江西省重点中学盟校2022-2023学年高三数学（理）下学期第二次联考试题（Word版附答案）

江西省重点中学盟校2023届高三第二次联考数学（理）试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则A∩B＝（）A.（－2，3）B.（－2，2）C．（－1，2）D.（0，3）【解析】由得：，即；由得：，即；∴．故选：C．2.已知复数，是z的共轭复数，则（）A.B.C.D.【解析】因为，则，所以，故选：B．3.设是等差数列{}的前n项和，，则公差d＝（）A.－1B.－C.D.1【解析】∵，∴，∴．故选：A．4.若实数x，y满足约束条件，则勺最大值为（）A.－B.2C.5D.8【解析】画出可行域如下图所示，由图可知， 由解得，设A（1，2），目标函数在点A（1，2）处取得最大值，故选：C．5.“”是“函数为奇函数”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】时，f（x）为奇函数，故选：A．6.双曲线C的离心率最小时，C的渐近线方程为（）A.B.C.D.解：由已知：，离心率，当且仅当，即时等号成立，此时，故选C．7.将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）的图象．函数g（x）在处取得极值，则的最小值为（）A.B.C.D.【解析】由，所以．又是函数g（x）的一个极值点，所以，得．当时，所以．故选：A．8.设函数，在区间（0，2）随机抽取两个实数分别记为a，b，则恒成立的概率是（）A.B.C.D.【解析】当且仅当时，取“＝”，所以f，于是恒成立就转化为 成立；因为若，所以等价于，由几何概型，其概率为．故选：D．9.如图，一个棱长1分米的正方体型封闭容器中盛有V升的水，若将该容器任意放置均不能使水平面呈三角形，则V的取值范围是（）A.（，）B.，）C.，）D.，）解析：将该容器任意放置均不能使水平面呈三角形，则如图，水最少的临界情况为，水面为面，水最多的临界情况为多面体，水面为，因为，所以，即．故选：A．10.已知斜率为k的直线l过抛物线C：的焦点，且与抛物线C交于两点，抛物线C的准线上一点M（－1，－1）满足，则|AB|＝（）A.3B.4C.5D.6【解析】易知，设A（，），B（，），则，，∵，∴（，化简得，设A，B中点坐标为（，），则① 又由直线的斜率公式得∴，即②由①、②解得∴，答案选C．11.若，则（）A.B.C.D.解析：令，所以在上单调递减，又，所以，即．令，则，则，即，所以．由，得，所以，综上．故选：B．12.伯努利双纽线（简称双纽线）是瑞土数学家伯努利（1654~1705）在1694年提出的．伯努利将椭圆的定义作了类比处理，指出是到两个定点距离之积的点的轨迹是双纽线；曲线的形状类似打横的阿拉伯数字8，或者无穷大的符号．在平面直角坐标系xOy中，到定点A（－a，0），B（a，0）的距离之积为的点的轨迹C就是伯努利双纽线，若点P（，）是轨迹C上一点，则下列说法正确的是（）①曲线C关于原点中心对称；②；③直线与曲线C只有一个交点；④曲线C上不存在点P，使得．A.①②B.①③C.②④D．③④【解析】由定义：曲线C：，如图所示：所以①正确，④错误；令，解得或，得，所以②错误； 根据曲线，可知，可得直线与曲线C只有一个交点，所以③正确，故选：B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量的夹角为，且，则___．解：；【答案】－214.已知函数则当时，f（f（x））的展开式中的系数为___．解析：时，，，展开式第项，故时，，∴x4的系数270．【答案】27015.某软件研发公司对某软件进行升级，主要是软件程序中的某序列重新编辑，编辑新序列为，它的第n项为，若序列的所有项都是2，且，则＝___．解析：的第项为，故，即因为，所以，，．【答案】．16.如图，在直三棱柱中，，点E，F分别是棱，AB上的动点，当最小时，三棱锥外接球的表面积为___． 【解析】如图：把侧面沿展开到平面与平面共面的位置．延长到，使得当，E，F，四点共线时，的长度最小，此时，，所以，所以三棱锥外接球的直径为，半径，表面积为．【答案】10π．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.已知△ABC的内角的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，．（1）求cosC；（2）若，，求b．解：（1）由已知，由余弦定理，得，．．．．．．．．．．．．．．．．．3分得，所以，所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）由正弦定理得，，．．．．．．．．．．．．．．．．．8分所以，由，得，．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 所以，由正弦定理：．．．．．．．．．．．．．．．．．12分18.如图，四棱锥中，除EC以外的其余各棱长均为2（1）证明：平面BDE⊥平面ACE；（2）若平面ADE⊥平面ABE，求直线DE与平面BCE所成角的正弦值．解：（1）证明：由已知四边形ABCD为菱形；所以，设AE的中点为O，连结OB，OD，因为，所以，所以AE⊥平面OBD，．．．．．．．．．．．．．．．．．3分又BD平面OBD，所以，又，所以BD⊥平面ACE，又BD平面BDE，所以平面BDE⊥平面ACE；．