知复数z满足，（i是虚数单位），则复数z在复平面内所对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】【分析】利用复数的乘方运算及除法运算求出复数即可作答.【详解】依题意，，所以复数z在复平面内所对应的点位于第四象限.故选：D3.四位同学各自在“五一”劳动节五天假期中任选一天参加公益活动，则甲在5月1日、乙不在5月1日参加公益活动的概率为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理结合古典概率计算作答. 【详解】四位同学参加公益活动的试验有个基本事件，它们等可能，甲在5月1日、乙不在5月1日参加公益活动的事件含有的基本事件数是，所以.故选：D4.已知函数，（，，）的相邻两个对称中心距离为且图象经过，若将图象上的所有点向右平移个单位长度得到函数的图象，则函数的单调递减区间是（）A.，B.，C.，D.，【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，求出函数的解析式，再利用平移变换求出的解析式，然后利用正弦函数性质求解作答.【详解】依题意，函数的周期，则，又，即，而，因此，，，由得：，所以函数的单调递减区间是.故选：B5.在△ABC中，已知，，，D是边AB的中点，点E满足，则（） A.B.－1C.D.【答案】C【解析】【分析】运用平面向量基本定理用基底、表示、，结合向量数量积运算即可求得结果.【详解】∵D为AB的中点，∴，∵，∴，即：，∴，∴如图所示，∴，∴.故选：C.6.我国古代数学在宋元时期达到繁荣的顶点，涌现了一大批卓有成就的数学家，其中朱世杰与秦九韶、杨辉、李冶被誉为我国“宋元数学四大家”.朱世杰著有《四元玉鉴》和《算学启蒙》等，在《算学启蒙》中，最为引人入胜的问题莫过于堆垛问题，其中记载有以下问题：“今有三角、四角果子垛各一所，共积六百八十五个，只云三角底子一面不及四角底子一面七个，问二垛底子一面几何？”其中“积”是和的意思，“三角果子垛”是每层都是正三角形的果子垛，自上至下依次有1，3，6，10，15，…，个果子，“四角果子垛”是每层都是正方形的果子垛，自上至下依次有1，4，9，16，…，个果子，“底子一面”指每垛最底层每条边”.根据题意，可知该三角、四角果子垛最底层每条边上的果子数是（）（参考公式： ）A.4，11B.5，12C.6，13D.7，14【答案】B【解析】【分析】求出三角果子垛、四角果子垛第层的果子数，设三角、四角果子垛最底层每条边上的果子数分别为，由三角果子垛各层果子总和与四角果子垛各层果子总和为得可得答案.【详解】设三角果子垛自上至下依次为，当时，所以，且时，所以三角果子垛第层的果子数为，四角果子垛第层的果子数为，设三角、四角果子垛最底层每条边上的果子数分别为，所以三角果子垛各层果子总和为，四角果子垛各层果子总和为，由题意，即，解得，所以该三角、四角果子垛最底层每条边上的果子数分别是.故选：B.7.如图，，，，，点在棱上的射影分别是，若，，则异面直线与所成角的余弦值为（） A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】分别取中点，结合三角形中位线性质可知所求角为或其补角，根据面面垂直的性质和勾股定理可求得的长，利用余弦定理可求得，进而得到所求余弦值.【详解】分别取中点，连接，分别为中点，，且，，异面直线与所成角即为或其补角；，，，，，同理可知：；，，，，，，，又，，，异面直线与所成角的余弦值为. 故选：C.8.定义在上的函数满足，当时，，则不等式的解集为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】构造函数，研究函数的奇偶性、单调性，结合单调性解不等式即可.【详解】∵，∴，令，则，∴在上为奇函数，又∵当时，，∴当时，，∴在上单调递增，又∵在上为奇函数，∴在上单调递增，又∵，∴，又∵，∴，∵在上单调递增，∴，解得：.故选：A.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知单位向量，，则下列命题正确的是（）A.向量，不共线，则B.若，，且，则C.