浙江省宁波市十校2022-2023学年高三数学下学期3月联考试题（Word版附解析）

宁波“十校”2023届高三3月联考数学试题卷考生须知：1.本卷满分150分，考试时间120分钟2，答题前务必将自己的姓名，准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的地方.3.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范答题，在本试卷纸上答题一律无效.4.考试结束后，只需上交答题卷.参考公式：如果事件互斥，那么如果事件相互独立，那么如果事件在一次试验中发生的概率是，那么次独立重复试验中事件恰好发生次的概率台体的体积公式其中分别表示台体的上､下底面积，表示台体的高柱体的体积公式其中表示柱体的底面积，表示柱体的高锥体的体积公式其中表示锥体的底面积，表示锥体的高球的表面积公式球的体积公式其中表示球的半径 选择题部分（共60分）一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】化简集合，根据并集的定义求.【详解】因为不等式的解集为，所以，函数的值域为，所以，所以，故选：B.2.函数的图象可能为（）A.B.C.D. 【答案】A【解析】【分析】先利用函数的奇偶行排除选项，再利用特殊值即可求解.【详解】因为函数，定义域为，且，所以函数为奇函数，图像关于原点对称，故排除选项；当时，，，所以，故排除选项.故选：.3.已知为两个不同的平面，为两条不同的直线，则下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则【答案】C【解析】【分析】根据面面平行的性质定理可得选项A的正误；考虑直线是否在平面内可得选项B的正误；选项C根据面面垂直的判定定理可得正误；选项D考虑直线与平面的位置关系可得正误.【详解】对于选项A，缺少共面的条件，因此得不到，直线还可以互为异面直线，故A错误；对于选项B，直线还可以在平面内，故B错误；对于选C，由得分别为的垂线，两个平面的垂线互相垂直则这两个平面互相垂直，故C正确；对于选项D，直线与平面或平行，或相交，或直线在平面内，故D错误.故选：C.4.已知甲盒中有2个白球，2个红球，1个黑球，乙盒中有4个白球，3个红球，2个黑 球，现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，记事件A=“甲盒中取出的球与乙盒中取出的球颜色不同”，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】分类讨论甲盒中随机取出一个球的颜色，根据题意结合独立事件的概率乘法公式运算求解.【详解】若甲盒中随机取出一个球为白球的概率为，放入乙盒，此时乙盒中有5个白球，3个红球，2个黑球，再取出一个非白球的概率为；若甲盒中随机取出一个球为红球的概率为，放入乙盒，此时乙盒中有4个白球，4个红球，2个黑球，再取出一个非红球的概率为；若甲盒中随机取出一个球为黑球的概率为，放入乙盒，此时乙盒中有4个白球，3个红球，3个黑球，再取出一个非黑球的概率为；故.故选：D.5.已知，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】利用作差法结合充分、必要条件分析运算.【详解】注意到，则有：若，则，故，即，符合； 若，则，即，则，故；综上所述：“”是“”的充要条件.故选：C.6.过原点的动直线与圆交于不同的两点.记线段的中点为，则当直线绕原点转动时，动点的轨迹长度为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由条件求可得点到中点的距离为定值，由此可求点的轨迹，再求其轨迹长度.【详解】方程可化为，所以圆的圆心为，半径为，设的中点为，因为线段的中点为，所以，又原点在直线上，所以，所以，设，则，如图，设圆与的交点为联立，可得，，则，因为点在圆内，所以点轨迹方程为，，因为，所以，同理 由对称性可得，所以圆弧的长度为.故选：D.7.非零实数满足成等差数列，则的最小值为（）A.B.C.3D.【答案】B【解析】【分析】根据成等差数列，可将用表示，再将所求化简，利用基本不等式即可得解.