四川省宜宾市2023届高三理科数学下学期第二次诊断性测试试题（Word版附解析）

宜宾市普通高中2020级第二次诊断性测试数学（理工类）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据集合交集的定义运算即可．【详解】集合，，则故选：C2.已知，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由复数的除法先求解，再求其共轭复数即可.【详解】由得，所以.故选：B.3.2月国家统计局发布中华人民共和国2022年国民经济和社会发展统计公报．下图1是2018-2022年国内生产总值及其增长速度，图2是2018-2022年三次产业增加值占国内生产总值比重（三次产业包括第一产业，第二产业，第三产业）．根据图1，图2，以下描述不正确的是（） A.2018-2022年国内生产总值呈逐年增长的趋势B.2020年与2022年国内生产总值的增长速度较上一年有明显回落C.2018-2022年第三产业增加值占国内生产总值比重的极差为1.7%D.2020年第二产业增加值较2019年有所减少【答案】D【解析】【分析】根据给出的图形逐一分析判断即可.【详解】依题意，对于A：由图1可以看出直方图逐年增高，所以2018-2022年国内生产总值呈逐年增长的趋势，故A正确；对于B：由图1可以看出折线在2020年与2022年时与上一年连线的斜率小于0，故B正确；对于C：由图2可以得出2018-2022年第三产业增加值占国内生产总值比重最大值为：54.5%，最小值为：52.8%，所以极差，故C正确；对于D：结合图1图2可知，2019年第二产业的增加值为：亿元；2020年第二产业的增加值为：亿元.因为，所以2020年第二产业增加值较2019年有所增加，故D错误. 故选：D.4.已知函数有且只有1个零点，则实数的值是（）A.0B.1C.2D.3【答案】B【解析】【分析】根据函数的最值即可求解.【详解】依题意，因为函数有且只有1个零点，所以有且仅有一个解，即有且仅有一个解，转化为与有且仅有一个交点，当时，与没有交点，所以；当时，因为，所以，当时，有最小值1，有最小值，此时与没有交点，由于与都是偶函数，若在除去之外有交点，则交点必为偶数个，不符合题意，所以不符合题意；当时，因为，所以，又因为，所以当且仅当时，此时有唯一的交点.故选：B.5.四边形由如图所示三个全等的正方形拼接而成，令，，则（） A.1B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由正切函数的定义即可求得，再根据正切的和差公式即可求解.【详解】依题意，设正方形的边长为1，根据正切函数定义有：，所以.故选：C.6.已知某四棱锥三视图如图所示，其正视图和侧视图都是腰长为1的等腰直角三角形，则该四棱锥最长的棱长是（）A.B.1C.D.【答案】D【解析】【分析】根据三视图还原四棱锥即可求解.【详解】依题意，还原三视图得四棱锥的几何图形，如图所示： 其中底面是边长为1的正方形，底面，且，由图易得最长的棱为，所以.故选：D.7.下列判断正确的是（）A.若，则的最小值是5B.若，则C.若，则的最小值是D.若，则【答案】A【解析】【分析】根据均值不等式计算得到A正确，根据函数单调性得到C错误，举反例得到BD错误，得到答案.【详解】对选项A：，当且仅当，即时等号成立，正确；对选项B：取，满足，不成立，错误；对选项C：，则，在上单调递减，故的最小值为，错误；对选项D：取，满足，不成立，错误； 故选：A8.下图是梁思成研究广济寺三大士殿的手稿，它是该建筑中垂直于房梁的截面，其中是房梁与该截面的交点，，分别是两房檐与该截面的交点，该建筑关于房梁所在铅垂面（垂直于水平面的面）对称，测得柱子与之间的距离是（为测量单位），柱子与之间的距离是．如果把，视作线段，记，，是的四等分点，，，是的四等分点，若，则线段的长度为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】画出平面图形，根据余弦定理即可求解.【详解】依题意，如图所示：其中点与点重合，因为该建筑关于房梁所在铅垂面（垂直于水平面的面）对称，，，是的四等分点，，，是的四等分点所以，，，所以为直角三角形，四边形为矩形， 所以且，又，所以，在中，由余弦定理得：，所以，所以.故选：A.9.已知长方体中，，，为的中点，则下列判断不正确的是（）A.平面B.点到平面的距离是C.平面D.异面直线与所成角的余弦值为【答案】C【解析】【分析】建立空间直角坐标系，计算给点坐标，得到平面的法向量为，再根据公式依次计算每个选项得到答案.【详解】如图所示，以为轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，， 设平面的法向量为，则，取得到，对选项A：，，平面，故平面，正确；对选项B：，点到平面的距离是，正确；对选项C：，与不平行，错误；对选项D：，，与所成角的余弦值为，正确.故选：C10.已知双曲线的左，右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，为的内心，记，，的面积分别为，，，且满足，则双曲线的离心率是（）A.B.C.2D.3【答案】D【解析】【分析】利用三角形的内切圆圆心到各边距离都等于半径，从而得到，，，再由找到的等量关系，进而求得离心率的值.