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广东省东莞市东莞高级中学2022-2023学年高一数学下学期3月月考试卷(Word版附解析)

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东莞高级中学2022~2023学年第二学期3月检测高一数学满分150分,考试时间:120分钟一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求.1.若复数(x﹣i)i=y+2i,x,y∈R,则复数x+yi=(  )A.﹣2+iB.2+iC.1﹣2iD.1+2i2.△ABC的三内角A,B,C所对边分别为a,b,c,若a2+b2﹣c2=ab,则角C的大小为(  )A.B.C.D.3.已知复数z1=﹣2+i,,在复平面内,复数z1和z2所对应的两点之间的距离是(  )A.B.C.5D.104.已知向量,,则在上的投影向量为(  )A.B.C.D.5.已知向量,,,则的值是(  )A.B.C.D.6.设向量,满足,,,则(  )A.2B.C.4D.7.在日常生活中,我们常常会看到两个人共提一个行李包的情景,若行李包所受的重力为G,两个拉力分别为F1,F2,且|F1|=|F2|,F1,F2夹角为θ,当两人拎起行李包时,下列结论正确的是(  )A.|G|=|F1|+|F2|B.当时,C.当θ角越大时,用力越省D.当|F1|=|G|, 8.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足,则△ABC的形状是(  )A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.下列关于复数的四个命题,其中为真命题的是(  )A.|z|=2B.z2=2iC.z的共轭复数为﹣1+iD.z是关于x的方程的一个根10.已知函数f(x)=sinx+cosx,则(  )A.f(x)的最大值为B.f(x)的最小正周期为πC.是偶函数D.将y=f(x)图象上所有点向左平移个单位,得到g(x)=sinx﹣cosx的图象11.设非零向量,的夹角为,定义运算.下列叙述正确的是(  )A.若,则B.C.D.若,则的最大值为112.已知△ABC三个内角A,B,C的对应边分别为a,b,c,且∠C=,c=2,则(  )A.bcosA+acosB=B.△ABC周长的最大值为6C.的取值范围为(,+∞)D.的最大值为2+三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分13.复数(其中i是虚数单位)的虚部是__________.14.在△ABC中,已知a=2,b=,A=45°,则B等于__________.15.设P是△ABC所在平面内的一点,若,且.则点P是△ABC的__________. 16.海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象,被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”,我国拥有世界上最深的海洋蓝洞,若要测量如图所示的蓝洞的口径A,B两点间的距离,现在珊瑚群岛上取两点C,D,测得CD=35m,∠ADB=135°,∠BDC=∠DCA=15°,∠ACB=120°,则AB两点的距离为  m.四、解答题:本小题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知复数,其中i为虚数单位,.(1)若z是纯虚数,求m的值;(2)z在复平面内对应的点在第二象限,求m的取值范围。18.已知=(1,0),=(2,1).(1)若,,且A、B、C三点共线,求m的值.(2)当k为何值时,与共线;19.已知向量=(2cosx,sinx),=(cosx,2cosx)(x∈R),设函数f(x)=﹣1.(1)求函数f(x)的单调递增区间;(2)已知△ABC的三个内角分别为A,B,C,若f(A)=2,B=,边AB=3,求边BC的长. 20.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且c(sinB﹣cosB)+a=0.(Ⅰ)求角C的大小;(Ⅱ)若△ABC的外接圆半径R=,b=4,求△ABC的面积.21.如图,在平面四边形ABCD中,已知,,,O为线段BC上一点.(Ⅰ)求∠ABC的值;(Ⅱ)试确定点O的位置,使得最小.22.如图,游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C,另一种是先从A沿索道乘缆车到B,然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山,甲沿AC匀速步行,速度为50m/min.在甲出发2min后,乙从A乘缆车到B,在B处停留1min后,再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min,山路AC长为1260m,经测量,cosA=,cosC=.(1)求索道AB的长;(2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内? 东莞高级中学2022~2023学年第二学期第一次月考高一数学(答案与解析)满分150分,考试时间:120分钟一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求.1.【解答】解:∵复数(x﹣i)i=y+2i,∴xi+1=y+2i,∴x=2,y=1,∴复数x+yi=2+i故选:B.2.【解答】解:cosC===,C∈(0,π),∴C=.故选:B.3.【解答】解:∵z1=﹣2+i,∴=,∴复数z1和z2所对应的两点的坐标分别为(﹣2,1),(1,2),两点间的距离为d=.故选:B.4.【解答】解:在上的投影向量是===(﹣,),故选:A.5.【解答】选:D.6.【解答】解:∵向量,满足||=1,|+|=,且•(+)=0,∴+2+=3=1+2+,且=﹣=1,∴=4,﹣=1,∴+2+=1﹣2+4=3,则|2﹣|====2,故选:B.7.