【详解】因为成等差数列，所以，所以，则，当且仅当，即时，取等号，所以的最小值为. 故选：B.8.已知椭圆的左､右焦点分别为为椭圆上不与顶点重合的任意一点，为的内心，记直线的斜率分别为，若，则椭圆的离心率为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】设，设圆与轴相切于点，结合圆的切线长的性质证明，结合椭圆性质可得，由内切圆性质可得，由条件确定关系，由此可求离心率.【详解】设，设圆与轴相切于点，则，又，，所以，所以，即，过点作直线的垂线，垂足为，则，所以，所以，所以， ∴，∴，由三角形面积相等，得，，，，所以，，即得.故选：B..【点睛】方法点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9.已知复数满足，则（）A.的虚部为-1B.C.D.【答案】BD【解析】【分析】应用复数的乘法得，由复数、共轭复数的概念判断A、B正误；将代入C、D左侧化简、求模即可判断正误.【详解】由题设，则的虚部为4，，A错，B对；又，C错；，D对.故选：BD10.正方体的棱长为1，点满足，则下列说法正确的有（）A.若，则B.若，则三棱锥的体积为定值C.若点总满足，则动点的轨迹是一条直线D.若点到点的距离为，则动点的轨迹是一个面积为的圆【答案】ABC【解析】【分析】作出图形，利用线面垂直、平行的判定定理和性质定理逐项分析检验即可求解.【详解】对于，因为且，由向量基本定理可知：点共线，如图，连接，在正方体中，，平面，因为平面，所以，又， 所以平面，在上任取一点，连接，则平面，所以，在正方体中，因为，且，所以四边形为平行四边形，所以，则，故选项正确；对于，如图，连接，因为且，由向量基本定理可知：点共线，即点在直线上，在正方体中，因为，且，所以四边形为平行四边形，所以，平面，平面，所以平面，则直线上任意一点到平面的距离相等，又因为的面积为一定值，所以三棱锥的体积为定值，故选项正确；对于，如图，连接，在正方体中，，平面，因为平面，所以，又，所以平面，平面，所以，同理，有，所以平面，因为点满足，所以点在侧面所在的平面上运动，且，所以动点的轨迹就是直线，故选项正确； 对于，因为点到点的距离为，所以点的轨迹是以为球心，半径为的球面与平面的交线，即点的轨迹为小圆，设小圆半径为，因为球心到平面的距离为1，则，所以小圆的面积为，故选项错误；故选：.11.已知函数的图象在上恰有两条对称轴，则下列结论不正确的有（）A.在上只有一个零点B.在上可能有4个零点C.在上单调递增D.在上恰有2个极大值点【答案】ACD【解析】【分析】求函数的对称轴方程，由条件列不等式求的范围，再求函数的零点，判断A，B，求函数的单调区间判断C，求函数的极值点判断D.【详解】由，可得，所以函数的对称轴方程为，令，可得，因为函数的图象在上恰有两条对称轴，所以，所以，令，可得，所以，所以， 令，可得，当时，或，此时函数在上有两个零点，A错误；令，可得，当时，或或或，所以函数上可能有4个零点，B正确；由可得，因为函数在上单调递增，在上单调递减，又，所以函数在上不是单调递增函数，C错误；由可得，所以当时，，此时函数在上有三个最大值，故在上恰有3个极大值点，D错误；故选：ACD.12.数列前项和为，若，且，则以下结论正确的有（）A.B.数列为递增数列C.数列为等差数列D.的最大值为【答案】BCD【解析】【分析】对A：取特值，结合，运算求解即可；对B：根据题意可得，结合数列单调性分析判断；对C：可得，作差即可得结果；对D：利用累加法求得 ，整理可得，结合对勾函数的单调性分析运算.【详解】由，可得：对A：令可得：，，则，令可得：，即，则，由，解得，A错误；对B：对，则，故数列为递增数列，B正确；对C：当时，可得，则，故数列为等差数列，C正确；对D：∵，则，且，故且在上单调递减，在上单调递增，且，可得，对恒成立，故当时，取最大值，D正确.故选：BCD.【点睛】关键点睛：解决数列与函数综合问题的注意点 (1)数列是一类特殊的函数，其定义域是正整数集，而不是某个区间上的连续实数，所以它的图象是一群孤立的点．(2)转化以函数为背景的条件时，应注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是非常容易忽视的问题．(3)利用函数的方法研究数列中相关问题时，应准确构造函数，注意数列中相关限制条件的转化．