若，记向量，的夹角为θ，则θ的最小值为.D.若，则向量在向量上的投影向量是【答案】AC【解析】【分析】利用数量积的运算律计算判断A；利用共线向量的坐标表示判断B；利用夹角公式求出范围判断C；求出射影向量判断D作答.【详解】单位向量，，对于A，向量，不共线，，因此，A正确；对于B，，，且，则，即，而，解得，于是，B错误；对于C，由得：，解得，因此，而，于是，即θ的最小值为，C正确；对于D，，则，向量在向量上的投影向量是，D错误.故选：AC10.已知圆M的方程为：，（），点，给出以下结论，其中正确的有（）A.过点P的任意直线与圆M都相交 B.若圆M与直线无交点，则C.圆M面积最小时的圆与圆Q：有三条公切线D.无论a为何值，圆M都有弦长为的弦，且被点P平分【答案】ACD【解析】【分析】根据点与圆的位置关系判断A选项，通过几何法判断直线与圆的位置关系判断B选项，根据圆与圆的位置关系判断公切线的条数判断C选项，根据半径的最小值及垂直弦平分弦判断D选项.【详解】因为点代入入圆的方程得,所以在圆M内，所以过点P的任意直线与圆M都相交,A选项正确;圆M圆心,直线,若圆M与直线无交点，,,,,,B选项错误;圆,当时，圆M半径最小则面积最小,圆Q：,,,圆M面积最小时的圆M与圆Q外切所以有三条公切线,C选项正确;无论a为何值，,,所以圆M都有弦长为的弦, ,,,因为垂直弦平分弦,圆M都有弦长为的弦，且被点P平分,故D选项正确.故选:ACD.11.如图，棱长为2正四面体中，分别为棱的中点，O为线段的中点，球O的表面正好经过点M，则下列结论中正确的是（）A.平面B.球O的体积为C.球O被平面截得的截面面积为D.球O被正四面体表面截得的截面周长为【答案】ABD【解析】【分析】设分别为的中点，连接，根据线面垂直的判定定理可判断A；求出球的半径，计算球的体积，判断B；求出球O被平面截得的截面圆的半径，可求得截面面积，判断C；结合C的分析，利用圆的周长公式可判断D.【详解】设分别为的中点，连接， 则,故，则四边形为平行四边形，故交于一点，且互相平分，即O点也为的中点，又，故,平面，故平面，由于平面，则平面，故，结合O点也为的中点，同理可证,平面，故平面，A正确；由球O的表面正好经过点M，则球O的半径为,棱长为2的正四面体中，，M为的中点，则，故,则，所以球O的体积为，B正确；由平面，平面，故平面平面，平面平面，由于平面，延长交平面于G点，则平面，垂足G落在上，且G为正的中心，故，所以，故球O被平面截得的截面圆的半径为， 则球O被平面截得的截面圆的面积为，C错误；由A的分析可知，O也为棱中点连线的中点，则球O与每条棱都交于棱的中点，结合C的分析可知，球O被正四面体的每个面截得的截面都为圆，且圆的半径都为，故球O被正四面体表面截得的截面周长为，D正确，故选：ABD12.当一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时，圆周上一个定点的轨迹称为摆线.如图，圆心为，半径为1的圆B，圆上定点M初始位置在原点，当圆B沿着x轴正向滚动，且半径BM旋转角度为φ，则以下结论正确的为（）A.若，则点M的坐标为B.圆B滚动一周，得到的摆线长等于圆周长C.若圆B滚动角度时，点M从一个位置P到达位置Q，则PQ长度的最大值为D.若定点M总在直线的下方，则a的取值范围为【答案】ACD【解析】【分析】由题意，再由利用坐标化简，即可得轨迹，先判断A,C选项；再根据摆线长判断B选项，根据构造函数求最值判断D选项.【详解】由摆线定义知是参数，因为，所以， 故是参数，若，则点M的坐标为,A选项正确;圆B滚动一周，由题意知，与圆的周长相等，则得到的摆线长不等于圆周长，B选项错误;,,点M从一个位置P到达位置Q，则PQ长度的最大值为，C选项正确;因为且，的轨迹方程为,，,,因为恒成立，，故,单调递增,单调递减，当时，取最大值，，D选项正确.故选:ACD.三、填空题（每小题5分，共20分）13.已知二项式的常数项为，则______________.【答案】【解析】 【分析】将化为，分别写出和的通项，由题意列出方程，求出参数的值，即得答案.【详解】由题意可知，则其通项为，而的通项为，令，当时，；当时，；当时，，不合题意，由二项式的常数项为，可得，即，解得，故答案为：14.