【详解】设的内切圆半径为，则，，，所以，又,，所以 ，即，所以，故选：D.11.已知函数的图象在点（其中）处的切线与圆心为的圆相切，则圆的最大面积是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用点到直线的距离表示出半径关于的函数，构造函数讨论单调性求出极大值即可.【详解】依题意，切点，，，所以切线为：，即，因为切线与圆相切，所以，所以，令，则，令，解得，所以当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，即， 所以.故选：B.【点睛】方法点睛：导数是可以用来讨论函数单调性的工具，而函数的最值问题往往可以用单调性来求解.12.已知函数，给出下列4个结论：①的最小值是；②若，则在区间上单调递增；③将的函数图象横坐标缩短为原来的倍，再向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，可得函数的图象，则；④若存在互不相同的，，，使得，则其中所有正确结论的序号是（）A.①②④B.①③④C.②③④D.①②【答案】A【解析】【分析】化简得到，，①正确，时，，②正确，，时不相等，③错误，，解得，④正确，得到答案.【详解】，对①：当时，，正确； 对②：，则，时，，正确；对③：，时，，不相等，错误；对④：，，，则，，当时，，故当时，，解得，正确.故选：A二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13.在中，是的中点，，点为的中点，则______．【答案】8【解析】【分析】运用向量运算法则即可求解.【详解】依题意，如图所示：因为是的中点，点为的中点，所以，所以.故答案为：8.14.当生物死亡后，它机体内碳14会按照确定的规律衰减，大约每经过5730 年衰减为原来的一半，照此规律，人们获得了生物体内碳14含量与死亡时间之间的函数关系式，（其中为生物死亡之初体内的碳14含量，为死亡时间（单位：年），通过测定发现某古生物遗体中碳14含量为，则该生物的死亡时间大约是______年前．【答案】【解析】【分析】根据题意，列出方程，求得的值，即可得到答案.【详解】由题意，生物体内碳14含量与死亡时间之间的函数关系式，因为测定发现某古生物遗体中碳14含量为，令，可得，所以，解得年.故答案为：年.15.已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于，两点，则的最小值是______．【答案】9【解析】【分析】根据抛物线的定义，设出直线方程与抛物线方程联立消元，求出韦达定理即可求解.【详解】依题意，因为抛物线的焦点为，所以，①当斜率存在时：因为直线交抛物线于，两点，所以，设过的直线的直线方程为：，，由抛物线定义得：，由消整理得：， 所以，即，所以；②当不存在时，直线为，此时，所以；综上可知，的最小值为：9.故答案为：9.16.已知三棱锥的四个面都是边长为2的正三角形，是外接圆上的一点，为线段上一点，，是球心为，半径为的球面上一点，则的最小值是______．【答案】【解析】【分析】画出立体几何图形与相应的截面图，易得当点为与球的交点时，取得最小值，由即可求解.【详解】依题意，因为三棱锥的四个面都是边长为2的正三角形，所以三棱锥为正四面体，如图所示：由正四面体的性质易得：顶点在平面上的投影为，为外接圆的圆心且为的重心，作出球的截面，由图可知，当点为与球的交点时， 取得最小值，此时三点共线，，因为为等边三角形，其外接圆的半径为，所以，由勾股定理得：，所以，又，所以，故答案为：.【点睛】方法点睛：三角形的外接圆半径，可利用正弦定理快速求解.立体几何外接球内切球问题，需要数形结合画出相应的几何图形便于分析求解.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必做题：共60分．17.2022年中国新能源汽车销量继续蝉联全球第一，以比亚迪为代表的中国汽车交出了一份漂亮的“成绩单”，比亚迪新能源汽车成为2022年全球新能源汽车市场销量冠军，在中国新能源车的销量中更是一骑绝尘，占比约为30%．为了解中国新能源车的销售价格情况，随机调查了10000辆新能源车的销售价格，得到如下的样本数据的频率分布直方图： （1）估计一辆中国新能源车的销售价格位于区间（单位：万元）的概率，以及中国新能源车的销售价格的众数；（2）若从中国新能源车中随机地抽出3辆，设这3辆新能源车中比亚迪汽车的数量为，求的分布列与数学期望．【答案】（1）；（2）答案见解析【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图得到概率为，众数为，计算得到答案.（2）的可能取值为，计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案.【小问1详解】销售价格位于区间（单位：万元）的概率为.销售价格的众数为【小问2详解】的可能取值为，；；；，分布列为：.18.已知数列，，，记为数列的前项和，．条件①：是公差为2的等差数列；条件②：．