非选择题部分（共90分）三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知，则与的夹角为__________.【答案】【解析】【分析】利用向量数量积的运算律及已知求得，进而求得，最后应用夹角公式求与的夹角即可.【详解】由，又，，所以，则，而，则，所以与的夹角，则，所以.故答案为：14.已知，则__________.【答案】132【解析】【分析】利用换元思想，简化等式，再按照二项式定理展开，可得的系数即是的值.【详解】令，则，则可转化为：， 即，所以，所以，故答案为：132.15.已知定义在上的奇函数满足，若，则曲线在处的切线方程为__________.【答案】【解析】【分析】由结合为奇函数，可得，进而可得，对两边同时求导可得，求出，结合导数的几何意义求解即可.【详解】由，令，则，即，又为奇函数，则，故是以4为周期的周期函数，则，对，求导得，故是以4为周期的周期函数，则，即切点坐标为，切线斜率，故切线方程为，即.故答案为：.16.浑仪（如图）是中国古代用于测量天体球面坐标的观测仪器，它是由一重重的同心圆环构成，整体看起来就像一个圆球.学校天文兴趣小组的学生根据浑仪运行原理制作一个简单模型：同心的小球半径为1，大球半径为R.现要在大球内放入一个由六根等长的铁丝（不计粗细）组成的四面体框架，同时使得小球可以在框架内自由转动，则R的最小值为__________. 【答案】【解析】【分析】根据题设描述知小球与正四面体的各棱相切，大球为正四面体的外接球R最小，结合正四面体的结构特征，确定球心位置及大小球半径，根据三角形相似列方程求R最小值.【详解】由题意，小球与正四面体的各棱相切，大球为正四面体的外接球，即可保证R最小，如上图，设正四面体的棱长为，为△中心，故面，又面，则，且，又小球半径，则OF⊥AC，大球半径，，易知：△△，故，即，可得.故答案为：四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.记锐角的内角为，已知.（1）求角的最大值；（2）在锐角中，当角为角A的最大值时，求的取值范围.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理将角的关系化为边的关系，根据余弦定理和基本不等式求的范围，再由余弦函数的性质求角的最大值；（2）根据内角和关系，结合两角差的余弦公式和两角和的正弦公式，将目标函数转化为关于角的函数，再结合余弦函数的性质求其范围.【小问1详解】因为，所以由正弦定理可得，所以，当且仅当时等号成立，所以，又，所以，所以角的最大值为；【小问2详解】因为，所以，因为为锐角三角形，所以,所以，所以，所以，所以， 即的取值范围为.18.据第19届亚运会组委会消息，杭州亚运会将于2023年9月23日至10月8日举行，为此，某校开展了青少年亚运会知识问答竞赛，有400名学生参赛，竞赛成绩所得分数的分组区间为，由此得到如下的频数统计表：分数区间性别男生/名10707545女生/名10904555（1）若某学生得分不低于80分则认为他亚运会知识掌握良好，若某学生得分低于80分则认为他亚运会知识掌握一般，那么是否有95%的把握认为该校学生对亚运会知识的掌握情况与性别有关？（2）利用对不同分数段进行分层抽样的方式从参赛学生中随机抽取20名学生作进一步调研.（i）从这20名学生中依次再抽取3名进行调查分析，求在第一次抽出的1名学生分数在区间内的条件下，后两次抽出的2名学生分数都在内的概率；（ii）从这20名学生中再任取3名进行调查分析，记取出的3人中分数在[90,100]内的人数为，求的分布列和数学期望.附：0.100.050.0102.7063.8416.635【答案】（1）有95%的把握认为该校学生对亚运会知识的掌握情况与性别有关；（2）（i）；（ii）分布列见解析，.【解析】【分析】（1）由题设完善列联表，应用卡方公式求卡方值，根据独立检验的基本思想得结论；（2）（i）分层抽样性质求、抽取的人数，应用排列、组合及古典概率求 法求第一次抽出1名学生分数在区间内、同时后两次抽出的2名学生分数在同一分组区间内的概率，应用条件概率公式求概率；（ii）由题意的可能取值有，进而求其分布列并求期望值.