近年来，我国肥胖人群的规模急速增长，肥胖人群有很大的心血管安全隐患.目前，国际上常用身体质量指数（BMI）来衡量人体胖瘦程度以及是否健康，其计算公式是.我国成人的BMI数值标准为：为偏瘦，为正常，为偏胖，为肥胖.为了解某公司员工的身体肥胖情况，研究人员从公司员工体检数据中，利用分层抽样得到15名员工的BMI数据如下：23.5，21.6，30.6，22.1，23.7，20.6，25.5，23.9，20.8，21.5，21.8，18.2，25.2，21.5，19.1.则该组数据的第70百分位数为______________.【答案】23.7【解析】【分析】把15个数据由小到大排列，求出第70百分位数作答.【详解】15名员工的BMI数据由小到大排列为：18.2，19.1，20.6，20.8，21.5，21.5，21.6，21.8，22.1，23.5，23.7，23.9，25.2，25.5，30.6，由，所以该组数据的第70百分位数是第11个数23.7.故答案为：23.715.记为数列前n项和.已知，，则数列的通项公式，是______________. 【答案】【解析】【分析】对原式化简得，再降次作差即可得，结合等差数列定义即可得到其通项.【详解】由题意得①，当时，②①②化简得，即，则，则数列是以为首项，公差为等差数列，则.故答案为：.16.双曲线的离心率为，分别是的左，右顶点，是上异于的一动点，直线分别与轴交于点，请写出所有满足条件的定点的坐标______________.【答案】或【解析】【分析】根据离心率可确定双曲线方程和坐标，设，根据直线方程可求得坐标；设，由向量数量积坐标运算和双曲线方程可得，根据等式恒成立可构造方程组求得点坐标.【详解】双曲线的离心率，，即双曲线，，， 设，则，，直线，，，，设，则，，，又，，，解得：，定点或.故答案为：或.【点睛】思路点睛：本题考查双曲线中的定点问题的求解，解题的基本思路是根据已知中的等量关系构造出关于所求点的方程，根据方程恒成立，可让变量的系数为零，从而构造方程组求得定点坐标.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列满足，且.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】【详解】试题分析：（1）由于数列满足，且．可得时，，再利用等比数列的前项和公式即可得出．（2），利用“裂项求和”即可得出．试题解析： （1）∵数列满足，且，∴时，.当时也成立，∴.（2），∴数列的前项和.18.已知，，的内角A，B，C所对的，边分别为a，b，c，若的最大值为.（1）求A；（2）当，时，求的面积.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数，借助正弦函数的性质求出作答.（2）利用余弦定理求出边c，再利用三角形面积公式计算作答.【小问1详解】依题意，，显然当，即时，，因为是的最大值，又是的内角，即，因此，所以.【小问2详解】 在中，，，，由余弦定理得：，即，整理得，解得或，当时，，当时，.所以的面积是或.19.2022年10月16日至10月22日，中国共产党第二十次全国代表大会在北京召开，此次大会是在全党全国各族人民迈上全面建设社会主义现代化国家新征程、向第二个百年奋斗目标进军的关键时刻召开的一次十分重要的大会.在树人中学团委的组织下，高二年级各班团支部举行了“学习二十大，做有为青年”的知识竞赛活动，经过激烈竞争，高二（1）班（以下简称一班）和高二（3）班（以下简称三班）进入了最后的年级决赛，决赛规定：共进行5轮比赛，每轮比赛每个班可以从A，B两个题库中任选1题作答，在前两轮比赛中每个班的题目必须来自同一题库，后三轮比赛中每个班的题目必须来自同一题库，A题库每题20分，B题库每题30分，一班能正确回答A、B题库每题的概率分别为、，三班能正确回答A、B题库每题的概率均为，且每轮答题结果互不影响.（1）若一班前两轮选A题库，后三轮选B题库，求其总分不少于100分的概率；（2）若一班和三班在前两轮比赛中均选了B题库，而且一班两轮得分60分，三班两轮得分30分，一班后三轮换成A题库，三班后三轮不更换题库，设一班最后的总分为X，求X的分布列，并从每班总分的均值来判断，哪个班赢下这场比赛？