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）因为平面ADE⊥平面ABE，平面ADE∩平面，，所以DO⊥平面ABE，且，．．．．．．．．．．．．．．．．．7分以O为原点，分别为x，y，Z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则－1，0），B（，0，0），D（0，0，），E（0，1，0）所以设直线DE与平面BCE所成角为， 平面BCE的法向量，则，取，得则为所求．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分19.文具盒里装有7支规格一致的圆珠笔，其中4支黑笔，3支红笔．某学校甲、乙、丙三位教师共需取出3支红笔批阅试卷，每次从文具盒中随机取出一支笔，若取出的是红笔，则不放回；若取出的是黑笔，则放回文具盒，继续抽取，直至将3支红笔全部抽出．（1）在第2次取出黑笔的前提下，求第1次取出红笔的概率；（2）抽取3次后，记取出红笔的数量为X，求随机变量X的分布列；（3）因学校临时工作安排，甲教师不再参与阅卷，记恰好在第n次抽取中抽出第2支红笔的概率为，求的通项公式．解析：（1）记事件A：第1次取出红笔；事件B：第2次取出黑笔．则，所以，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分（2）随机变量X可取0，1，2，3.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分所以，，，，．所以X分布列为：X0123P．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分（3）由题意知：前n－1次取了1次红笔，第n次取红笔．则 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分20.设为椭圆E：上的三点，且点关于原点对称，．（1）求椭圆E的方程；（2）若点B关于原点的对称点为D，且，证明：四边形ABCD的面积为定值．解：（1）设A（，），B（，），则，两式相减，得，又因为，所以，所以椭圆E的方程为．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）由对称性，四边形ABCD为平行四边形，所以，设直线AB的方程为，联立，消去y得：，则，且，．．．．．．．．．．．．．．．．．7分由得， ．．．．．．．．．．．．．．．．．10分原点到直线直线AB的距离，所以为定值．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分21.已知函数．（1）当时，求曲线在（1，f（1））处的切线方程；（2）若f（x）存在最小值m，且，求a的取值范围．解析：（1）当时，，，，所以曲线在（1，f（1））处的切线方程为．．．．．．．．．．．．．．．3分（2）当时，，此时在递增，f（x）无最小值，不符题意；当时，在单调递减，且所以，有，此时f（x）在（0，）递增，在（，＋∞）递减，f（x）无最小值，不符题意；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分当时，令，则，设，则，令得，所以t（x）在（0，1）递减，在递增，．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（i）若，则，即，在递增，即在（＋∞）递增．又，所以有， 即，且f（x）在（0，）递减，在（，＋∞）递增，此时，，设，则，所以在递增．由于，此时，不成立；．．．．．．．．8分（ii）当时，由上分析易知：f（x）在（0，1）递减，在递增，，此时符合题意；．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分（iii）当时，由于，，所以存在有．所以在递增，在递减，在递增．又因为，设，求导易知．由于，故存在，有．则在递减，在递增．此时，由于，此时成立．．．．．．．．．．．11分综上，a的取值范围是（0，1]．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22.[选修4－4：坐标系与参数方程] 已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，点P的极坐标是，）．（1）求直线l的极坐标方程及点P到直线l的距离；（2）若直线l与曲线C交于M，N两点，求△PMN的面积．解：（1）由消去t，得，∴，所以直线l的极坐标方程为．点）到直线l的距离为．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）由，得，所以，所以，则△PMN的面积为．．．．．．．．．．．．．．．．．10分23.[选修4－5：不等式选讲]已知函数．（1）当时，求不等式的解集；（2）若，且对任意恒成立，求m的最小值．解：（1）当时，，原不等式等价于或或，解得：或无解或，所以的解集为．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）∵． 则所以函数f（x）在上单调递减，在[－，]上单调递减，在上单调递增．所以．因为对任意恒成立，所以．又因为，所以，解得（不合题意）．所以m的最小值为1.．．．．．．．．．．．．．．．．10分