【小问1详解】根据题意得如下2×2列联表男生女生合计掌握良好120100220掌握一般80100180合计200200400因此，有95%的把握认为该校学生对亚运会知识的掌握情况与性别有关.【小问2详解】分数区间频率0.05040.30.25分层抽样得分位于共有6人，得分位于的有5人，（i）记事件：第一次抽出1名学生分数在区间内，记事件：后两次抽出的2名学生分数在同一分组区间内，则，由条件概率公式得；（ii）由题意知，的可能取值有，故，故的分布列如下， 0123.19.函数的图象为自原点出发的一条折线，当时，该函数图象是斜率为的一条线段.已知数列由定义.（1）用表示；（2）若，记，求证：.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由条件结合两点斜率公式列方程求；（2）由两点斜率公式可得，利用累加法求，再由等差数列求和公式和错位相减法求，由此证明结论.【小问1详解】由已知可得函数过点，又当时，该函数图象是斜率为的一条线段，所以，所以，，所以；【小问2详解】因为函数过点，又当时，该函数图象是斜率为的一条线段，所以 又，所以，即，所以，，，，所以当时，，又，所以当时，，又时，也满足关系式，所以，，所以，所以，所以，设，则，所以，所以，又所以.20.如图，四棱锥中，底面为矩形， .二面角的大小是，平面与平面的交线上存在一点满足二面角大小也是.（1）求四面体的体积；（2）若为直线上的动点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据线面平行的判定和性质定理得到点到平面的距离等于点到平面的距离，则，然后代入体积计算公式即可求解；（2）建立空间直角坐标系，写出相应点的坐标，求出平面的法向量，利用向量的夹角公式求出，换元利用二次函数的性质求出最值即可.【小问1详解】如图，因为，平面，平面，所以平面，因为过的平面平面，所以，平面，平面，所以平面，又因为，所以点到平面的距离等于点到平面的距离，则，所以.【小问2详解】 过作，，，又面DEC，面，又面，面面，，面，建立如图所示空间直角坐标系，设，则，设面的一个法向量为，则，，令，解得，得，又，，令，则，当，即时，21.已知双曲线的渐近线与曲线相切.横坐标为的点在曲线上，过点作曲线的切线交双曲线于不同的两点.（1）求双曲线的离心率；（2）记的中垂线交轴于点.是否存在实数，使得？若存在，请求 出的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）时存在；时不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）写出渐近线并联立曲线E，根据得，进而求离心率；（2）应用导数几何意义求点处曲线的切线方程，并联立曲线C，结合韦达定理求中点坐标，写出中垂线方程即可求M坐标，结合列方程求，注意满足切线与双曲线有两个交点.【小问1详解】由题意，与曲线相切，消得：有唯一解，所以得：，离心率.【小问2详解】由，故点作曲线的切线的斜率为，则，所以方程为代入中，并整理得，设，在，易得的中点，故中垂线，则点.若，则，即得， 此时当，即时，存在实数，使得；当，即时，不存在实数，使得.22.已知函数和的图象共有三个不同的交点，并且它们的横坐标从左到右依次记为.（1）求实数的取值范围；（2）证明：.【答案】（1）实数的取值范围为；（2）证明见解析【解析】【小问1详解】因为函数和的图象共有三个不同的交点，所以方程有三个根，又0不满足方程，所以方程有三个根，设，则函数与函数的图象有三个交点，当或时，，当时， 记，则所以在和上单调递增，所以在和上单调递增，在上单调递减，当时，，，当时，，当时，，当时，与一次函数相比，指数函数呈爆炸性增长，从而，当且时，，当且时，，当时，与一次函数相比，指数函数呈爆炸性增长，，根据以上信息，画出函数的大致图象如下，所以，当时函数与函数的图象有三个交点，故实数的取值范围为；【小问2详解】由(1)知，设，则，当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，所以，所以， 所以当时，，令，则，当时，，令，则，当时，，令，，【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．