从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知． （1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）选①：由与的关系即可求解；选②：由等差数列的定义即可求；（2）利用错位相减法即可求解.【小问1详解】因为为数列的前项和，所以.选择条件①：因为是公差为2的等差数列，首项为，所以，整理，得，所以，所以，所以，当时也符合，所以；选择条件②：因为，所以，所以，所以，整理，得，所以是以为首项，公差为1的等差数列， 所以，即.【小问2详解】由（1）知，所以，所以，所以，所以，所以，所以，整理，得.19.圆柱中，四边形为过轴的截面，，，为底面圆的内接正三角形，．（1）证明：平面；（2）求平面与平面所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）连接延长交于点，连接，证明三条直线两两垂直，建立空间直角坐标系，运用向量垂直的性质即可证明，再由线面垂直判定定理即可证明； （2）由（1）知是平面的一个法向量，根据求法向量的步骤求出平面的法向量，求出两个平面法向量的夹角即可求解.【小问1详解】依题意，连接延长交于点，连接，因为为底面圆的内接正三角形，所以既是的外心也是重心，所以为的中点，因此，又，所以，，又底面，，底面，所以，，所以三条直线两两垂直，以为空间直角坐标系原点，分别为轴建立空间直角坐标系如图所示：因为四边形为过轴的截面，，，所以是圆的直径，所以，所以，，，由此可得：，，，，，，，所以，，，所以，所以，即， 又，平面，所以平面.【小问2详解】由（1）知，平面，所以是平面的一个法向量，，，设平面的法向量为，则有：即，令，则有：，所以平面的一个法向量可以是：，所以，设平面与平面所成角为，则与相等或者互补，因为，所以所以.20.已知椭圆的离心率为，右焦点为．（1）求椭圆的方程；（2）已知椭圆的上顶点在以点为圆心的圆外，过作圆的两条切线，分别与轴交于点，点，，分别与椭圆交于点，点（都不同于点），记面积为，的面积为，若，求圆的方程． 【答案】（1）（2）圆或.【解析】【分析】（1）根据椭圆的性质与离心率公式即可求解；（2）设出切线方程，由点到直线的距离可以得出两条切线的斜率关系，易得点的横坐标，再由切线方程与椭圆联立，根据韦达定理求出的坐标，代入三角形面积公式化简即可求解.【小问1详解】由已知得，，.【小问2详解】由（1）知,点,过点作圆的切线,当其中一条斜率不存在时不合题意,可设切线方程为,圆的半径为,且,得设切线的斜率分别为,则，由,令得;由得，同理， 或，圆或.【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线的关系，设而不求是必须要掌握的技巧，联立消元后写出韦达定理，再将问题通过变形化简用韦达定理相关的式子表示出来，达到转化化简的效果.21.已知，函数，．（1）若，求证：在上是增函数；（2）若存在，使得对于任意的成立，求最大的整数的值．【答案】（1）见解析（2）2【解析】【分析】（1）对函数求导，讨论单调性，证明最小值大于0即可；（2）将不等式转化为两个函数的图象交点问题，分别讨论两个函数的单调性，利用存在性定理判断根的范围即可求解.【小问1详解】，令，，令,解得在上单调递减,单调递增，，，命题得证. 【小问2详解】存在,使得对于成立,等价于存在,使得对于成立，由于,原题意必要条件是,对都成立设,使得,即，在是减函数,在是增函数,其中,即，，显然,由上图知,，对都成立的最大整数是2，以下证明充分性,当时,存在,使得恒成立,,由上证明知存在大于0的正的最小值, 故存在大于0的,使得恒成立，当时,设,故对不恒成立，存在,使得对于任意的成立,最大的整数的值是2.【点睛】关键点睛：不等式恒成立问题，可以考虑转化为大于最大值或小于最小值的问题，也可考虑分离参数，分离参数时，要注意不等式的符号是否会改变.（二）选做题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分．选修4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系中，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求曲线的直角坐标方程；（2）已知直线过点，与曲线交于，两点，为弦的中点，且，求的斜率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）两边同时乘以，利用和差公式展开，代入公式即可求解.（2）根据参数方程的几何意义，联立方程得出韦达定理，将韦达定理代入即可求解.【小问1详解】 由得,,即,所以曲线的直角坐标方程为【小问2详解】易知直线过点,设直线倾斜角为,则直线的参数方程为(为参数),代入得,易得,设,对应的参数分别为,则，故.解得,则,的斜率为.选修4-5：不等式选讲23.已知函数．（1）求不等式的解集；（2），，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据的范围分类讨论去掉绝对值号，解不等式即可；（2）对的范围分类讨论，分离参数转化为恒成立问题即可求解. 【小问1详解】，当时,由得,当时,，，当时,,得不等式的解集是.【小问2详解】由得①当时,令,则在上单调递减,最小值为，②当时,即,，令则在上单调递减,最小值为，综上,即取值范围为.