【答案】（1）（2）分布列见解析，一班赢下这场比赛【解析】【分析】（1）由概率的乘法公式与加法公式求解；（2）由题意求出两个班的总分可能取值，然后求出对应的概率，进而列出分布列，并根据期望的概念求出期望，比较大小即可判断.【小问1详解】由条件知，若一班在前两轮得20分，后三轮得90分，总分为110分， 其概率为，若一班在前两轮得40分，后三轮得60分或90分，总分为100或130分，其概率为，于是一班总分不少于100分的概率为；【小问2详解】由条件知，随机变量X可能取值为60，80，100，120，，，，．所以X的分布列为：X6080100120P，设三班最后的总分为Y，Y可能取值为30，60，90，120，，，，，的分布列：，因为，所以从总分的均值来判断，一班赢下这场比赛.20.如图，在四棱锥中，底面ABCD是梯形，，， ，是等边三角形且与底面垂直，E是棱PA上一点，.（1）当平面EBD，求实数λ的值；（2）当λ为何值时，平面EBD与平面PBD所成的锐二面角的大小为？【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）连接，交于点，连接，利用线面平行的性质推理求解作答.（2）取中点，连接，以为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求解作答.【小问1详解】在四棱锥中，连接，交于点，连接，如图，因为平面平面，平面平面，则，因为，即，因此，由，得，于是，所以实数λ的值为.【小问2详解】在四棱锥中，取中点，连接，如图，因为是等边三角形且与底面垂直，则有，平面平面，平面，从而平面，过点作，而，即有， 以点为原点，分别以所在的直线为,,轴，建立空间直角坐标系，则，由，得，则，，设平面的一个法向量为，由，取，得，平面的一个法向量为，则，即，解得，所以时，平面与平面所成的锐二面角的大小为.21.已知点，圆C：，过点F的直线l交圆C于A，B两点，线段AB的中点为.（1）求动点的轨迹Γ方程；（2）设轨迹Γ与x轴交于D，E两点（点E在点D的右侧），过点D作x轴的垂线m，过点F作直线DP的垂线n，垂线m与n交于点Q，求证：点P，Q，E共线.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）求出点M的轨迹方程，再利用坐标代换法求解作答.（2）求出直线DP，FQ的方程，进而求出点Q的坐标，再借助斜率推理作答. 【小问1详解】如图，连接，因为为线段的中点，则，又是线段的中点，则有，即，令，则，所以，即，所以动点的轨迹方程为.【小问2详解】由（1）知，，显然点P与D、E都不重合，直线DP的方程为，则垂线的方程为，得，直线PQ的斜率，直线PE的斜率，因此， 而，即，于是，所以点,共线.【点睛】思路点睛：经过圆锥曲线上满足某条件的两个动点的直线过定点问题，可探求出这两个动点坐标，求出直线方程，即可推理计算解决问题.22.已知函数，，其中.（1）讨论函数的单调性；（2）若方程恰有两个根，求a的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）.【解析】【分析】（1）求出函数的导数，再利用导数分类讨论函数单调性作答.（2）根据给定条件，构造函数，，借助复合函数的单调性讨论方程有两个零点作答.【小问1详解】，，当时，，函数在上单调递增，当时，当时，，当时，，即函数在上单调递减，在上单调递增，所以当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增.【小问2详解】令，则,设,则为增函数，，当时，则，函数在上单调递增，则为增函数， 因此方程不可能有两个根；当时，函数在上单调递减，在上单调递增，由于，，方程恰有两个根，当且仅当有两个实根，因此，即，由于，则在上恰有一个根，函数，则，令，即函数在上单调递增，，函数在上单调递增，当时，，即，于是，由于，取，则，因此在上恰有一个根，从而有两个实根，所以a的取值范围是.【点睛】思路点睛：涉及含参的函数零点问题，利用导数分类讨论，研究函数的单调性、最值等，结合零点存在性定理，借助数形结合思想分析解决问题.