【解答】解:根据题意可得:,则,当θ=0时,|G|=2F↓|=|F1|+|F2|,故A错误;当时,,故B正确;,因为y=cosθ在(0,π)上递减,又因行李包所受的重力为G不变,所以当θ角越大时,用力越大,故C错误;当|F1|=|G时,即,解得,又因θ∈(0,π),所以,故D错误. 故选:B.8.【解答】解:选:D.二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.【解答】解:故选:ABD.10.【解答】解:f(x)=sinx+cosx=sin(x+),则函数的最大值为,故A正确,函数的最小正周期T==2π,故B错误,f(x+)=sin(x++)=sin(x+)=cosx为偶函数,故C正确,将y=f(x)图象上所有点向左平移个单位,得到g(x)=sin(x+)+cos(x+)=cosx﹣sinx的图象,故D错误,故正确的是AC,故选:AC.11.【解答】选:ACD.12.【解答】解:对于A:由余弦定理,得bcosA+acosB=b×+a×=c=2,故A错误;对于B:由余弦定理,得cosC===,所以(a+b)2﹣4=3ab≤3×=,所以a+b≤4,当且仅当a=b=2时等号成立,故△ABC的周长为a+b+c≤4+c=6,即B正确;对于C:===﹣+tanA,因为A∈(0,),所以tanA∈(﹣∞,﹣)∪(0,+∞),所以的取值范围是(﹣∞,﹣2)∪(﹣,+∞),故C错误;对于D:=bccosA=bc•=,由正弦定理,得=, 所以b2﹣a2=(sin2B﹣sin2A)=[sin2B﹣sin2(﹣B)]=[﹣]=﹣cos(2B﹣),因为B∈(0,),所以2B﹣∈(﹣,),所以cos(2B﹣)∈[﹣1,1],故b2﹣a2=﹣cos(2B﹣)的最大值为,所以=的最大值为2+,即D正确.故选:BD.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分13.【解答】解:答案:-1.14.【解答】解:由正弦定理可得:sinB===∵a=2>b=,∴B<A=45°∴可解得:B=30°故选:A.15.【解答】解:取AB的中点D,则=2,∵,即2=2,∴()=0,即,∴P在AB的中垂线上,∴PA=PB,又AP=CP,∴P为△ABC的外心.故选:A.16.【解答】解:如图所示:△BCD中,CD=35m,∠BDC=15°,∠BCD=∠ACB+∠DCA=120°+15°=135°,所以∠CBD=30°,由正弦定理得=,解得BD=35(m),△ACD中,CD=35m,∠DCA=15°,∠ADC=∠ADB+∠BDC=135°+15°=150°,所以∠CAD=15°,所以AD=CD=35(m),△ABD中,由余弦定理得AB2=AD2+BD2﹣2AD•BD•cos∠ADB=352+(35)2﹣2×35×35×cos135° =352×5,所以AB=35(m),即A、B两点间的距离为35m.故答案为:35.四、解答题:本小题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.【解答】解:(1);(2)18.【解答】解:(1)=(4,1),==(2m+1,m),∵A、B、C三点共线,∴4m﹣(2m+1)=0,即.(2)∵=(1,0),=(2,1),∴k=(k﹣2,﹣1),=(5,2),又k与共线,∴2(k﹣2)+5=0,即k=﹣;19.【解答】解:(1).(2)若f(A)=2,则f(A)=2cos(2A﹣)=2,即cos(2A﹣)=1,则2A﹣=0,解得A=,∵B=,边AB=3,∴C=π﹣﹣=,sin=,由正弦定理所以,解得BC=.20.【解答】解:(Ⅰ)因为c(sinB﹣cosB)+a=0,由正弦定理可得sinCsinB﹣sinCcosB+sinA=0,又sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,所以sinCsinB﹣sinCcosB+sinBcosC+cosBsinC=0,即sinCsinB+sinBcosC=0,因为sinB≠0,所以sinC+cosC=0,即tanC=﹣, 因为C∈(0,π),所以C=.(Ⅱ)因为C=,△ABC的外接圆半径R=,所以由,可得c=2×=,因为b=4,由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC,可得21=a2+16+4a,即a2+4a﹣5=0,解得a=1,(负值舍去),所以△ABC的面积S=absinC==.21.【解答】解:(Ⅰ)∵,,∴,,∵,∴,即1×2cos∠ABC=1,,∵∠ABC∈(0,π),∴.(Ⅱ)法一:设(0≤t≤1),则,∴,,∴=2×12+(1﹣3t)×1﹣t(1﹣t)×4=4t2﹣7t+3,当时,即时,最小.法二:建立如图平面直角坐标系,则B(0,0),,C(2,0),,设O(x0,0)(0≤x0≤2),则,,∴,当时,即时,最小.22.【解答】解:(1)在△ABC中,因为cosA=,cosC=,所以sinA=,sinC=,从而sinB=sin[π﹣(A+C)]=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC== 由正弦定理,得AB===1040m.答:索道AB的长为1040m.(2)假设乙出发t分钟后,甲、乙两游客距离为d,此时,甲行走了(100+50t)m,乙距离A处130tm,所以由余弦定理得d2=(100+50t)2+(130t)2﹣2×130t×(100+50t)×=200(37t2﹣70t+50)=200[37(t﹣)2+],因0≤t≤,即0≤t≤8,答:当t=min时,甲、乙两游客距离最短.(3)由正弦定理,得BC===500m,乙从B出发时,甲已经走了50×(2+8+1)=550m,还需走710m才能到达C.设乙步行的速度为vm/min,由题意得﹣3≤≤3,解得,答:为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在[]范围内.

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所属: 高中 - 数学
发布时间:2023-04-27 10:06:03 页数:10
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文章作者:随遇而安

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